Diario delle lezioni del corso di MMMF (analisi funzionale), AA 2019-20, aula Amaldi ======================================================= 06/04/2020 (12-14) (2) Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali di dimensione n sono isomorfi a C^n [DIMENTICATO DI DIRLO]. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Sottospazi vettoriali; es: lo span (inviluppo lineare). Spazi normati: definizione ed esempi: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme), nel caso finito dimensionale. Disuguaglianza di Young e di Holder. ============================================ 07/04/2020 (16-18) (4) Disuguaglianza di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2. Equivalenza di norme nel caso finito dim. Calcolo di norme nel caso finito dimensionale. Spazi di successioni: l_f, l_p, l_0, l_infinito, e relative norme. Inclusioni tra questi spazi. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p. Spazi funzionali (C(I),||.||_p), (C(I),||.||_\infty), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). Disuguaglianze tra norme di spazi di successioni e di funzioni. ============================================ 08/04/2020 (16-18) (6) Spazi metrici (M,d): definizione ed esempi. Spazi normati come spazi metrici: distanza indotta dalla norma. Esempi canonici. Palle aperte e chiuse in (M,d). Se X e' contenuto in M, nozione di aperto, chiuso, interno, chiusura, complementare e frontiera di X. Esempi. Punti aderenza e punti di accumulazione. Chiusura come insieme dei punti di accumulazione, nel caso di assenza di punti isolati. Successioni di Cauchy e completezza. Equivalenza tra chiusura e completezza all'interno di uno spazio metrico ambiente completo; altrimenti la completezza implica la chiusura. Insieme X denso in (M,d); l'insieme dei razionali e' denso nei reali. R, R^n, C, C^n sono spazi metrici completi (gia' noto). Completezza di (l_p,d_p). Completezza di (l_inf,d_inf) (per casa). Completezza dello spazio delle funzioni continue rispetto alla norma del sup. Non completezza dello spazio delle funzioni continue rispetto alla norma p. ============================================ 15/04/2020 (16-18) (8) Densita' di l_f in (l_0,||.||_inf) e in (l_p,||.||_p). Insiemi limitati e totalmente limitati. Se X e' totalmente limitato, non e' possibile costruire una successione di X i cui punti hanno distanze reciproche maggiori di un certo epsilon. La palla chiusa di raggio 1 in l_2 e' un insieme limitato, ma non totalmente limitato. Insiemi compatti. La caratterizzazione di insiemi compatti come chiusi limitati vale solo nel caso finito-dimensionale. X e' compatto se e solo se e' completo e totalmente limitato (solo la dimostrazione ->). Esempi di insiemi densi: l'insieme dei razionali e' denso nei reali; l_f e' denso in (l_0,norma sup) e in (l_p, norma p); l'insieme dei polinomi e' denso in C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei polinomi trigonometrici e' denso in C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. Inviluppo lineare di un insieme di vettori (span) con esempi. Insieme completo di vettori e base di uno spazio metrico infinito-dimensionale. Esempi: l'insieme delle successioni di versori canonici e' una base per gli spazi (l_0,norma sup) e (l_p, norma p); l'insieme dei monomi e' una base per C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei monomi trigonometrici e' una base per C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. Lo spazio delle funzioni continue periodiche al bordo e' denso (in norma p) nello spazio delle funzioni continue, che e' denso in norma p nello spazio delle funzioni discontinue, che e' denso in L_p. Quindi sia l'insieme dei monomi trigonometrici che l'insieme dei monomi sono densi in L_p rispetto alla norma p. ============================================== 17/04/2020 (14-16) (10) Spazio metrico separabile con esempi: gli spazi R, R^n, C, C^n, l_0, l_p, L_p sono spazi metrici separabili. Definizione di prodotto scalare e di spazio euclideo. Disugaglianza di Cauchy-Schwarz e nozione di angolo tra due vettori. Lo spazio euclideo e' anche spazio normato (e metrico). Ortogonalita' tra due vettori. Ortonormalita' di