Diario delle lezioni del corso di MMMF (analisi funzionale), AA 2022-23, aula 7 lunedi': 14-16, martedi': 8-10, mercoledi': 14-16 a settimane alterne, giovedi': 12-14, venerdi': 8-10 ======================================================= 13/04/2023 (2) Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali complessi di dimensione n sono isomorfi a C^n. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Sottospazi vettoriali con esempio. Spazi normati: definizione ed esempi: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme) nel caso finito dimensionale. ============================================ 14/04/2023 (4) Sottospazi vettoriali con esempio. Esercizio per casa: mostrare che sin x e cos x sono indipendenti. Disuguaglianza di Young, di Holder e di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1. Equivalenza di norme nel caso finito dimensionale. Calcolo di norme nel caso finito dimensionale. Spazi di successioni: C^infty e l_infty; l_infty come spazio normato. Spazi di successioni: l_0, l_psono normati con (l_0,|| ||_inf), (l_p,|| ||_p). Esercizio per casa: significato geometrico in R^3 delle palle di raggio 1. ========================================== 17/04/2023 (6) Spazio delle successioni finite l_f, e' normato sia con norma unif. che con norma p. Inclusioni tra gli spazi l_f, l_p, l_0, l_infty, C^infty. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p diversi. Spazi funzionali (C(I),||.||_p), (C(I),||.||_\infty), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). Se I e' finito e p). Insieme X denso in (M,d). Esempi: l'insieme dei razionali e' denso nei reali. l_f e' denso in (l_0,||.||_p). L'insieme dei polinomi e' denso in C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. L'insieme dei polinomi trigonometrici e' denso in C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p (attraverso il teorema di Weierstrass). Esercizio per casa: l_f e' denso in (l_infty,||.||_infty). Span (inviluppo lineare) di un insieme di vettori con esempi. Insieme completo di vettori e base di uno spazio metrico infinito-dimensionale. Esempi: l'insieme delle successioni di versori canonici e' una base per gli spazi (l_0,norma sup) e (l_p, norma p); l'insieme dei monomi e' una base per C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei monomi trigonometrici e' una base per C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. ========================= 20/04/2023 (12) Lo spazio delle funzioni continue periodiche al bordo e' denso (in norma p, ma non in norma infinito) nello spazio delle funzioni continue, che e' denso in norma p nello spazio delle funzioni costanti a tratti, che e' denso in L_p (dimostrazione non rigorosa). Quindi sia l'insieme dei monomi trigonometrici che l'insieme dei monomi sono densi in L_p rispetto alla norma p. Spazio metrico separabile con esempi: gli spazi R, R^n, C, C^n, l_0, l_p, L_p. Definizione di prodotto scalare e di spazio euclideo. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (CS) e nozione di angolo tra due vettori. Lo spazio euclideo e' anche spazio normato (e metrico). Ortogonalita' tra due vettori. Ortonormalita' di un insieme di vettori. Teorema di Pitagora per due o piu' vettori ortogonali. Esempio di spazio euclideo: (C^n,||.||_2); la disuguaglianza di CS come conseguenza della disuguaglianza di Holder. ========================== 21/04/2023 (14) Esercizio: usare CS per mostrare che ||fg||_1 minore o uguale a ||f||_2 ||g||_2, e che ||f||_1 minore o uguale a sqrt{b-a}||f||_2. Altri esempi di spazi euclidei finito e infinito-dimensionali: Lo spazio delle matrici complesse nxn. Lo spazio dei polinomi di grado n-1, con norme ||.||_p e ||.||_infty . Spazi infinito-dimensionali: (l_2,||.||_2) e (L^2[a,b],||.