Dettaglio delle lezioni del corso di Metodi Matematici della Fisica, AA 2017-18, Aglietti - Santini ------------------------------------------------- Lezioni Santini 28/02/2018 (2 ore) Introduzione ai numeri complessi. Piano di Argand-Gauss; rappresentazione cartesiana e polare. Interpretazione geometrica delle operazioni elementari sui numeri complessi. Disuguaglianza triagolare. Esempi 01/03/2018 (2 ore) Estrazione di radice con esempi. Il piano complesso come spazio vettoriale normato e metrico; definizioni di intorno, di dominio, di frontiera. Chiusura di un dominio. Esempi. Equazioni di rette, semirette, cerchi nel piano complesso. Proiezione stereografica e punto all'infinito. Funzione complessa di variabile complessa f(z)=u(x,y)+i v(x,y). Funzioni monodrome e polidrome; funzioni iniettive, surgettive, bigettive con esempi. Funzioni complesse come funzioni z e \bar z. La continuita' di f(z) equivale alla continuita' di u(x,y) e v(x,y). 06/03/2018 (2 ore) Derivabilita' in un punto, analiticita' in un dominio e condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi. Funzione armonica in un dominio come parte reale (o immaginaria) di una funzione analitica, e costruzione della parte immaginaria (reale). Funzioni analitiche f(z) in un dominio definiscono, attraverso le curve di livello di u(x,y) e v(x,y), sistemi di coordinate curvilinee ortogonali. 07/03/2018 (2 ore) Funzioni analitiche; regole formali di derivazione. Teorema della funzione composta e della funzione inversa. Funzione analitica come trasformazione conforme. La trasformazione lineare trasforma cerchi in cerchi. La trasformazione reciproca w=1/z, sugnificato geometrico; trasforma cerchi in cerchi (in rette nel caso degenere). La trasformazione di Moebius come trasf. invertibile che contiene, come casi particolari, la trasf. lineare e reciproca, e' un gruppo non commutativo. Essendo la composizione, nell'ordine, di una trasf. lineare, di una reciproca, e di una lineare, essa trasforma cerchi in cerchi. 08/03/2018 (2 ore) Funzione z^{1/2} polidroma. Rotazione intorno a 0 e passaggio da una determinazione all'altra. Def. di punto di diramazione. 0 e infinito sono i punti di diramazione. La funzione e' analitica nel piano tagliato da 0 all'infinito. La funzione riprende il suo valore dopo due giri; secondo foglio; la sup. a due fogli e' topologicamente equivalente a una sfera (di Riemann). Caso ((z-z_1)(z-z_2))^{1/2}: punti di diramazione z_1,z_2; taglio da z_1 a z_2; sup. di Riemann a due fogli topologicamente equiv. a sfera. Caso ((z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4))^{1/2}: punti di diramazione z_1,z_2,z_3,z_4; taglio da z_1 a z_2 e da z_3 a z_4; sup. di Riemann a due fogli topologicamente equiv. a toro. Genere della superficie. 12/03/2018 (2 ore) Funzioni elementari e loro inverse. La funzione esponenziale w=e^z; periodicita' ed assenza di zeri. Trasforma il reticolo ortogonale del piano z nel reticolo curvilineo ortogonale polare del piano w. La funzione inversa w=Log z e' una funzione polidroma a infiniti valori. Girando intorno a 0 nel piano z, con 0< arg z <2\pi, la funzione subisce l'incremento 2\pi i. 0 e infinito sono punti di diram., e il piano tagliato da 0 a infinito e' mappato sulla striscia orizzontale 0< v<2\pi. La superficie di Riemann, a infiniti fogli, non e' compatta. W=sin z; periodicita' e zeri. Rette verticali -> iperboli di fuochi 1,-1; rette orizzontali -> ellissi di fuochi 1,-1. La striscia verticale -\pi/2 piano con tagli da 1 a + infinito e da -1 a - infinito. 