un insieme di vettori. Teorema di Pitagora per due o piu' vettori ortogonali. Tensore metrico come matrice hermitiana positiva. Esempi di spazi euclidei finito e infinito-dimensionali. Uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per mostrare che: i) se f e g appartengono a L_2, allora fg appartiene a L_1; ii) L_2[a,b] e' contenuto in L_1[a,b], dove [a,b] e' un intervallo finito (esercizi per gli studenti). Spazi euclidei separabili ed esestenza di base ortonormale attraverso il procedimento di Gram-Schmidt. Minimi quadrati (inizio). ============================================== 20/04/2020 (12-14) (12) Minimi quadrati, proiezione ortogonale e disuguaglianza di Bessel per i coefficienti di Fourier. Complemento ortogonale e sue proprieta'. Disuguaglianza di Bessel, relazione di Parseval e base ortonormale. Isomorfismo tra spazio di Hilbert separabile H e l_2: la successione dei coefficienti di Fourier di un generico vettore di H appartiene a l_2 e, viceversa, a ogni successione di l_2 corrisponde un vettore di H. L'isomorfismo e' non solo lineare, ma anche euclideo. CNES affinche' un insieme di vettori ortonormali sia una base dello spazio di Hilbert separabile H e' che, se un vettore v\in H e' ortogonale a tutti gli elementi dell'insieme, allora v=0 (senza dimostrazione). Esempio rilevante: l'insieme dei monomi. Ortogonalizzato attraverso Gram-Schmidt in (-1,1), rispetto al solito prodotto scalare, esso da' luogo ai polinomi di Legendre. Ortogonalizzato invece in (-\infty,\infty), rispetto al peso gaussiano, esso da' luogo ai polinomi di Hermite. I monomi trigonometrici (o i corrispondenti esponenziali), opportunamente normalizzati, sono una base ortonormale in (-\pi,\pi), rispetto al solito prodotto scalare. ============================================== 21/04/2020 (16-18) (14) Operatori lineari. Lo spazio degli operatori lineari come spazio vettoriale. Dominio, immagine e Ker dell'operatore. Continuita' e limitatezza di un operatore, e loro equivalenza nel caso di operatore lineare. Norma ||A|| di un operatore lineare A limitato. Il funzionale lineare f e' un operatore lineare da un spazio vettoriale V all'insieme dei numeri complessi: f:V->C. La codimensione del Ker(f) e' uguale a 1. Esempi di funzionali lineari: i) la componente i-esima di un vettore rispetto ad una data base di V, con V=C^n o l_2, e la base duale. ii) Il prodotto scalare (x_0,.) e' un funzionale lineare, con f(x)=(x_0,x), e ||f||=||x_0||. Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare continuo f:E->C esiste unico x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E, con ||f||=||x_0||_E. iii) Il funzionale integrale definito Int(\phi)=\int_a^b\phi(t)dt; iv) Il funzionale piu' generale F definito da F(\phi)=\int_a^b f(t)\phi(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni \phi(t)\in C[a,b], dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il funzionale. Loro norme: ||Int||=b-a; ||F||=||f||_1, se \phi e' C[a.b] con norma ||.||_infty. ============================================== 22/04/2020 (16-18) (16) Uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che il funzionale lineare F(x)=\sum f_k x_k, con x appartenente a l_p, ha norma: ||F||=||f||_q, con f appartenente a l_q, e 1/p+1/q=1. Analogamente, il funzionale F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L^p, ha norma: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1 (senza dimostrazione). Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. Densita' di massa di un punto materiale e introduzione fisica alla delta di Dirac attraverso un'opportuna successione di funzioni. Confronto critico con la definizione rigorosa. Uso degli spazi S e K per le funzioni di prova, con f(t) appartenente a L^1_loc. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx); esempi: la gaussiana, la lorenziana, e il nucleo di Dirichlet. ============================================== 24/04/2020 (10-12) (18) La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx); convergenza debole e non forte. Contributo della delta agli estremi di integrazione. Proprieta' della delta: la delta di funzione; esercizio. Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa. Altre proprieta' della delta. Derivata di una funzione discontinua con discontinuita' semplice. Esempio: derivata della funzione "parte intera". Esercizio per casa. ============================================== 27/04/2020 (12-14) (20) Derivazione di un funzionale lineare in R^n. La delta di Dirac in R^n. Le funzioni, su R, R^2 e R^3, il cui Laplaciano e' proporzionale alla delta di Dirac. Lemma di Riemann-Lebesque. La convergenza della successione di Dirichlet (che descrive la diffrazione da fenditura) alla delta di Dirac. La rappresentazione della delta di Dirac attraverso la trasformata di Fourier. ============================================== 28/04/2020 (16-18) (22) Ortonormalita' e completezza attraverso la delta. Costruzione della serie di Fourier di una funzione di L^2[-\pi,\pi], e convergenza in norma euclidea. Coefficienti di Fourier e formula di Parseval. Base dei monomi trigonometrici e degli esponenziali. Calcolo esplicito dei coefficienti della serie di Fourier delle funzioni f(x)=x,x^2. La serie di Fourier S(x) di f(x) come prolungamento 2\pi-periodico di f(x) su tutto R, e non convergenza puntuale nei punti di discontinuita' del prolungamento. Uso della relazione di Parseval per il calcolo di serie numeriche notevoli. Somma di altre serie numeriche notevoli per opportuni valori di x. Confronto tra il grafico di f(x) e quello della serie di Fourier troncata, al crescere del numero di termini. Il problema della convergenza puntuale della serie di Fourier come problema di convergenza debole della successione di funzionali rappresentati dal nucleo di Dirichlet. Derivazione e proprieta' del nucleo di Dirichlet. ============================================== 29/04/2020 (16-18) (24) Teorema di convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier alla funzione f(x) in un punto di continuita', e condizione di Dini. Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x), e condizione di Dini sul rapporto incrementale destro e sinistro. Rivisitazione degli esempi delle funzioni $x$ e $x^2$ alla luce del teorema. Serie di Fourier della funzione gradino, il cui prolungamento periodico e' l'onda quadra, e proprieta' di convergenza puntuale. Data la funzione f(x) e la sua serie di Fourier, quando e' vero che la derivata di Fourier di f'(x) e' la derivata della serie di f(x)? Regolarita' della funzione e rapidita' di convergenza a zero dei suoi coefficienti di Fouruer. La convergenza assoluta della SF implica l'uniforme. Esercizio in cui sono assegnati i coeff. di Fourier, che vanno a zero esponenzialmente e calcolo della somma f(x) della SF e della sua norma euclidea. ============================================== 04/05/2020 (12-14) (26) Calcolo della somma della serie di Fourier sfruttando la conoscenza della somma di serie di Taylor e Laurent. Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x) e dettagli analitici relativi al fenomeno di Gibbs, attraverso considerazioni meno rigorose ma corrette. La serie di Fourier su un intervallo (a,b) arbitrario. La serie dei seni e quella dei coseni nell'intervallo (0,\pi) e nell'intervallo (0,L), e cenni sulle possibili applicazioni. ============================================== cancellata lezione del 05/05 (seminario delle meccaniche) ============================================ 06/05/2020 (16-18) (28) La serie di Fourier su un intervallo (a,b), il suo limite b->\infty e a->-infinity, e la trasformata e anti-trasformata di Fourier, con relazione di Plancherel. Formule per l'ortonormalita' e completezza dell'insieme continuo di esponenziali {exp(ikx)/\sqrt{2\pi}}, per k reale. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' uniformemente limitata, continua, e converge a zero per k->\infty. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, continua in x, e vale la condizione di Dini, allora l'antitrasformata di Fourier converge puntualmente a f(x); se f(x) ha una discontinuita' semplice in x ed e' soddisfatta la condizione di Dini a sinistra e a destra della discontinuita', allora l'antitrasformata di Fourier converge al valor medio del limiti destro e sinistro. Se f e' assolutamente integrabile, la sua TF appartiene a L_{infty}, ma non e' assolutamente integrabile; quindi non c'e' la simmetria che uno si aspetterebbe, essendo gli operatori trasformata e antitrasformata di Fourier simmetrici. Esempio in cui si mostra che, se f appartiene a L^2 ma non a L^1, la sua TF e' singolare per k=0 ma appartiene a L^2. La TF della gaussiana e' una gaussiana, ma con deviazione standard opposta; quindi, piu' e' localizzata f(x) e meno e' localizzata la sua TF (e viceversa). Calcolo dell'antitrasformata (esercizio per gli studenti), ============================================== 08/05/2020 (10-12) (30) Calcolo della TF della lorenziana e dell'onda monocromatica tagliata, al variare dell'intervallo temporale in cui e' diversa da zero. Calcolo delle anti trasformate (esercizio per gli studenti). Calcolo di trasformata e anti-trasformata per il gradino, la delta e la derivata della delta. Altre proprieta' della TF con dimostrazione ed esercizi relativi. TF di funzione reale, di funzione pari o dispari. Relazione tra la regolarita' di f(x) e la rapidita' di convergenza a zero della sua TF (e viceversa). Deduzione: la TF mappa funzioni di S(R) in funzioni di S(R). Poiche' S(R) e' denso in L^2(R) rispetto alla norma euclidea, allora la TF mappa funzioni di L^2(R) in funzioni di L^2(R). Il prodotto di convoluzione f(x)=(f_1*f_2)(x) di due funzioni f_1 e f_2, con (f_1*f_2)(x)=(f_2*f_1)(x). Se f_1,f_2 appartengono a L^1(R), anche f appartiene a L^1(R). ============================================== 11/05/2020 (12-14) (32) Teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione. La risposta di un sistema ad un dato input e' descritta da un'equazione del tipo: R(t)=\int K(t,t')I(t')dt', dove K e' la funzione di suscettivita' del sistema, I e' l'input (entrata) e R e' la risposta (output, uscita). Se la fisica e' lineare, K non dipende da I, e quindi: se l'input I_1 genera la risposta R_1 e l'input I_2 genera la risposta R_2, allora l'input (I_1+I_2) genera la risposta (R_1+R_2). Se la fisica e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. Se il problema e' anche causale, allora G(t-t')=0 se t0. ============================================== 12/05/2020 (16-18) (34) Calcolo dell'anti-TL quando la TL e' i) (p^2 +1)^(-1) o ii) 1/(p-a). Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace di f'(x) e di f''(x). Uso della TL per risolvere equazioni differemziali lineari di ordine arbitrario con condizioni iniziali assegnate. Riassunto di quanto gia' sappiamo sugli operatori lineari su spazi normati: continuita', limitatezza, dominio, Ker, Immagine e la relazione che lega le loro dimensioni nel caso finito dimensionale. Esempio di calcolo di nucleo e immagine di una matrice, intesa come operatore da C^n a C^n.. Esempi di operatori lineari considerati nel corso: matrici, operatori di proiezione ortogonale, derivata, integrale, traslazione, moltiplicazione, traslazione sinistra e destra in l_2, operatori integrali di Fredholm e Volterra. ============================================== 13/05/2020 (16-18) (36) Rappresentazioni matriciali di operatori rispetto ad una base dello spazio. Esempi: 2 esempi finito dim.; la rappresentazione matriciale della derivata e dell'integrale rispetto alla base dei monomi; la rappresentazione matriciale degli operatori di traslazione destra e sinistra in l_2 rispetto alla base canonica. Inverso A^{-1}di un operatore A:X->Y. L'inverso esiste se, per ogni y in Y, esiste unico x in X tale che Ax=y. L' unicita' (iniettivita') piu' linearita' equivalgono alla condizione che Ker(A) e' banale. Esistenza ed unicita' sono proprieta' equivalenti nel caso finito dim; non lo sono nel caso infinito dim. Esempi: Gli operatori di traslazione destra E^- e sinistra E^+ in l_2 non sono invertibili come operatori da l_2 a l_2. L'operatore E^- di traslazione destra lo diventa come operatore l_2 -> Im(E^-) (contenuta strettamente in l_2), con inverso E^+; l'operatore E^+ di traslazione destra lo diventa come operatore Im(E^-)->l_2, con inverso E^-. Riassunto di quanto gia' noto sulla nozione di norma di un operatore lineare limitato. Operatori su spazi finito dimensionali sono limitati. Calcolo