Diario delle lezioni del corso di MMMF, AA 2018-19, aula Amaldi ======================================================= Lezioni Santini 25/02/2019 (2 ore)(2) Introduzione ai numeri complessi. Piano di Argand-Gauss; rappresentazione cartesiana e polare. Formula di Euler - de Moivre. Interpretazione geometrica delle operazioni elementari sui numeri complessi. Disuguaglianza triangolare. Esempi. 27/02/2019 (2 ore)(4) Interpretazione geometrica del prodotto e della potenza n-esima. Radice n-esima come funzione polidroma; esempio. La radice n-esima dell'unita'. Il piano complesso come spazio normato (e quindi metrico). Equazione della retta nel piano complesso (forma parametrica e non). Intorno, dominio (aperto connesso); esempi di domini semplicemente e doppiamente connessi. Proiezione stereografica e punto all'infinito. Cenni sulla trasformazione la trasformazione z-> 1/z, che mappa l'intorno di 0 nell'intorno di infinito, e viceversa. Funzioni complesse di variabile complessa polidrome e monodrome. Funzioni iniettive, surgettive e bigettive, con esempi. Parte reale ed immaginaria di f(z): f(z)=u(x,y)+i v(x,y). Esempi in cui, date u e v, si costruisce f(z), in generale come funzione di z e \bar z. 28/02/2019 (2 ore)(6) La continuita' di f(z) equivale alla continuita' di u(x,y) e v(x,y). Derivabilita' in un punto, analiticita' in un dominio e condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi. Funzione armonica in un dominio come parte reale (o immaginaria) di una funzione analitica, e costruzione della parte immaginaria (o reale). Esercizio. 01/03/2019 (2 ore)(8) Regole formali di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Funzioni analitiche e sistemi di coordinate curvilinee ortogonali del piano, generate dalle curve di livello di u(x,y)=cost e v(x,y)=cost. Funzione analitica come trasformazione conforme. La trasformazione reciproca w=1/z, e suo significato geometrico. 04/03/2019 (2 ore)(10) La trasformazione w=1/z trasforma cerchi in cerchi (in rette nel caso degenere). La trasformazione di Moebius come trasf. invertibile che contiene, come casi particolari, la trasf. lineare e reciproca, e' un gruppo non commutativo. Essendo la composizione, nell'ordine, di una trasf. lineare, di una reciproca, e di una lineare, essa trasforma cerchi in cerchi (in rette nel caso degenere). Funzione z^{1/2} polidroma. Rotazione intorno a 0 e passaggio da una determinazione all'altra. Def. di punto di diramazione. 0 e \infty sono i punti di diramazione. 06/03/2019 (2 ore)(12) La funzione z^{1/2} e' analitica nel piano tagliato da 0 all'infinito. La funzione riprende il suo valore dopo due giri; secondo foglio; la sup. a due fogli e' topologicamente equivalente a una sfera (di Riemann) di genere = 0. Caso ((z-z_1)(z-z_2))^{1/2}: punti di diramazione z_1,z_2; taglio da z_1 a z_2; sup. di Riemann a due fogli topologicamente equiv. a sfera (genere = 0). Caso ((z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4))^{1/2}: punti di diramazione z_1,z_2,z_3,z_4; taglio da z_1 a z_2 e da z_3 a z_4; sup. di Riemann a due fogli topologicamente equiv. a toro (genere = 1). La funzione esponenziale w=e^z; periodicita' ed assenza di zeri. Trasforma il reticolo ortogonale del piano z nel reticolo curvilineo ortogonale polare del piano w. 07/03/2019 (2 ore)(14) La funzione inversa w=Log z e' una funzione polidroma a infiniti valori. Girando intorno a 0 nel piano z, con 0< arg z <2\pi, la funzione subisce l'incremento 2\pi i. 0 e infinito sono punti di diram., e il piano tagliato da 0 a infinito e' mappato sulla striscia orizzontale 0< v<2\pi. La superficie di Riemann, a infiniti fogli, non e' compatta. W=sin z; periodicita' e zeri. Rette verticali -> iperboli di fuochi 1,-1; rette orizzontali -> ellissi di fuochi 1,-1. La striscia verticale -\pi/2 piano con tagli da 1 a + infinito e da -1 a - infinito. w=arcsin z ha una doppia infinita' di valori. Sua espressione attraverso radice quadrata e logaritmo. Esempio con z=1/2. 