13/03/2018 (2 ore) w=arcsin z ha una doppia infinita' di valori. Sul espressione attraverso radice quadrata e logaritmo. Esempi con z=1/2, 2. z=1,-1 sono punti di diram. di tipo radice quadrata; z=infinito e' punto di diram. di tipo logaritmico. E' analitica e' monodroma nel piano tagliato da 1 a +infinito, e da -1 a -infinito.L'immagine del piano tagliato e' la striscia verticale -\pi/20, ed il moto di un fluido nell'ansa di un fiume. La funzione c(z+(a/z)^2) ed il moto di un fluido intorno ad un ostacolo circolare. Integrazione di funzioni complesse continue lungo curve del piano complesso. Curva continua, iniettiva (di Jordan), curva regolare e regolare a tratti del piano complesso. Curve rettificabili. Definizione di integrale. e forma parametrica: \int f(z(t))z'(t)dt. Tre esempi. 15/03/2018 (2 ore) Proprieta' elementari dell'integrale complesso; disuguaglianza di Darboux. Integrale di 1/(z-z0) lungo arco di cfr centrato in z0 e sulla cfr, parametrizzando l'arco. Gli integrali della costante e di z. Teorema di Cauchy. Prima dimostrazione usando il lemma di Green (che fa uso della continuita' delle derivate parziali, non dimostrata). Seconda dimostrazione (di Goursat): i) dimostrazione per il contorno di un triangolo qualsiasi; ii) per una poligonale qualsiasi; iii) per una curva qualsiasi, approssimabile bene quanto si vuole con una poligonale, sfruttando la continuita' di f(z) (quest'ultima parte NON DIMOSTRATA). Esistenza della primitiva e teorema della primitiva. 19/03/2018 (2 ore) Teorema di Cauchy per domini multiplamente connessi. Esercizio esplicativo. Esercizi sull'applicazione del thm di Cauchy e della primitiva per il calcolo di funzioni elementari su curve del piano complesso. Numero di avvolgimenti. Rappresentazione integrale di Cauchy. 20/03/2018 (2 ore) Conseguenze della rapresentazione integrale di Cauchy: Teorema della media e del massimo e minimo modulo per f(z) e per funzioni armoniche. Esistenza delle derivate ad ogni ordine di una funzione analitica, e loro rappresentazione integrale. Primo e secondo teorema di Liouville. Teorema di Morera. 21/03/2018 (2 ore) Integrazione su archi infiniti e infinitesimi. Esempi. Il lemma di Jordan. Gli integrali di Fresnell. 22/03/2018 (2 ore) Serie di funzioni complesse. Convergenza, convergenza assoluta e uniforme. Test di Weierstass. La conv. uniforme permette di trasferire alla somma le proprieta' di continuita' e analiticita' dei termini, e discambiare somma con integrale. Thm. di Cauchy-Hadamard (senza dim.). Esempi di calcolo del raggio di convergenza e della convergenza al bordo. Se f(z) e' sviluppabile in serie di potenze in un disco, e' ivi analitica con le sua derivate e lo sviluppo e' quello di Taylor. 26/03/2018 (2 ore) Teorema della serie di Taylor per funzioni analitiche. Esempi di sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari. Teorema della serie di Laurent. Esercizi sugli sviluppi di funzioni razionali in serie di potenze in tutto il piano complesso. 27/03/2018 (2 ore) Singolarita' isolate di una funzione analitica. Poli di ordine n e singolarita' essenziali. Definizione di residuo di singolarita' isolata al finito, e dimostrazione che coincide col coefficiente c_{-1} dello sviluppo di Laurent. Teorema dei residui. Calcolo del residuo in un polo di ordine n. Residuo di f_1(z)/f_2(z) in z_0, zero semplice di f_2(z). Residuo all'infinito. Teorema sulla somma dei residui in \bar C. 28/03/2018 (2 ore) Esercizi vari su: i) sviluppi in serie di potenze e regioni di convergenza; ii) classificazione delle singolarita' di funzioni elementari nel piano complesso esteso, e calcolo dei rispettivi residui. 04/04/2018 (2 ore) Calcolo di integrali col teorema dei residui. i) Integrali di funzioni trigonometriche. ii) Integrali di funzioni prolungabili nel semi piano superiore o inferiore. iii) Integrali di Fourier. Due esempi per ogni tipologia. 