delle norme di E^+ e E^-; calcolo delle norme ||A||_2 e ||A||_infinito di matrici. ============================================== 15/05/2020 (10-12) (38) Gli operatori di Fredholm (Kf)(x)=\int_a^bK(x,t)f(t)dt da C[a,b] a C[a,b], o da L_2[a,b] a L_2[a,b] sono limitati, e calcolo della loro norma del sup o euclidea; relazione formale col caso della moltiplicazione di matrice per vettore colonna. L'operatore di moltiplicazione per x e' limitato se x appartiene ad un intervallo limitato, non e' limitato altrimenti. L'operatore di derivazione non e' limitato ne' in norma euclidea ne' in norma del sup. La somma e il prodotto di operatori limitati sono operatori limitati. Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach. Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Primo esempio: Exp(A). Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. ============================================== 18/05/2020 (12-14) (40) Dimostrazione delle proprieta' i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A), con A operatore limitato su spazio di Banach. iii) Verifica che x(t)=exp(tA)c e' la soluzione del sistema di equazioni differenziali del prim'ordine dx/dt=Ax, con x(0)=c in C^n, e A e' una matrice nxn costante. Se ||A||<1, allora (1-A)^{-1} e' sviluppabile attraverso la serie geometrica \sum_k A^k; applicazione: la soluzione del problema lineare (1-A)x=y nello spazio di Banach X, dove A:X->X e y in X sono assegnati. La soluzione attraverso la serie di Neumann x=\sum_k h_k, h_(k+1)=A h_k, h_0=y. Esempio importante: gli operatori di Fredholm A=\mu K, con \mu complesso. Condizioni di esistenza e unicita'; esempio semplice. Dato A:H->H, definizione di operatore aggiunto (hermitiano coniugato); esistenza ed unicita' dell'operatore aggiunto, sua rappresentazione matriciale; altre proprieta' rilevanti. Se M e' invariante rispetto ad A, il suo complemento ortogonale e' invariante rispetto ad A^+. Operatore auto-aggiunto (hermitiano) e sua rappresentazione matriciale. La forma quadratica corrispondente (forma hermitiana) e' reale. Rappresentazione cartesiana di un operatore. ============================================== 19/05/2020 (14-16) (42) L'operatore di Fredholm ed il suo hermitiano coniugato; condizione affinche' l'operatore di Fredholm sia hermitiano. L'operatore derivata in meccanica quantistica e' anti-hermitiano sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). L'operatore quantita' di moto in meccanica quantistica e' hermitiano sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). L'operatore Hamiltoniano H=-d^2/dx^2 + V(x), con l'energia potenziale V(x) reale, e' hermitiano quando una delle seguenti condizioni al bordo e' soddisfatta: i) condizioni miste e omogenee, ii) condizioni di periodicita', e iii) appartenenza a L_2(R). L'operatore di Sturm-Liouville e' hermitiano quando una delle tre condizioni di cui sopra e' soddisfatta. Definizione di proiettore e sua caratterizzazione come operatore idempotente. Operatore di proiezione ortogonale come operatore idempotente ed hermitiano. La rappresentazione di un operatore di proiezione ortogonale attraverso la base ortonormale dello spazio sul quale proietta, la notazione vettoriale e quella di Dirac. ============================================== 20/05/2020 (14-16) (44) Ancora sul confronto tra la notazione vettoriale e quella di Dirac. Uso della notazione di Dirac per verificare idempotenza e hermitianita' dell'operatore. Esempi di costruzione di operatori di proiezione ortogonale su alcuni sottospazi. Operatori unitari. Definizione ed esempi: la traslazione Tf(x)=f(x+a) e la trasformata di Fourier. Proprieta' di operatori unitari: norma =1, trasformazione di sistemi ortonormani in sistemi ortonormali, esistenza dell'inverso, anch'esso unitario, UU^+=U^+U=1, U^+=U^{-1}, il prodotto di due operatori unitari e' unitario. Per le matrici unitarie, i vettori colonna costutuiscono una base ortonormale; lo stesso per i vettori riga. Gli operatori E^+ e E^+- non sono unitari. Le rotazioni in R^n sono matrici unitarie e reali (cioe' ortogonali). Operatori di rango finito: la diade, la somma di prodotti diadici e loro dominio, immagine