08/03/2019 (2 ore)(16) Calcolo dell'arco seno di 2 e di i. z=1,-1 sono punti di diram. di tipo radice quadrata; z=infinito e' punto di diram. di tipo logaritmico della funzione arcsin z. La funzione e' analitica e monodroma nel piano tagliato da 1 a +infinito, e da -1 a -infinito.L'immagine del piano tagliato e' la striscia verticale -\pi/20, ed il moto di un fluido nell'ansa di un fiume, o il campo elettrostatico generato da due lastre piane di conduttore. Integrazione di funzioni complesse continue lungo curve del piano complesso. Curva continua, iniettiva (di Jordan), curva regolare e regolare a tratti del piano complesso. Curve rettificabili; esempio di curva non rettificabile: la curva di Koch. Definizione di integrale e sua forma parametrica: \int f(z(t))z'(t)dt. Proprieta' elementari dell'integrale. 13/03/2019 (2 ore)(20) Disuguaglianza di Darboux. Integrali della costante e di z. Integrale di 1/(z-z0) lungo arco di cfr centrato in z0 e sulla cfr, parametrizzando l'arco. Teorema di Cauchy. Prima dimostrazione usando il lemma di Green (che fa uso della continuita' delle derivate parziali, non dimostrata). Seconda dimostrazione (di Goursat): i) dimostrazione per il contorno di un triangolo qualsiasi; ii) per una poligonale qualsiasi; iii) per una curva qualsiasi, approssimabile bene quanto si vuole con una poligonale, sfruttando la continuita' di f(z) (quest'ultima parte NON DIMOSTRATA). Esistenza della primitiva e teorema della primitiva. 14/03/2019 (2 ore) (22) Teorema di Cauchy per domini multiplamente connessi. Esercizi sull'applicazione del thm di Cauchy, della primitiva, e della parametrizzazione delle curve per il calcolo di integrali. Numero di avvolgimenti. Rappresentazione integrale di Cauchy e teorema della media per funzioni analitiche e per funzioni armoniche. 15/03/2019 (2 ore) (24) Altre conseguenze della rapresentazione integrale di Cauchy: teorema del massimo e minimo modulo per f(z) e per funzioni armoniche; esistenza delle derivate ad ogni ordine di una funzione analitica e loro rappresentazione integrale; primo e secondo teorema di Liouville; teorema di Morera. Esercizio sulla funzione arcsin z. 18/03/2019 (2 ore) (26) Integrazione su archi infiniti e infinitesimi. Convergenza uniforme sull'arco. Esempi. Il lemma di Jordan. L'integrale \int F(z)exp(i z^2)dz sul quarto di circonferenza di raggio R nel primo quadrante. Gli integrali di Fresnell. ==================================================== Lezioni Maselli 19/03/2019 (2 ore) (2) Introduzione sulle serie di funzioni complesse. Tipi di convergenza: convergenza per punti, assoluta e uniforme, e relazioni tra di esse. M-test Weierstass. Proprieta' della convergenza uniforme: continuita', analiticita' della funzione somma, e scambio somma con integrale [dimostrazione]. Teorema di Cauchy-Hadamard (senza dimostrazione). Teorema di Abel. Se f(z) e' sviluppabile in serie di potenze in un disco, e' ivi analitica con le sua derivate e lo sviluppo e' quello di Taylor (dimostrazione che il coefficienti della serie di potenza corrispondono alle derivate della funzione somma). Esempi di calcolo del raggio di convergenza. 20/03/2019 (2 ore) (4) Esempi di calcolo del raggio di convergenza e studio della convergenza al bordo. Teorema della serie di Taylor per funzioni analitiche [dimostrazione]. Esempi di sviluppi in serie di Taylor. Teorema della serie di Laurent (dimostrazione). 21/03/2019 (2 ore) (6) Teorema della serie di Laurent (fine dimostrazione). Singolarita' isolate di una funzione analitica. Poli di ordine n e singolarita' essenziali. Definizione di residuo di singolarita' isolata al finito, e dimostrazione che coincide col coefficiente c_{-1} dello sviluppo di Laurent. Teorema dei residui (dimostrazione). Calcolo del residuo in un polo di ordine n [dimostrazione]. Residuo di f_1(z)/f_2(z) in z_0, zero semplice di f_2(z). Residuo all'infinito. 22/03/2019 (2 ore) (8) Teorema sulla somma dei residui in \bar C. Esercizi vari su: i) sviluppi in serie di potenze e regioni di convergenza; ii) classificazione delle singolarità di funzioni elementari nel piano complesso esteso, e calcolo dei rispettivi residui. 