05/04/2018 (2 ore) Integrazione di funzioni polidrome (o riconducibili a funzioni polidrome) col teorema dei residui. Calcolo dell'integrale di x^{a}/(x^2+1) da 0 a infinito, con -1 \gamma. Esempi: proprieta' di analiticita' dell'integrale di Laplace e della funzione Gamma di Euler. La Gamma di Euler come estensione al continuo del fattoriale. 18/04/2018 (2 ore) Equazioni funzionali per la funzione Gamma di Euler, e suo prolungamento analitico a tutto il piano complesso, attraverso una funzione meromorfa, con poli semplici in 0,-1,-2,-3,.. La funzione zeta di Riemann, definizione e proprieta' principali (senza dimostrazione); la congettura di Riemann (uno dei sette problemi del millennio). Esercizi di riepilogo su: applicazione del teorema di Rouche'; singolarita' di funzioni elementari nel piano cmplesso compattificato, e calcolo dei relativi residui; sviluppi in serie di potenze in tutto il piano complesso; prodotto e rapporto di due serie di potenze. 19/04/2018 (2 ore) Esercizi su singolarita' di funzioni elementari nel piano complesso compattificato, e calcolo dei relativi residui; integrali col teorema della primitiva; sviluppo in serie di (z+1)^{1/n} centrato in 0; regioni del piano complesso definite da equazioni elementari; proprieta' delle radici n-esime dell'unita'; calcolo di funzione analitica dalla conoscenza della sua parte reale. --------------------------------------------- Lezioni Aglietti 23/04/2018 (2 ore) Introduzione generale al Corso. Definizione della trasformata di Fourier discreta (DFT), esempi in bassa dimensione, proprieta' generali. Inversa della Trasformata di Fourier discreta, richiamo della nozione di matrice unitaria, unitarieta' della TFD (con dimostrazione). Spazi euclidei reali finito-dimensionali: prodotto scalare canonico e sue proprieta'; lunghezza di un vettore ed angolo fra due vettori. 24/04/2018 (2 ore) Significato fisico (e geometrico) delle serie e delle trasformate di Fourier: analisi in frequenza (proiezione ortogonale) e rappresentazione di un segnale periodico come sovrapposizione di armoniche (completezza del sistema trigonometrico). Idea euristica di una funzione come di un vettore a componenti continue, esempi. Bibliografia relativa al corso. Operatori C-lineari, C-antilineari, R-lineari, esempi. Spazi hermitiani (spazi euclidei complessi), prodotto hermitiano, proprieta', norma di un vettore. 26/04/2018 (2 ore) Spazi euclidei complessi (hermitiani) finito-dimensionali; proprieta' del prodotto scalare complesso od hermitiano. Norma di un vettore ed ortogonalita' di due vettori non nulli. Trasposta di una matrice, matrici simmetriche, antisimmetriche ed ortogonali. Cenni la gruppo ortogonale ed al gruppo ortogonale speciale. Relazione tra le matrici ortogonali e le matrici antisimmetriche. Aggiunta od hermitiana coniugata di una matrice rettangolare complessa qualsiasi; matrici quadrate autoaggiunte od hermitiane, antihermitiane ed unitarie. Relazione tra le matrici unitarie e le matrici antihermitiane. Spazio di Lebesgue L^2(a,b), sistema trigonometrico 02/05/2018 (2 ore) Ancora sugli spazi di Lebesgue L^2(-pi,+pi), nel caso reale e complesso. Distanza indotta dalla norma euclidea di un vettore e Spazi Vettoriali Metrici (SVM). Nozione di convergenza di una successione di vettori in uno SVM; sistema completo di vettori in uno SVM. Nozione di spazio vettoriale infinito-dimensionale. Sistema ortonormale completo (base ortonormale) in C^N costituita dalle N colonne (o dalle -- sempre N -- righe) della matrice F che rappresenta la TFD. Ortogonalita' del sistema trigonometrico degli esponenziali oscillanti e^{inx} con n intero qualsiasi. Dimstrazione che gli spazi di Lebesgue L^2(-pi,pi) sono infinito-dimensionali. Collegamento euristico tra la Serie di Fourier e la TFD. 03/05/2018 (2 ore) Sistema Trigonometrico Reale, ortogonalita' (con dimostrazione) e completezza (accenno