||_2), con peso 1 e con peso p. Proiezione ortogonale su un sottospazio S=span{e^(j)} e^(j) insieme ortonormale. Se lo spazio euclideo e' separabile, allora esiste una base numerabile ortonormale ottenuta attraverso il procedimento di Gram-Schmidt. Dato un punto generico in E, la minima distanza dal sottospazio S e' data dalla proiezione ortogonale. Disuguaglianza di Bessel e relazione di Parseval. Nel caso di relazione di Parseval, il sistema ortonormale e' una base. ================ 24/04/2023 (16) Isomorfismo tra spazio di Hilbert separabile H e l_2: la successione dei coefficienti di Fourier di un generico vettore di H appartiene a l_2 e, viceversa, a ogni successione di l_2 corrisponde un vettore di H. L'isomorfismo e' non solo lineare, ma anche euclideo. CNES affinche' un insieme di vettori ortonormali sia una base dello spazio di Hilbert separabile H e' che, se un vettore v\in H e' ortogonale a tutti gli elementi dell'insieme, allora v=0 (senza dimostrazione). L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in [-1,1], rispetto al peso 1, da' luogo ai polinomi di Legendre; polinomi di Legendre e sviluppo a multipoli. =============== 27/04/2023 (16) L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in R, rispetto al peso gaussiano, da' luogo ai polinomi di Hermite. Ortonormalizzazione dei monomi trigonometrici. Definizione di operatore lineare; lo spazio degli operatori lineari e' esso stesso uno spazio vettoriale. Equivalenza tra continuita' e limitatezza di operatori lineari. La norma di un operatole lineare limitato. Dominio, immagine e Ker. L'esempio piu' semplice: il funzionale lineare. Definizione ed esempi di funzionali lineari su spazi normati discreti: C^n, l_2, e continui (funzionali). La componente i-esima di un vettore; base duale nello spazio dei funzionali su C^n. Il Ker di un funzionale lineare ha codimensione 1. Il prodotto scalare per un vettore x_0 e' un funzionale lineare con norma ||x_0||. ============= 28/04/2023 (20) Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare continuo f:E->C esiste unico x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E, con ||f||=||x_0||_E (senza dim). iii) Il funzionale integrale definito Int(\phi)=\int_a^b\phi(t)dt. iv) Il funzionale piu' generale F definito da F(\phi)=\int_a^b f(t)\phi(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni \phi(t)\in C[a,b], dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il funzionale. Loro norme: ||Int||=b-a; ||F||=||f||_1, se \phi e'in C[a,b] con norma ||.||_infty. ||F||=||f||_1, se \phi e' C[a.b] con norma ||.||_infty. Uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che il funzionale lineare F(x)=\sum f_k x_k, con x appartenente a l_p, ha norma: ||F||=||f||_q, e 1/p+1/q=1. Analogamente, il funzionale F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L^p, ha norma: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1 (senza dimostrazione). Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. Densita' di massa di un punto materiale e introduzione alla delta di Dirac attraverso un'opportuna successione di funzioni che converge debolmente, e non fortemente, al funzionale delta. Confronto critico con la definizione rigorosa. ============= 02/05/2023 (22) Uso degli spazi S(R) e K(R) per le funzioni di prova. Distribuzione (regolare) come funzionale lineare continuo. Se f appartiene a L^1_loc e \phi a K(R) la distribuzione e' regolare. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx); esempi: la gaussiana, la lorenziana e il nucleo di Dirichlet. Loro convergenza debole. Esercizio sulla convergenza debole e forte della successione di funzionali lineari con f=n^a exp(-nx),a>0. ============= 03/05/2023 (24) Altre proprieta' della delta di Dirac. Esercizio sulla delta di funzione. Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa. Ancora proprieta' della delta. La derivata della delta e sua azione su una funzione di prova. Ulteriori proprieta' della delta. Formula per la derivata di una funzione discontinua con discontinuita' semplice. ============= 04/05/2023 (26) Esempi: derivata della funzione "parte intera" e derivata di |x|. La soluzione generale dell'equazione f''(x)=delta(x). Schematizzazione del punto materiale in R^n, n=1,2,3 attraverso la delta di Dirac. Lemma di Riemann-Lebesque. La convergenza debole della successione sin(nx)/(pi x) alla delta di Dirac e la condizione di Dini. Una funzione Holderiana soddisfa alla condizione di Dini. ============= 05/05/2023 (28) La convergenza della successione di Dirichlet alla delta di Dirac nel caso di funzione discontinua che soddisfa alla condizione di Dini. Rappresentazione della delta attraverso la trasformata di Fourier di 1. Ortonormalita' e completezza attraverso la delta di Dirac. Calcolo della distribuzione (log(|t|))'. La convergenza in norma p non implicala conbergenza uniforme e puntuale. La base di Fourier dei polinomi trigonometrici (o degli exp(int)) in L^2[-pi,pi]. La serie di Fourier converge in norma 2 alla funzione da rappresentare, ma tale convergenza non implica quella puntuale o uniforme, che vanno discusse caso per caso. ============= 08/05/2023 (30) Coefficienti di Fourier e formula di Parseval. Base dei monomi trigonometrici e degli esponenziali. Teorema di convergenza puntuale e uniforme della SF alla funzione f(x) in un punto di continuita', e condizione di Dini. Convergenza della SF in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x), e condizione di Dini sul rapporto incrementale destro e sinistro. La somma della SF S(x) di f(x) come prolungamento 2\pi-periodico di f(x) su tutto R; non convergenza puntuale nei punti di discontinuita' del prolungamento. Uso della relazione di Parseval per il calcolo di serie numeriche notevoli. Somma di altre serie numeriche notevoli per opportuni valori di x. Esempi: SF delle funzioni f(x)=x (il cui prolungamento periodico e' il dente di sega), e di x^2. Non convergenza assoluta della SF di x, convergenza assoluta della SF di x^2. Somme notevoli usando Parseval e la serie valutata in opportuni punti dell'intervallo. ============= 09/05/2023 (32) SF della funzione gradino, il cui prolungamento periodico e' l'onda quadra, proprieta' di convergenza puntuale. Relazione di Parseval. Data la funzione f(x) e la sua SF, quando e' vero che la SF di f'(x) e' la derivata della SF di f(x)? Regolarita' della funzione, periodica con le sue derivate, e rapidita' di convergenza a zero dei suoi coefficienti di Fourier. La convergenza assoluta della SF implica la sua convergenza totale. Esercizio in cui sono assegnati i coeff. di Fourier, che vanno a zero esponenzialmente, e calcolo della somma della SF e della sua norma euclidea (con Parseval) (ANCORA DA FARE). Calcolo della somma della serie di Fourier sfruttando la conoscenza della somma di serie di Taylor e/o Laurent. ============= 11/05/2023 (34) La serie di Fourier su un intervallo [a,b] arbitrario. La base dei soli seni e quella dei soli coseni nell'intervallo [0,\pi] e i relativi sviluppi di Fourier. La serie dei seni e quella dei coseni nell'intervallo [0,L]. La serie di Fourier su un intervallo [a,b], il suo limite b->\infty e a->-infinity, e la trasformata e anti-trasformata di Fourier, con relazione di Plancherel. Formule per l'ortonormalita' e completezza dell'insieme continuo di esponenziali {exp(ikx)/\sqrt{2\pi}}, per k reale. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' uniformemente limitata, e' continua in R, e converge a zero per |k|->\infty. Se f e' assolutamente integrabile, la sua TF appartiene a L_{infty}, ma non e' assolutamente integrabile; quindi non c'e' la simmetria che uno si aspetterebbe, essendo gli operatori trasformata e antitrasformata di Fourier simmetrici. ============= 12/05/2023 (36) Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, continua in x, e vale la condizione di Dini, allora l'antitrasformata di Fourier converge puntualmente a f(x); se f(x) e' assolutamente integrabile in R, ha una discontinuita' semplice