25/03/2019 (2 ore) (10) Esempi di sviluppo serie di Laurent. Calcolo di integrali col teorema dei residui: i) Integrali di funzioni trigonometriche. ii) Integrali di funzioni prolungabili nel semi piano superiore o inferiore. Due esempi per ogni tipologia 26/03/2019 (2 ore) (12) iii) Integrali di Fourier: due esempi. Estensione degli integrali al caso con singolarita' sull'asse reale: l'esempio di sin (ax)/x. Integrazione di funzioni polidrome (o riconducibili a funzioni polidrome) col teorema dei residui. Calcolo dell'integrale di x^{a}/(x+1) da 0 a infinito, con 0 \gamma per n-> infinito. Esempi: proprieta' di analiticita' dell'integrale di Laplace e della funzione Gamma di Euler (prima parte). ============================================= Lezione Maselli 04/04/2019 (2 ore) (22) Esercizi su sviluppi in serie di Laurent, studio delle singolarità di una funzione. Calcolo dei residui. Calcolo di integrali di vario tipo con il teorema dei residui. ============================================== Lezioni Santini 05/04/2019 (2 ore) (32) La Gamma di Euler come estensione al continuo del fattoriale. Equazioni funzionali per la funzione Gamma di Euler, e suo prolungamento analitico a tutto il piano complesso, attraverso una funzione meromorfa, con poli semplici in 0,-1,-2,-3,.., che non ha zeri in C. La funzione zeta di Riemann e la formula di Euler, che la lega alla distribuzione dei numeri primi. Introduzione della funzione G(z) intera in C, e prolungamento analitico della zeta di Riemann attraverso la funzione meromorfa Gamma(1-z)G(z), con polo semplice in z=1. 08/04/2019 (2 ore) (34) Zeri banali della funzione zeta di Riemann, e la congettura di Riemann (uno dei sette problemi del millennio) per gli zeri non banali. Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. 09/04/2019 (2 ore) (36) La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali di dimensione n sono isomorfi a C^n. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Spazi normati: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme). Disuguaglianza di Young; disuguaglianze di Holder e di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2 e R^3. Equivalenza di norme nel caso finito dim. Calcolo di norme nel caso finito dim. 10/04/2019 (2 ore) (38) Spazi di successioni: l_f, l_p, l_0, l_infinito, e relative norme. Inclusioni tra questi spazi. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p. Spazi funzionali C_p(I), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali, e relative norme. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). 11/04/2019 (2 ore) (40) Disuguaglianza tra norme di spazi di funzioni. Spazi metrici (M,d): definizione ed esempi. Spazi normati come spazi metrici: distanza indotta dalla norma. Esempi canonici. Palle aperte e chiuse in (M,d). Se X e' contenuto in M, nozione di aperto, chiuso, interno, chiusura, complementare e frontiera di X. Punti aderenza e punti di accumulazione. Chiusura come insieme dei punti di accumulazione. Successioni di Cauchy e completezza. R, R^n, C, C^n sono insiemi completi (gia' noto). Completezza di (l_p,d_p). 12/04/2019 (2 ore) (42) Completezza di (l_inf,d_inf) (per casa). Completezza dello spazio delle funzioni continue rispetto alla norma del sup. Non completezza dello spazio delle funzioni continue rispetto alla norma p. Chiusura e completezza dello spazio delle successioni convergenti a 0 rispetto alla norma del sup. l_0 e' la chiusura di l_f rispetto alla norma del sup. Insiemi limitati e totalmente limitati. Se X e' totalmente limitato, non e' possibile costruire una successione di X i cui punti hanno distanze reciproche maggiori di un ceto epsilon. La palla chiusa di raggio 1 in l_2 e' un insieme limitato, ma non totalmente limitato. Insiemi compatti. La caratterizzazione di insiemi compatti come chiusi limitati vale solo nel caso finito-dimensionale. ============================================ Lezione Maselli 15/04/2019 (2 ore) (24) Esercizi vari su: indipendenza di vettori e funzioni a variabili reali e complesse, procedimento di