alla dimostrazione tramite il teorema di Weierstrass sull'uniforme convergenza di polinomi trigonometrici a funzioni continue periodiche qualsiasi). Relazioni tra il sistema trigonometrico reale e quello complesso. Esibizione di lucidi contenenti grafici di funzioni periodiche confrontate con le rispettive serie di Fourier troncate ad ordini differenti N=3,5,10,20, ecc. Funzioni periodiche di varia regolarita' sono considerate: 1) infinitamente differenziabili; 2) continue ma con derivata prima non continua; 3) non continue, per semplicita' in un solo punto, con un salto finito (fenomeno di Gibbs); 4) non continue, con un salto infinito che da' origine ad una singolarita' integrabile (esempio con singolarita' soffice, logaritmica nell'origine); 07/05/2018 (2 ore) Serie di Fourier dalla serie di Laurent; esempi ed esercizi di serie di Fourier di funzioni trigonometriche fatti in classe ed assegnati; Serie di Fourier in seni e coseni dalle serie di Fourier complesse (exponenziali oscillanti); serie di Fourier per funzioni pari e dispari. 08/05/2018 (2 ore) Discussione del significato fisico delle serie di Fourier. Esercizi sulle serie di Fourier: serie di Fourier delle funzioni razionali trigonometriche. Calcolo esplicito delle serie di Fourier della funzione x^2 definita in [0,pi], prolungata in maniera pari oppure dispari in (-pi,0] e poi prolungata per periodicia' su tutto l'asse reale. Somma di serie notevoli: la somma degli inversi dei quadrati, la somma a segni alterni degli inversi dei quadrati; 09/05/2018 (2 ore) Esercizi sulle serie di Fourier: la funzione x^2 definita in [0,pi], prolungata in maniera dispari in (-pi,0); confronto tra le due espansioni. Esistenza di due basi differenti di Fourier per funzioni definite sull'intervallo [0,pi]. Esercitazione in aula: calcolo dei coefficienti di Fourier della funzione cos(alpha*x), - pi <= x <= + pi, alpha > 0, e discussione (da parte mia) della risultante serie di Fourier; 10/05/2018 (2 ore) Serie di Fourier di funzioni di periodo arbitrario. Trasformata di Fourier come limite formale delle serie di Fourier per periodo infinito. Commenti generali sulla trasformata di Fourier: segnatura degli esponenziali oscillanti, normalizzazione, parita', diagonalizzazione, ecc. Esempi: Trasformata di Fourier (TF) di una gaussiana di deviazione standard unitaria. Esercizi per casa: TF della derivata di una gaussiana e TF di una gaussiana di deviazione standard generica sigma > 0; 14/05/2018 (2 ore) Significato fisico della Trasformata di Fourier: generare un segnale dato tramite opportuna interferenza di onde piane monocromatiche. Significato geometrico della TF: trasformazione unitaria di un opportuno spazio euclideo in se stesso. TF di una gaussiana con deviazione standard sigma > 0 variabile: limite per sigma che va a zero e per sigma che va all'infinito, idea della delta di Dirac e della sua trasformata di Fourier. Proprieta' generale della trasformata di Fourier sotto riscalamento. Esercizi assegnati. 15/05/2018 (2 ore) Teorema di Plancherel, sia nella base complessa che nella base reale, interpretazione geometrica --- teorema di Pitagora in infinite dimensioni --- e fisica --- l'energia dissipata da una resistenza in un periodo come somma di tutti i contributi armonici. Applicazione: la somma delle quarte potenze degli interi dalla serie di Fourier di x^2 definita in (-pi,pi). Trasformata di Fourier nello spazio delle funzioni sommabili sulla retta reale L^1(R), esempi; Trasformata di Fourier della derivata di una funzione. 