finito dimensionale, Ker. Limitatezza dell'operatore diadico. Esempio nel caso di operatore di integrale di Fredholm. ============================================== 22/05/2020 (10-12) (46) Equazione integrale di Fredholm con nucleo diadico e risoluzione della stessa attraverso la risoluzione di un sistema algebrico lineare finito dimensionale. Operatori compatti; definizione ed esempi: le matrici, gli operatori di rango finito, gli operatori che sono limite in norma di successioni di operatori di rango finito. Esempi di operatori non compatti: l'identita' e l'operatore unitario. Esempio di operatore compatto su l_2 come limite in norma di una successione di operatori di rango finito. L'operatore di Fredholm (di Hilbert-Shmidt) su L^2 e' compatto. Spettro di operatori limitati. Riassunto delle proprieta' nel caso finito dimensionale. Teoria spettrale per operatori su spazi infinito-dimensionali. Insieme risolvente \rho(A) e operatore risolvente R_lambda(A)=(A-lambda I)^{-1}. Definizione di spettro discreto o puntuale (la stessa del caso finito dimensionale). Definizione di spettro continuo e residuo. Il perche' del termine operatore risolvente. ============================================== 25/05/2020 (12-14) (48) Se A e' limitato, l'insieme risolvente e' un aperto di C, mentre lo spettro e' un insieme chiuso e limitato. Il risolvente e' un operatore analitico rispetto a lambda appartenente a \rho(A), con dR/dlambda =R^2. Se \rho(A) e' l'insieme risolvente di A, l'insieme risolvente di A^+ e' il complesso coniugato di \rho(A). Idem per lo spettro. Se A e' hermitiano e limitato, allora il suo spettro (discreto o continuo) e' un compatto dell'asse reale. Nel caso di spettro discreto, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se U e' un operatore unitario limitato, il suo spettro e' un compatto della circonferenza unitaria; riguardo al suo spettro discreto, gli autovettori di U sono gli autovettori di U^+. Inoltre, come per operatori hermitiani, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se P e' un proiettore (P^2=P), i suoi autovalori sono o zeri o uni. Lo spettro di un operatore di rango finito, e riduzione dell'equazione agli autovalori all'equazione agli autovalori di una matrice nxn, dove n e' la dimensione dell'immagine dell'operatore. Esempio di operatore di Fredholm di rango finito e soluzione dell'equazione agli autovalori. ============================================== 26/05/2020 (16-18) (50) Se lambda appartiene allo spettro residuo di A, allora il suo complesso coniugato appartiene allo spettro discreto di A^+. Se lambda appartiene allo spettro continuo di A, allora R_{lambda}(A) e' illimitato e, tipicamente, esistono soluzioni dell'equazione agli autovalori non appartenenti a H (a L_2 o a l_2), ma limitate, appartenenti cioe' a L_infty o a l_infty (e' quest'ultima la definizione di spettro continuo usata in fisica), che possono essere approssimate da successioni di H. Esempio: lo spettro degli operatori E^+ e E^-. {|lambda|<1}=spettro discreto di E^+; {|lambda|=1}=spettro continuo di E^+ (con costruzione degli approssimanti, e verifica che il risolvente e' illimitato). {|lambda|<=1}=spettro residuo di E^- (l'uguaglianza senza dimostrazione). Lo spettro di p=-id/dx in L_2[-\pi,\pi] con f(-\pi)=f(\pi) e' discreto, con lambda_n=n intero qualsiasi, e f_n(x)=exp(inx) (la base di Fourier). Lo spettro di p=-id/dx in L_2(R) e' R, ed e' continuo. Lo spettro di p^2=-d^2/dx^2 (energia cinetica in MQ) in L^2[a,b], con f(0)=f(L)=0 e' discreto; se in L^(R) e' R^+, ed e' continuo. Lo spettro dell'operatore posizione in L^2[a,b] e' [a,b], ed e' continuo. Spettro dell'operatore di traslazione. Lo spettro di operatori compatti e' solo discreto (numerabile, finito, nullo), ad eccezione, al piu', di 0. Un paio di esempi. ============================================== 27/05/2020 (16-18) (52) Spettro discreto di f(A) dalla conoscenza dello spettro di A. Problema pesato agli autovalori per l'operatore di Sturm-Liouville (SL). Esempi e proprieta' di problemi di SL propri. Base ortogonale di autovettori per il problema di SL proprio. Cambiamento di base e trasformazione delle componenti