ortonormalizzazione, studio di appartenenza di una funzione ad uno spazio L_p ================================= Lezioni Santini 16/04/2019 (2 ore) (44) X e' compatto se e solo se e' completo e totalmente limitato (solo la dimostrazione ->). Insieme X denso in (M,d). Esempi: l'insieme dei razionali e' denso nei reali; l_f e' denso in (l_0,norma sup) e in (l_p, norma p); l'insieme dei polinomi e' denso in C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei polinomi trigonometrici e' denso in C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. Inviluppo lineare di un insieme di vettori (span) con esempi. Insieme completo di vettori e base di uno spazio metrico infinito-dimensionale. Esempi: l'insieme dei versori canonici e' una base per gli spazi (l_0,norma sup) e (l_p, norma p); l'insieme dei monomi e' una base per C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei monomi trigonometrici e' una base per C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. 17/04/2019 (2 ore) (46) Lo spazio delle funzioni continue periodiche al bordo e' denso (in norma p) nello spazio delle funzioni continue, che e' denso in norma p nello spazio delle funzioni discontinue, che e' denso in L_p. Quindi sia l'insieme dei monomi trigonometrici che l'insieme dei monomi sono densi in L_p. Spazio metrico separabile con esempi: gli spazi R, R^n, C, C^n, l_0, l_p, L_p sono spazi metrici separabili. Definizione di prodotto scalare e di spazio euclideo. Disugaglianza di Cauchy-Schwarz e nozione di angolo tra due vettori. Lo spazio euclideo e' anche spazio normato (e metrico). Ortogonalita' tra due vettori. Ortonormalita' di un insieme di vettori. Teorema di Pitagora per due o piu' vettori ortogonali. Tensore metrico come matrice hermitiana positiva. Esempi di spazi euclidei finito e infinito-dimensionali. 29/04/2019 (2 ore) (48) Uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per mostrare che: i) se f e g appartengono a L_2, allora fg appartiene a L_1; ii) L_2[a,b] e' contenuto in L_1[a,b], dove [a,b] e' un intervallo finito. Minimi quadrati, proiezione ortogonale e disuguaglianza di Bessel per i coefficienti di Fourier. Sottospazio ortogonale e sue proprieta'. Esistenza di base ortonormale in spazio euclideo separabile, e ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Bessel, relazione di Parseval e base ortonormale. 30/04/2019 (2 ore) (50) Isomorfismo tra spazio di Hilbert separabile H e l_2: la successione dei coefficienti di Fourier di un generico vettore di H appartiene a l_2 e, viceversa, a ogni successione di l_2 corrisponde un vettore di H. L'isomorfismo e' non solo lineare, ma anche euclideo. CNES affinche' un insieme di vettori ortonormali sia una base dello spazio di Hilbert separabile H e' che, se un vettore v\in H e' ortogonale a tutti gli elementi dell'insieme, allora v=0. Esempio rilevante: l'insieme dei monomi. Ortogonalizzato attraverso Gram-Schmidt in (-1,1), rispetto al solito prodotto scalare, esso da' luogo ai polinomi di Legendre. Ortogonalizzato invece in (-\infty,\infty), rispetto al peso gaussiano, esso da' luogo ai polinomi di Hermite. I monomi trigonometrici (o i corrispondenti esponenziali), opportunamente normalizzati, sono una base ortonormale in (-\pi,\pi), rispetto al solito prodotto scalare. 02/05/2019 (2 ore) (52) Operatori lineari. Lo spazio degli operatori lineari come spazio vettoriale. Dominio, immagine e Ker dell'operatore. Continuita' e limitatezza di un operatore, e loro equivalenza nel caso di operatore lineare. Norma ||A|| di un operatore lineare A limitato. Il funzionale lineare f e' un operatore lineare da un spazio vettoriale V all'insieme dei numeri complessi: f:V->C. La codimensione del Ker(f) e' uguale a 1. Esempi di funzionali lineari: i) la componente i-esima di un vettore rispetto ad una data base di V, con V=C^n o l_2, e la base duale. ii) Il prodotto scalare (x_0,.) e' un funzionale lineare, con f(x)=(x_0,x), e ||f||=||x_0||. Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare f:E->C esiste un x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E. iii) F definito da F(g)=\int_I f(t)g(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni g(t)\in C(I), dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il dato funzionale. 03/05/2019 (2 ore) (54) Il funzionale "integrale": Int(\phi)=\int_a^b \phi(t)dt, con \phi appartente a L_\infty, ha norma ||Int||=b-a. Il funzionale lineare F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L_p, indotte dagli spazi di appartenenza delle funzioni di prova, sono rispettivamente: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1. Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. Densita' di massa di un punto materiale e introduzione fisica alla delta di Dirac. Confronto critico con la definizione rigorosa. Uso degli spazi S e K per le funzioni di prova, con f(t) appartenente a L^1_loc. Distribuzioni regolari e singolari. 06/05/2019 (2 ore) (56) La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni; esempi: la gaussiana, la D'Alambertiana, e il nucleo di Dirichlet. Contributo della delta agli estremi di integrazione. Proprieta' della delta: la delta di funzione; esercizio. ============================= Lezione Maselli 07/05/2019 (2 ore) (26) Esercizi su sviluppi in serie di Laurent, studio delle singolarita' di una funzione. Calcolo dei residui. Calcolo di integrali di vario tipo con il teorema dei residui. ================================== Lezioni Santini 08/05/2019 (2 ore) (58) Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa. g(x)\delta(x-x0)=g(x0)\delta(x-x0). Derivata di una funzione discontinua con discontinuita' semplice. Esempio: derivata della funzione "parte intera". Altre distribuzioni rilevanti. La delta di Dirac in R^n. Le funzioni, su R, R^2 e R^3, il cui Laplaciano e' proporzionale alla delta. Il caso su R^2 risolto esplicitamente. 09/05/2019 (2 ore) (60) Lemma di Riemann-Lebesque. La convergenza della successione di Dirichlet alla delta di Dirac. La rappresentazione della delta di Dirac attraverso la trasformata di Fourier. Costruzione della serie di Fourier di una funzione di L^2[-\pi,\pi], e convergenza in norma euclidea. Coefficienti di Fourier e formula di Parseval. Base dei monomi trigonometrici e degli esponenziali. ============================= Lezione Aglietti 10/05/2019 (2 ore) (2) Calcolo esplicito dei coefficienti della serie di Fourier delle funzioni f(x)=x,x^2. Calcolo della somma di 1/n^2, n=1,2,3,..., mediante l'identita' di Parseval per la funzione f(x)=x e mediante la valutazione puntuale della funzione f(x)=x^2. Calcolo della somma di (-1)^n/n^2 tramite la valutazione puntuale di f(x)=x^2. Determinazione della funzione (periodica) avente come coefficienti di Fourier, nella base complessa, c_n=exp(-a*x) per n>=0 e zero altrimenti (a>0). Nella seconda ora, visione di lucidi contenenti i grafici di funzioni piu' o meno regolari confrontati con le rispettive serie di Fourier troncate a vari ordini. Esercizi proposti per casa: 1. Sommare 1/n^4 (=pi^4/90) tramite l'identita' di Parseval per f(x)=x^2; 2. Calcolare la serie di Fourier di x^2 integrando in x termine a termine la serie di Fourier di x, determinando la costante di integrazione tramite le somme notevoli ricavate a lezione. 3. Determinare la funzione avente come coefficienti di Fourier, nella base complessa, c_n=n*exp(-a*x) per n>=0 e zero altrimenti. ============================ Lezioni Santini 13/05/2019 (2 ore) (62) Uso della delta per descrivere la completezza di un sistema ortonormale di vettori. Teorema di convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier alla funzione f(x) in un punto di continuita', e condizione di Dini. Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x), e condizione di Dini sul rapporto incrementale destro e sinistro. 15/05/2019 (2 ore) (64) Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x) e dettagli analitici relativi al fenomeno di Gibbs, attraverso considerazioni meno rigorose ma corrette. Regolarita' della funzione da rappresentare e rapidita' della convergenza dei coeff. di Fourier. Regolarita' della funzione da rappresentare e convergenza totale della serie di Fourier. Sviluppo della funzione gradino in serie di Fourier. 