16/05/2018 (2 ore) Applicazioni all'analisi complessa della serie di SFourier della funzione cos(alpha*x), - pi < x <= pi: l'espansione in fratti semplici della cosecante e della cotangente. Serie di Fourier della derivata di una funzione. Convoluzione di due funzioni sommabili sulla retta; Trasformata di Fourier di una convoluzione. Convoluzione di due funzioni periodiche; coefficienti di Fourier di una convoluzione. Funzioni periodiche in piu' variabili e serie di Fourier multiple. 17/05/2018 (2 ore) Definizione originaria di Dirac della sua "funzione" delta. Approssimanti della delta di Dirac dati da successioni di gaussiane con deviazione standard che va a zero, di rettangoli che si alzano sempre piu' e si stringono mantenendo sempre area unitaria, lorenziane, ecc. Idea della convergenza debole o sotto integrale. Trasformata di Fourier (in senso formale) della delta di Dirac ed interpretazione fisica. 21/05/2018 (2 ore) Introduzione fisica alle distribuzioni: funzioni fisiche "senza scala". Collegamento con la nozione di punto materiale e la nozione di regolarizzazione nella teoria dei campi. Somme parziali delle serie di Fourier, il nucleo di Dirichelet e le sue proprieta' principali. Convergenza puntuale delle serie di Fourier, condizione del Dini e lemma di Riemann Lebesgue (senza dimostrazione). Il nucleo di Dirichlet K_N(z) come approssimante della delta di Dirac nel limite N -> infinito. ------------------------------------------------- Lezioni Santini 28/05/2018 (2 ore) La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni; esempi: la gaussiana, la D'Alambertiana, e il nucleo di Dirichlet. Contributo della delta agli estremi di integrazione. Proprieta' della delta: la delta di funzione, g(x)\delta(x-x0)=g(x0)\delta(x-x0). La derivata di una distribuzione. Esempio: la derivata della delta. La derivata della funzione gradino e' la delta. Derivata di una funzione discontinua piu' generale. Alcuni esercizi. 29/05/18 (2 ore) Esercizi su derivata di funzioni discontinue. Dimostrazione del lemma di Riemann-Lebesque. Proprieta' della trasformata di Fourier: limitatezza uniforme, convergenza a zero e continuita' (quest'ultima senza dim). Trasformata di Fourier della gaussiana, dell'onda piana troncata, della delta e della funzione gradino. 30/05/18 (2 ore) Ancora propieta' della trasformata di Fourier (TF). Derivabilita' e localizzazione . TF da S(R) a S(R), o da L^2(R) a L^2(R). Applicazione della TF alla risoluzione del problema di Cauchy sulla retta per l'equazione del calore. Es.: condizione iniziale tipo delta o gradino. Applicazione della TF alla risoluzione del problema di Cauchy sulla retta per l'equazione di Schroedinger per la particella libera (prima parte). 31/05/18 (2 ore) Applicazione della TF alla risoluzione del problema di Cauchy sulla retta per l'equazione di Schroedinger per la particella libera (seconda parte). Es.: condizione iniziale tipo delta o gaussiana. Dalla TF alla trasformata di Laplace (TL). Trasformata e anti-trasformata di Laplace (ATL). Calcolo della TL e della ATL di funzioni elementari. Uso della TL per risolvere equazione differenziale del second'ordine con condizioni iniziali (prima parte). 01/06/2018 (4 ore di recupero 14:00-18:00 aula 3) Esercizio sull'applicazione della trasformata di Laplace. Derivabilita' della funzione e convergenza dei coefficienti della serie di Fourier. Applicazione al caso delle serie di Fourier di x e del gradino. Somme di serie numeriche notevoli con Parseval. Serie del seno e del coseno su meta' periodo. Applicazione al problema della corda vibrante fissata agli estremi. I casi di corda pizzicata (chitarra) e martellata (pianoforte) (cenni). Excursus su spazi vettoriali, normati e euclidei infinito dimensionali. Successioni appartenti a l^p e l^{infty}, e funzioni appartenenti a L^p e L^{infty}. Ortonormalizzazione di un insieme di monomi. 