di un vettore e della matrice che rappresenta un dato operatore. Diagonalizzazione di una matrice, attraverso una trasformazione unitaria se gli autovettori della base sono ortogonali. Funzione di matrice attraverso la conoscenza di autovalori e autovettori. Rappresentazione (decomposizione) spettrale di una matrice e della funzione di una matrice. Due esempi di calcolo di funzioni di matrici nel caso di matrici non diagonalizzabili. Il teorema spettrale per operatori auto-aggiunti su spazi finito dimensionali. ============================================== 28/05/2020 (12-14) (54) Forme hermitiane e teorema minimax. Interpretazione geometrica dell'equazione (x,Ax)=1 per matrici simmetrche A. Esercizio sul calcolo del massimo e del minimo di una forma hermitiana. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti e compatti su spazi di Hlibert separabili (solo enunciato della dimostrazione). Applicazione alla risoluzione dell'equazione lineare (1-\mu A)x=y, con A operatore autoaggiunto e compatto. Operatori hermitiani che commutano e base ortonormale comune di autovettori. Operatori normali come la classe piu' ampia di operatori che possiedono una base ortonormale di vettori. ============================================== Fine argomenti relativi ai due appelli della sessione estiva ============================================== 29/05/2020 (10-12) (56) Cenni sui postulati principali della Meccanica Quantistica, e sul caso della misura di due grandezze fisiche compatibili (i cui operatori hermitiani commutano) e non. Principio di indeterminazione per due operatori hermitiani che non commutano e caso degli operatori posizione e quantita' di moto. Soluzione del problema di Cauchy su tutta la retta per l'equazione di Schrodinger con potenziale nullo (il caso della particella libera). Soluzione attraverso la trasformata di Fourier nella forma di integrale di convoluzione. Soluzione fondamentale corrispondente alla condizione iniziale delta di Dirac. ============================================== 01/06/2020 (12-14) (58) Teorema di Cauchy dell'analisi complessa nella formulazione di Goursat. L'operatore evoluzione temporale in Meccanica Quantistica come operatore unitario U_t il cui generatore e' l'operatore Hamiltoniano. Equazione di Schroedinger per l'operatore evoluzione temporale. Se l'Hamiltoniana non dipende dal tempo, allora U_t=exp(-iH (t-t_0)/h tagliato). Evoluzione di un ket rispetto alla base ortonormale degli auto-kets dell'operatore hamiltoniano. Media temporale di una grandezza fisica e fluttuazioni con la frequenza di Bohr. Soluzione fondamentale dell'equazione di Schroedinger per la particella libera, corrispondente alla condizione iniziale delta di Dirac, e suo limite peculiare, per t->0, alla delta di Dirac. Calcolo dell'integrale di Fresnell. ============================================== 03/06/2020 (16-18) (60) Risposte ad alcuni quesiti posti dagli studenti via email; in particolare: perche' l'operatore quantita' di moto sullo spazio delle funzioni periodiche in [a,b] ha solo spettro discreto? Risoluzione dei due compiti telematici tipo proposti alcuni giorni fa. ============================================== 05/06/2020 (16-18) (62) L'operatore di convoluzione che descrive la soluzione del problema di Cauchy sulla retta per l'equazione di Schroedinger per la particella libera e' unitario (mostrato in due modi diversi). Soluzione del problema di Cauchy con la condizione iniziale gaussiana. Il fenomeno fisico della dispersione del pacchetto d'onda. Calcolo del tempo che l'onda impiega per raggiungere un punto a distanza L. Soluzione del problema di Cauchy sulla retta per l'equazione del calore col metodo della serie di Fourier, e soluzione attraverso integrale di convoluzione. Ora l'0peratore di evoluzione temporale non e' unitario. La soluzione per le condizioni iniziali delta(x), H(x-x_0), e condizione iniziale costante e diversa da 0 in (-epsilon,epsilon). Il tempo necessario a percorrere una certa distanza e' proporzionale al quadrato della distanza (fenomeno diffusivo, come nel caso del moto Browniano). Il problema del cammino dell'ubriaco e l'equazione del calore (della