16/05/2019 (2 ore) (66) Alcuni esercizi sul calcolo della somma della serie di Fourier, dati i coefficienti. La serie di Fourier su un intervallo (a,b) arbitrario. La serie dei seni e quella dei coseni nell'intervallo (0,\pi) e nell'intervallo (0,L), e cenni sulle possibili applicazioni della serie dei seni in meccanica quantistica e nella teoria della corda vibrante bloccata agli estremi. La serie di Fourier su un intervallo (a,b), il suo limite b->\infty e a->-infinity, e la trasformata e anti-trasformata di Fourier. Formule per l'ortonormalita' e completezza dell'insieme continuo di esponenziali {exp(ikx)/\sqrt{2\pi}}, per k reale. 17/05/2019 (2 ore) (68) Condizione di Dini e convergenza puntuale dell'anti-trasformata di Fourier alla funzione, nei punti in cui e' continua, e alla media del limite destro e sinistro, nei punti di discontinuita' semplice. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' uniformemente limitata, continua, e converge a zero per k->\infty; ma non e', in generale, assolutamente integrabile lei stessa. Se, invece, f(x)\in L_2(R), allora la TF puo' essere anche singolare, ma appartiene anche lei a L_2(R). ================================= Lezione Aglietti 20/05/2019 (4) I ora: calcolo esplicito della Trasformata di Fourier (TF) delle funzioni 1/(x^2+1) ed 1/(x-i); discussione della relazione tra le proprieta' di una funzione e della sua TF. II ora: calcolo esplicito della TF di exp(-x^2/2) e delle sue derivate prima e seconda; discussione sulla diagonalizzazione della TF. Relazione tra la TF di f(x) ed f(x+a). Esercizi per casa: 1. calcolare la TF di 1/((x-a)^2+b^2) con la costante "a" reale e la costante "b" positiva; 2. trovare la costante "c" nella funzione (x^2+c)*exp(-x^2/2) tale che quest'ultima sia un'autofunzione della TF; 3. dimostrare che la quarta potenza della TF e' l'identita' (traccia data: il quadrato della TF mappa f(x) in f(-x)). 4. trovare la relazione tra la TF di f(x) ed f(a x) con a>0. ================================= Lezione Maselli 21/05/2019 (2 ore) (28) Esercizi su sviluppi in serie di Laurent, studio delle singolarita' di una funzione. Calcolo dei residui. Calcolo di integrali di vario tipo con il teorema dei residui. ========================================= Lezioni Santini 22/05/2019 (70) Lista delle proprieta' di base della trasformata di Fourier (TF), e dimostrazione di due di esse (la proprieta' di scala e di derivazione n-esima). Applicazione delle proprieta' al calcolo della TF di (a x^2 +b)^(-1) e di exp(-x^2/(2sigma^2)). Relazione tra la regolarita' di f(x) e la rapidita' di convergenza a zero della sua TF (e viceversa). Deduzione: la TF mappa funzioni di S(R) in funzioni di S(R). Poiche' S(R) e' denso in L^2(R) rispetto alla norma euclidea, allora la TF mappa funzioni di L^2(R) in funzioni di L^2(R). Esercizio sulla TF dell'onda piana tagliata. La TF come oscilloscopio matematico. Il prodotto di convoluzione f(x)=(f_1*f_2)(x) di due funzioni f_1 e f_2. Se f_1,f_2 appartengono a L^1(R), anche f appartiene a L^1(R), e (f_1*f_2)(x)=(f_2*f_1)(x). Teorema di convoluzione sulla trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione. La risposta di un sistema lineare e' descritta da un'equazione del tipo: R(t)=\int K(t,t')I(t')dt', dove K e' la funzione di suscettivita' del sistema, I e' l'input (entrata) e R e' l'output (uscita). Se la fisica e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. 23/05/2019 (72) Se la fisica lineare e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. Se il problema e' anche causale, allora G(t-t')=0 se t0. Calcolo dell'anti-TL quando la TL e' (p^2 +1)^(-1). 