11/06/2018 (2 ore) Definizione di operatore lineare. Spazio di operatori lineari come spazio vettoriale. Esempi: matrice quadrata e rettangolare; derivata, integrale, traslazione, innalzamento ed abbassamento (traslazione) in l^2, operatore integrale. Dominio, nucleo e immagine. Inverso di un operatore con esempi. Continuita' e limitatezza. Norma di un operatore limitato. Calcolo della norma di matrice quadrata. 12/06/2018 (2 ore) Dimostrazione che un operatore tra spazi finito dimensionali e' sempre limitato. La norma degli operatori di traslazione in l^2. La derivata non e' un operatore limitato. La somma e il prodotto di operatori limitati sono operatori limitati (prodotto senza dim.). Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach (senza dim.). Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Esempi importanti: Exp(A) e (1-A)^{-1}. Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. Esercizi per studenti: mostrare che i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A). Risoluzione del problema di Cauchy matriciale dx/dt=Ax, x(o) assegnato, con x(t) vettore in C^n e A matrice costante. Risoluzione dell'equazione lineare (1-\mu A)x=y atraverso la serie geometrica x=\sum \mu^n A^n y, se |\m|<1/||A||. 13/06/2018 (2 ore) L'hermitiano coniugato di un operatore su uno spazio euclideo. Proprieta' dell'hermitiano coniugato. Invarianza per coniugazione hermitiana e operatore hermitiano. Esempi: l'hermitiano coniugato dell'operatore integrale, di E^+ e E^-. L'operatore impulso (-id/dx) in meccanica quantistica e operatore di Sturm-Liouville sono hermitiani nell'intervallo [a,b] se le funzioni coinvolte nel prodotto scalare soddisfano ad opportune condizioni al contorno. Il proiettore e il proiettore ortogonale: definizione e proprieta'. 13/06/2018 (4 ore dalle 14:30 alle 18:30, aula 3) Esercizi sugli operatori di proiezione ortogonale. Operatori unitari: definizione e proprieta'. Esempi: L'operatore di traslazione Tf(x)=f(x+a) e l'operatore trasformata di Fourier su L^2(R). Spettro di una matrice; riepilogo di proprieta' note. Uso delle formule di diagonalizzazione della matrice per calcolare la funzione di matrice. Caso infinito dimensionale. Definizione di insieme risolvente e di operatore risolvente. Lo spettro dell'operatore come complemento dell'insieme risolvente. Tre tipi di spettro: spettro discreto, continuo e residuo; definizioni e proprieta'. Se l'operatore e' limitato, l'insieme risolvente e' un aperto di C e lo spettro e' un chiuso limitato. Esempi: lo spettro di E^+ e E^-; lo spettro di (-id/dx) sul segmento, con condizioni al bordo periodiche, e sulla retta. 14/06/2018 (2 ore) Analiticita' rispetto a lambda del risolvente, e relativa equazione differenziale. Relazione tra lo spettro di un operatore e del suo hermitiano coniugato. Lo spettro di un operatore hermitiano e' reale. Nel caso di spettro discreto, gli autovettori associati ad autovalori (reali) diversi sono ortogonali. Spettro discreto di operatore unitario U: gli autovalori hanno modulo uguale a 1; se v e' autovettore di U, lo e' anche di U^+; gli autovettori associati ad autovalori diversi sono ortogonali. Definizione di funzione di Green G(t,t') di un operatore differenziale lineare L (nella variabile t), come soluzione dell'equazione LG(t,t')=\delta(t-t'). La funzione di Green e' definita a meno del Ker(L). Uso di G(t,t') per risolvere l'equazione Lu(t)=f(t), dove f(t) e' una forzante assegnata. Esempio: L=d^2/dt^2+\omega^2_0; calcolo delle funzioni di Green ritardata, avanzata e di Feynmann. 18/06/2018 (4 ore (9:00-13:00) in aula Conversi) Forme hermitiane e teorema minimax (caso finito dim.). Operatori hermitiani che commutano hanno una base di autostati in comune. Operatori hermitiani che non commutano e principio di indeterminazione. Risoluzione di esercizi tipo per la preparazione allo scritto di analisi complessa e di analisi funzionale.