in x_0 ed e' soddisfatta la condizione di Dini a sinistra e a destra della discontinuita', allora l'antitrasformata di Fourier converge al valor medio dei limiti destro e sinistro. La TF della gaussiana e' una gaussiana, ma con deviazione standard opposta; quindi, piu' e' localizzata f(x) e meno e' localizzata la sua TF (e viceversa). Calcolo dell'antitrasformata (esercizio per gli studenti). Calcolo della TF della lorenziana e dell'onda monocromatica tagliata, al variare dell'intervallo temporale in cui e' diversa da zero. Calcolo delle anti trasformate (esercizio per gli studenti). Calcolo della TF della delta e della funzione gradino. Altre proprieta' della TF con dimostrazione (prime 2 proprieta'). ============= 15/05/2023 (38) Altre proprieta' della TF con dimostrazione ed esercizi relativi (esercizio per casa: trovare le TF delle funzioni x exp(-x^2) e x^2 exp(-x^2)). TF di funzione reale; esercizio per casa: di funzione pari o dispari e trasformate seno e coseno. Relazione tra la regolarita' di f(x) e la rapidita' di convergenza a zero della sua TF (e viceversa). Deduzione: la TF mappa funzioni di S(R) in funzioni di S(R). Poiche' S(R) e' denso in L^2(R) rispetto alla norma euclidea, allora la TF mappa funzioni di L^2(R) in funzioni di L^2(R) (non dimostrato). Il prodotto di convoluzione f(x)=(f_1*f_2)(x) di due funzioni f_1 e f_2, con (f_1*f_2)(x)=(f_2*f_1)(x). Se f_1,f_2 appartengono a L^1(R), anche f appartiene a L^1(R). Teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione. La risposta di un sistema ad un dato input e' descritta da un'equazione del tipo: R(t)=\int K(t,t')I(t')dt', dove K e' la funzione di suscettivita' del sistema, I e' l'input (entrata) e R e' la risposta (output, uscita). Se la fisica e' lineare, K non dipende da I, e quindi: se l'input I_1 genera la risposta R_1 e l'input I_2 genera la risposta R_2, allora l'input (I_1+I_2) genera la risposta (R_1+R_2). Se la fisica e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. Se il problema e' anche causale, allora G(t-t')=0 se tY. L'inverso esiste se, per ogni y in Y, esiste unico x in X tale che Ax=y. Esistenza (surgettivita'); unicita' (iniettivita') piu' linearita' equivalgono alla condizione che Ker(A) e' banale. Esistenza ed unicita' sono proprieta' equivalenti nel caso finito dim; non lo sono nel caso infinito dim. Esempi: Gli operatori di traslazione destra E^- e sinistra E^+ in l_2 non sono invertibili come operatori da l_2 a l_2. L'operatore E^- di traslazione destra lo diventa come operatore l_2 -> Im(E^-) (contenuta strettamente in l_2), con inverso E^+; l'operatore E^+ di traslazione destra lo diventa come operatore Im(E^-)->l_2, con inverso E^-. Calcolo delle norme di E^+, E^-. Operatori su spazi finito dimensionali sono limitati, e calcolo della norma ||A||_2 di matrici. Gli operatori di Fredholm (Kf)(x)=\int_a^bK(x,t)f(t)dt da L_2[a,b] a L_2[a,b] sono limitati, e calcolo della loro norma euclidea usando l'analogia formale col caso delle matrici. La norma dell'operatore di proiezione ortogonale. L'operatore di derivazione non e' limitato in norma euclidea ne' in norma del sup. ============= 17/05/2023 (42) Rappresentazione matriciale di operatori rispetto ad una base. La somma di operatori lineari limitati e' un operatore limitato; disuguaglianza triangolare. Il prodotto di operatori lineari limitati e' un operatore limitato (senza dimostrazione). Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach (senza dimostrazione). Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Primo esempio: Exp(A). Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. Le proprieta' i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A)=exp(t A)A, con A operatore limitato su spazio di Banach. iii) Verifica che x(t)=exp(tA)c e' la soluzione del sistema di equazioni differenziali del prim'ordine dx/dt=Ax, con x(0)=c, e A e' operatore limitato su spazio di Banach indipendente da t, e considerazioni sulle applicazioni. ============= 18/05/2023 (44) Se ||A||<1, allora (1-A)^{-1} e' sviluppabile attraverso la serie geometrica \sum_k A^k; applicazione: la soluzione del problema lineare (1-A)x=y nello spazio di Banach X, dove A:X->X e y in X sono assegnati. La soluzione attraverso la serie di Neumann x=\sum_k h_k, h_(k+1)=A h_k, h_0=y. Condizioni di esistenza e unicita'; esempio equazione integrale di Fredholm. Dato A:H->H, definizione di operatore aggiunto (hermitiano coniugato); esistenza ed unicita' dell'operatore aggiunto (senza dimostrazione), sua rappresentazione matriciale; altre proprieta' rilevanti. Se M e' invariante rispetto ad A, il suo complemento ortogonale e' invariante rispetto ad A^+. Operatore auto-aggiunto (hermitiano) e sua rappresentazione matriciale. La forma quadratica corrispondente (forma hermitiana) e' reale se e solo se A e' auto-aggiunto. L'hermitiano coniugato di E^+ e' E^-, e viceversa. L'operatore quantita' di moto -i d/dx in meccanica quantistica e' hermitiano in L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o in L_2(R). Esercizi per casa: i) trovare l'hermitiano coniugato dell'operatore di Fredholm, e la condizione che lo rende hermitiano. ii) Mostrare che l'operatore derivata D=d/dx e' anti-hermitiano: D^+=-D. ============= 19/05/2023 (46) Hermitiano coniugato dell'operatore di Fredholm. L'operatore Hamiltoniano H=-d^2/dx^2 + V(x), con l'energia potenziale V(x) reale, e' hermitiano quando una delle seguenti condizioni al bordo e' soddisfatta: i) condizioni miste e omogenee, ii) condizioni di periodicita', e iii) appartenenza a L_2(R). Definizione di proiettore e sua caratterizzazione come operatore idempotente (senza dimostrazione). Operatore di proiezione ortogonale e sua caratterizzazione come operatore idempotente e hermitiano. La rappresentazione di un operatore di proiezione ortogonale attraverso la base ortonormale del sotto-spazio sul quale proietta, la notazione vettoriale e quella di Dirac. Esempi di costruzione di operatori di proiezione ortogonale su alcuni sottospazi. Esercizio per casa: mostrare che l'operatore P=\sum_k |e_k>0, da cui e' possibile costruire una successione di approssimanti e_n tale che ||(A-lambda)e_n||->0 per n-> infty. Se lambda appartiene allo spettro residuo di A, allora il suo complesso coniugato appartiene allo spettro discreto di A^+. Un operatore hermitiano non ha spettro residuo. Lo spettro di un operatore di rango finito con esempio concreto. Lo spettro di E^+ e E^-: lo spettro discreto di E^+ e' il disco |lambda|<1; E^- non ha spettro discreto. |lambda|=1 non puo' essere spettro residuo di E^+, e quindi e' spettro continuo. ============= 25/05/2023 (52) Nel caso di spettro continuo, tipicamente esistono soluzioni dell'equazione agli autovalori non appartenenti a H (a L_2 o a l_2), ma limitate, appartenenti cioe' a L_infty o a l_infty (e' quest'ultima la definizione di spettro continuo usata in fisica), che possono essere approssimate da successioni w_n di H tali che ||(A-lambda)e_n||->0, con e_n=w_n/||w_n||. Inoltre y_n=(A-\lambda)w_n e' la successione usata per mostrare che il risolvente non e' limitato, secondo la definizione matematica. L'insieme |lambda|=1 non puo' essere spettro residuo di E^+; e' quindi spettro continuo. Su questo esempio si mostra la relazione tra la definizione dei fisici e quella dei matematici. Lo spettro di E^- e' il disco unitario chiuso, ed e' spettro residuo. Lo spettro dell'operatore quantita' di moto p=-id/dx nei tre casi: i) in L^2[a,b] e' discreto e coincide con C (in questo caso); ii) in L^2[a,b] con condizioni periodiche e' discreto, con lambda_n=2\pi n/(b-a), n intero qualsiasi, e f_n(x)=exp(2\pi i n x/(b-a)) (la base di Fourier). iii) in L_2(R) e' continuo e corrisponde a R. Anche in questo caso si mostra la relazione tra le definizioni fisica e matematica. Lo spettro di p^2=-d^2/dx^2 (energia cinetica in MQ) in L^2[0,L], con f(0)=f(L)=0, e' discreto, con lambda_n=(\pi n/L)^2; se in L^2(R) e' continuo e corrisponde a R^+. ============================================== 26/05/2021 (54) Spettro discreto di f(A) dalla conoscenza dello spettro discreto di A. Operatori unitari. Definizione ed esempi: la traslazione Tf(x)=f(x+a) e la trasformata di Fourier. Proprieta' di operatori unitari: norma =1, trasformazione di sistemi ortonormali in sistemi ortonormali, esistenza dell'inverso, anch'esso unitario, UU^+=U^+U=1, U^+=U^{-1}, il prodotto di due operatori unitari e' unitario. Per le matrici unitarie, i vettori colonna costituiscono una base ortonormale; lo stesso per i vettori riga. Le rotazioni in R^n sono matrici unitarie e reali (cioe' ortogonali). Gli operatori E^+ e E^+- non sono unitari. Risoluzione di alcuni esercizi di scritti del passato. ============================================== Fine argomenti relativi agli appelli di Giugno e Luglio ========================================= 29/05/2022 (56) La funzione di Green di un operatore differenziale L_x e' la funzione g(x,y) tale che L_x g(x,y)=delta(x-y). Dato il sistema non omogeneo L_x u=I, dove I(x) e' una forzante assegnata (un imput assegnato), la funzione di Green di L_x e' la risposta del suddetto sistema ad un input impulsivo. Due funzioni di Green differiscono per un elemento del Ker dell'operatore L_x. Nota la funzione di Green g(x,y) di L_x, u(x) si esprime attraverso g nel seguente modo: u=\int g(x,y)I(y)dy. Poche considerazioni sulla funzione di Green dell'operatore del prim' ordine. La funzione di Green particolare dell'operatore del secondo ordine in forma canonica L_x=d^2/dx^2-V(x). I casi particolari delle funzioni di Green ritardata ed avanzata. Un esercizio sull'oscillatore armonico forzato. Esercizio per casa: verifica che le funzioni di Green costruite soddisfano all'equazione differenziale con forzante impulsiva. ============================================== 30/05/2023 (58) Il caso particolare dell'oscillatore armonico e le relative funzioni di Green ritardata e avanzata. Soluzione di due esercizi sull'scillatore armonico forzato usando la funzione di Green ritardata. La delta di Dirac in R^n. Funzione di Green dell'operatore di Laplace in R, R^2 e R^3. Spettro dell'operatore di traslazione. Spettro dell'operatore di proiezione. Esercizio per casa: spettro dell'operatore di traslazione Tf(x)=f(x+1). ============================================== 31/05/2023 (60) Se U e' un operatore unitario limitato, il suo spettro e' un compatto della circonferenza unitaria (senza dim.); riguardo al suo spettro discreto, gli autovettori di U sono anche gli autovettori di U^+. Inoltre, come per operatori hermitiani, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Dalla trasformata e anti-trasformata di Fourier alla trasformata e anti-trasformata di Laplace (TL) per funzioni f(x) localmente in L_1(R^+), che possono divergere a + infinito come exp(gamma x), gamma>0. Calcolo dell'anti-TL quando la TL e' i) (p^2 +1)^(-1) e ii) 1/(p-a). Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace (senza dim). La trasformata di Laplace di f'(x) e di f''(x). Uso della TL per risolvere equazioni differenziali lineari di ordine arbitrario con condizioni iniziali assegnate. Due esempi di equazioni differenziali del secondo ordine. =========================== 01/06/2023 (62) Soluzione di esercizi d'esame. ================= FINE DELLE MIE LEZIONI =================== 3 lezioni di Urbano nei giorni 5,6,7 Giugno sui seguenti argomenti: Integrali di Fresnel ed integrali Gaussiani generalizzati. Equazioni differenziali alle derivate parziali: tecniche risolutive ed applicazioni fisiche. Complementi di analisi complessa. Funzioni armoniche ed interpretazione delle armoniche coniugate in termini di potenziali e campi conservativi. ================= FINE DEL CORSO ===================