24/05/2019 (74) Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace di f'(x) e di f''(x). Riassunto di quanto sappiamo sugli operatori lineari su spazi normati. Dominio, nucleo, immagine. Inverso di un operatore lineare. Continuita' e limitatezza. Norma di un operatore lineare limitato. Rappresentazione matriciale di un operatore. Esempi: gli operatori di traslazione destra e sinistra: l_2->l_2 (calcolo di dominio, nucleo, immagine; calcolo dell'operatore inverso, sotto opportune restrizioni; calcolo della rappresentazione matriciale rispetto alla base canonica, e della loro norma). Calcolo della norma del sup per matrici quadrate nXn. 29/05/2019 (76) Calcolo della norma euclidea per matrici quadrate nXn e limitatezza di operatori su spazi finito dimensionali. Gli operatori di Fredholm (Kf)(x)=\int_a^bK(x,t)f(t)dt da C[a,b] a C[a,b], o da L_2[a,b] a L_2[a,b] sono limitati, e calcolo della loro norma del sup o euclidea. L'operatore di moltiplicazione per x e' limitato se x appartiene ad un intervallo limitato, non e' limitato altrimenti. L'operatore di derivazione non e' limitato. La somma e il prodotto di operatori limitati sono operatori limitati (prodotto senza dim.). Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach (senza dim.). Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Esempi importanti: Exp(A) e (1-A)^{-1}. Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. Dimostrazione delle proprieta' i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A), con A operatore limitato su spazio di Banach. 30/05/2019 (78) Verifica che x(t)=exp(tA)c e' la soluzione del sistema di equazioni differenziali del prim'ordine dx/dt=Ax, con x(0)=c in C^n, e A e' una matrice nxn costante. Se ||A||<1, allora (1-A)^{-1} e' sviluppabile attraverso la serie geometrica \sum_k A^k; applicazione: la soluzione del problema lineare (1-A)x=y nello spazio di Banach X, dove A:X->X e y in X sono assegnati. La soluzione attraverso la serie di Neumann x=\sum_k h_k, h_(k+1)=A h_k, h_0=y. Esempio importante: gli operatori di Fredholm A=\mu K, con \mu complesso. Condizioni di esistenza e unicita'; esempio semplice. Dato A:H->H, definizione di operatore aggiunto (hermitiano coniugato); esistenza ed unicita' dell'operatore aggiunto, sua rappresentazione matriciale; altre proprieta' rilevanti. Operatore auto-aggiunto (hermitiano) e sua rappresentazione matriciale. La forma quadratica corrispondente (forma hermitiana) e' reale. Esempi: i) l'operatore di Fredholm ed il suo aggiunto; condizione affinche' l'operatore di Fredholm sia auto-aggiunto. ii) l'operatore quantita' di moto in meccanica quantistica e' auto-aggiunto sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). 31/05/2019 (80) L'operatore derivata in meccanica quantistica e' anti-aggiunto sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). L'operatore Hamiltoniano H=-d^2/dx^2 + V(x), con l'energia potenziale V(x) reale, e' auto-aggiunto sullo soazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo per la funzione e per la sua derivata prima, oppure se queste appartengono a L_2(R). Definizione di proiettore e sua caratterizzazione come operatore idempotente. Operatore di proiezione ortogonale come operatore idempotente ed hermitiano. Il proiettore ortogonale ha norma 1. La rappresentazione di un operatore di proiezione ortogonale attraverso la base ortonormale dello spazio sul quale si proietta, e la notazione di Dirac. Esercizi sulla costruzione del proiettore ortogonale in C^n. Definizione di operatore unitario e sua caratterizzazione come operatore che preserva il prodotto scalare tra due vettori (lunghezza dei due vettori e angolo formato). 03/06/2019 (82) Esempi di operatori unitari: i) le rotazioni in R^n sono matrici unitarie e reali (cioe' ortogonali); l'operatore di traslazione Tf(x)=f(x+c), con x e c reali; l'operatore trasformata di Fourier su L_2(R). Spettro di un operatore. Riassunto delle proprieta' nel caso finito dimensionale; uso di autovalori e autovettori di una matrice diagonalizzabile per costruire f(A). Esempio. Teoria spettrale per operatori su spazi infinito-dimensionali. Insieme risolvente \rho(A) e operatore risolvente R_lambda(A)=(A-lambda I)^{-1}. Definizione di spettro discreto (puntuale), continuo e residuo. Se A e' limitato, l'insieme risolvente e' un aperto di C, mentre lo spettro e' un insieme chiuso e limitato. Il risolvente e' un operatore analitico rispetto a lambda appartenente a \rho(A), con dR/dlambda =R^2. Se \rho(A) e' l'insieme risolvente di A, l'insieme risolvente di A^+ e' il complesso coniugato di \rho(A). Idem per lo spettro. 