diffusione) per la probabilita, nel limite continuo. Il problema al valore iniziale ed al contorno per la corda vibrante fissata agli estremi. Soluzione per separazione delle variabili e costruzione della base di Fourier della serie dei seni. La soluzione generale attraverso lo sviluppo in serie di Fourier dei seni, nell'intervallo [0,L]. ============================================== 08/06/2020 (12-14) (64) L'andamanto dei coefficienti di Fourier caso di corda pizzicata e di corda martellata. L'equazione del calore sul segmento nel caso 1) di condizioni di Neumann u_x(0,t)=u_x(L,t)=0 agli estremi (il caso di sbarra metallica termicamente isolata); 2) condizioni di Dirichlet u(0,t)=u(L,t)=cost, e nel caso u(0,t)=T_1 e u(L,t)=T_2. Tutti questi esempi sono del tipo (\partial^n_t-L_x)u=0, dove L_x e' un operatore differenziale in x con coefficienti dipendenti da x (ad esempio l'operatore di Sturm-Liouville proprio), con condizioni al bordo omogenee. Allora il problema agli autovalori L_x psi=lambda psi con le stesse condizioni al bordo fornisce una base ortonormale di autofunzioni {psi_n(x)} attraverso le quali sviluppare la soluzione u(x,t)=\sum_n c_n(t)psi_n(x), con c_n(t) che soddisfa la semplice equazione d^nc_n/dt^n-lambda c_n=0. Esempio: il caso dell'operatore di Schroedinger dipendente dal tempo con hamiltoniana indipendente dal tempo. ============================================== 09/06/2020 (16-18) (66) Sistemi dinamici intorno a posizioni di equilibrio. Punti d'equilibrio stabile ed instabile. Il sistema dinamico linearizzato intorno alla posizione d'equilibrio: x_t = A x. Autovalori e autovettori di A nel caso in cui gli autovettori siano una base dello soazio; se la parte degli autovalori e' negativa il punto d'equilibrio e' asintoticamente stabile; se almeno la parte reale di almeno un autovalore e' positiva, allora l'equilibrio e' instabile. Se tutti gli autovalori hanno parte reale nulla allora l'equilibrio e' neutralmente stabile. Classificazione: sorgenti, pozzi e punti di sella, centri, e pozzi e sorgenti a spirale. ============================================== 10/06/2020 (16-18) (68) La funzione di Green di un operatore differenziale L_x e' la funzione g(x,y) tale che L_x g(x,y)=delta(x-y). Dato il sistema non omogeneo L_x u=f, dove f(x) e' una forzante assegnata, la funzione di Green di L_x e' la risposta del suddetto sistema ad un input impulsivo. Due funzioni di Green differiscono per un elemento del Ker dell'operatore L_x. Nota la funzione di Green g(x,y) di L_x, u si esprime attraverso g nel seguente modo: u=\int g(x,y)f(y)dy. La funzione di Green di operatori del prim'ordine. La funzione di Green generale dell'operatore del secondo ordine in forma canonica L_x=d^2/dx^2-V(x) attraverso la soluzione generale dell'equazione L_x u=f, nota se e' nota una soluzione particolare dell'omogenea. I casi particolari delle funzioni di Green ritardata ed avanzata. Il caso particolare dell'operatore dell'oscillatore armonico e le relative funzioni di Green. Due esercizi sull'oscillatore arminico forzato. ============================================== 12/06/2020 (10-12) (70) Espressione della funzione di Green di un operatore che possiede un sistema ortonormale di autofunzioni. Uso della funzione di Green per convertire un'equazione differenziale con condizioni al contorno in un'euqzione integrale, e vantaggi di quest'ultima formulazione. Esempio: equazione agli autovalori per lo spettro continuo dell'operatore di Schroedinger stazionario con condizione al contorno phi ~ exp(-ikx) per x ~ - infinito. Risoluzione dell'equazione attraverso la serie di Neumann e dimostrazione che tutti i termini della serie sono analitici per Im k>0, dove k^2 e' l'energia. Dimostrazione che, se il potenziale e' assolutamente integrabile, allora la serie e' totalmente convergente. Quindi, l'autofunzione esiste ed e' analitica per Im k>0. Queste proprieta' di analiticita' sono risultate importanti in passato per risolvere il problema inverso della ricostruzione del potenziale dai dati di spettrali. Risoluzione in classe di esercizi vari proposti dagli studenti. ============================== FINE CORSO