04/06/2019 (84) (aula Conversi 9:00-11:00) Uso della serie di Fourier dei seni per risolvere il problema di Cauchy della corda vibrante bloccata agli estremi, nei casi di corda pizzicata (chitarra) e martellata (pianoforte). Osservazione che lo stesso strumento si usa anche per risolvere il problema di Cauchy per l'equazione del calore con gli estremi tenuti a temperatura costante, o per l'equazione di Schroedinger per la particella libera in una scatola. Uso della trasformata di Fourier per risolvere il problema di Cauchy per l'equazione del calore e per l'equazione di Schroedinger per la particella libera, su tutta la retta. 05/06/2019 (86) Se A e' hermitiano, allora il suo spettro (discreto, continuo e residuo) e' reale. Nel caso di spettro discreto, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se Av=\lambda v, v in H, allora f(A)v=f(lambda)v. Se U e' unitario, allora |lambda|=1, e gli autovettori di U sono gli autovettori di U^+. Inoltre, come per operatori hermitiani, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se P e' un proiettore (P^2=P), e se Pv=lambda v, allora lambda=0, o lambda=1. Se lambda appartiene allo spettro residuo di A, allora il suo complesso coniugato appartiene allo spettro discreto di A^+. Se lambda appartiene allo spettro continuo di A, allora R_{lambda}(A) e' illimitato e, tipicamente, esistono soluzioni dell'equazione agli autovalori non appartenenti a H (a L_2 o a l_2), ma limitate, appartenenti cioe' a L_infty o a l_infty (e' quest'ultima la definizione di spettro continuo usata in fisica), che possono essere approssimate da successioni di H. Esempio: lo spettro degli operatori E^+ e E^-. {|lambda|<1}=spettro discreto di E^+; {|lambda|=1}=spettro continuo di E^+ (con costruzione degli approssimanti, e verifica che il risolvente e' illimitato). {|lambda|<=1}=spettro residuo di E^- (l'uguaglianza senza dimostrazione). Lo spettro di p=-id/dx in L_2[-\pi,\pi] con f(-\pi)=f(\pi) e' discreto, con lambda_n=n intero qualsiasi, e f_n(x)=exp(inx) (la base di Fourier). 06/06/2019 (88) Lo spettro di p=-id/dx in L_2(R) e' R, ed e' continuo. Teorema spettrale per operatori hermitiani A: C^n->C^n. Teorema spettrale per operatori hermitiani e compatti nel caso infinito dimensionale (solo enunciato). Lo spettro di operatori di Sturm-Liouville (SL). Base ortonormale delle autofunzioni di operatori di SL, e loro uso per risolvere equazioni alle derivate parziali che li coinvolgono (cenni). La funzione di Green come risposta di un sistema lineare ad un imput impulsivo, e uso della stessa nella rappresentazione integrale della risposta ad un imput generico (cenni). La funzione di Green attraverso la formula di completezza delle autofunzioni di un operatore di SL. 07/06/2019 (90) Esercizi su: integrali al valor principale con integrando polidromo; sviluppo in serie di Fourier; singolarita' di funzioni meromorfe in \bar C e calcolo dei residui; spettro dell'operatore (-d^/dx^2); convergenza dello sviluppo in serie di Taylor in C; calcolo di cos(P), con P proiettore; soluzione dell'equazione (1-a P)x=y in l_2, dove P e' il proiettore ortogonale che proietta su e_1=(1,0,0..), in funzione del parametro complesso a. 10/06.2019 (92) Esercizi su: sviluppi in serie di Fourier; derivata della serie di Fourier; funzioni elementari polidrome, loro singolarita' e calcolo dei residui; Funzioni di matrici in rappresentazione di Jordan; uso del teorema dei residui per il calcolo delle funzioni di Green ritardata e di Feynmann dell'oscillatore armonico; spettro discreto dell'operatore Tf(x):=f(x+1) in L_2[-\pi,\pi] con condizioni periodiche al bordo, soluzione dell'equazione (1-a E^-)x=e_1 in l_2, dove a e' un parametro complesso, E^-(x_1,x_2,x_3,..)=(0,x_1,x_2,..) e e_1=(1,0,0,..); caloco dell'antitrasformata di Laplace di (1+z)^{-1/2}; esercizio sulla delta di funzione. FINE CORSO