Diario lezioni ONS, AA 2018-19. Aula Rasetti (lunedi' 10:00-1200 e venerdi' 12:00-14:00)

25/02/2019 (2 ore) (2)
Panoramica sugli argomenti del corso: onde lineari e dispersive; onde iperboliche non lineari e la catastrofe del gradiente; regolarizzazione dissipativa e dispersiva; equazioni della Fisica, metodi perturbativi multiscala in regime debolmente non lineare, ed equazioni non lineari modello della fisica matematica. Il metodo della trasformata spettrale inversa; solitoni e onde anomale. Onde lineari e dispersive, metodo della trasformata di Fourier; proprieta' della trasformata di Fourier; soluzione fondamentale e soluzione di similarita'.

01/03/2019 (2 ore) (4)
Soluzione fondamentale per l'equazione di Schroedinger. Trasformata di Fourier di una funzione reale. Onde lineari e dispersive, metodo della trasformata di Fourier, e comportamento asintotico delle soluzioni per t>>1, e x/t=O(1). Caso di un punto reale di stazionarieta' delle fase e metodo della fase stazionaria. Treno d'onde lentamente variabile. Il numero d'onda, la frequenza e l'energia si propagano con la velocita' di gruppo; dispersione del pacchetto d'onde. La fase si propaga con la velocita' di fase.

04/03/2019 (2 ore) (6)
Esercizio sull'equaz. di Schroedinger lineare. Equazione di KdV lineare: soluzione fondamentale come soluzione di similarita', espressa attraverso la funzione di Airy. Soluzione a tempi grandi per x/t=O(1)<0: treno d'onde dispersive lent. variabile che viaggia verso sinistra. Per x/t>0, i punti di stazionarieta' sono immaginari puri. Digressione sui metodi asintotici: il lemma di Watson.

08/03/2019 (2 ore) (8)
Ancora digressione sui metodi asintotici: l'integrazione per parti e il metodo di Laplace in modo rigoroso.

11/03/2019 (2 ore) (10)
Il metodo del punto di sella in modo rigoroso. Es. 1: studio del comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schroedinger. Es. 2: l'integrale dell'esempio 1, integrato da a<x/2t a b>x/2t (il contributo dominante viene ancora dal metodo del punto di sella).  Es.3:  l'integrale dell'esempio 1, integrato da a<x/2t a b tale che Re(b)>x/2t e 0<arg(b)<\pi/4 (il contributo dominante viene ora dall'integrazione per parti).

15/03/2019 (2 ore) (12)
PDEs quasi-lineari del prim'ordine da equazione di continuita'. L'equazione di Riemann u_t+c(u)u_x=0. Il metodo delle caratteristiche. Soluzione attraverso l'inversione di equazione algebro-trascendente. Deformazione del profilo e rottura dell'onda. Intersezione delle caratteristiche. Caratterizzazione del punto di rottura. Esempi: l'equazione di Hopf u_t+u u_x=0 con condizioni iniziali gaussiana e d'alambertiana.

18/03/2019 (2 ore) (14)
Risoluzione completa nel caso di onda di rarefazione o compressione per l'equazione di Hopf, costruita con tratti rettilinei, e calcolo del punto di rottura (nel caso compressivo). Limite in cui la condizione iniziale e' discontinua, sia per l'equazione di Hopf che per l'equazione di Riemann. Studio dell'evoluzione, attraverso l'equazione di Hopf, di una condizione iniziale localizzata nell'intorno del punto di rottura (prima parte: derivazione fino al comportamento della soluzione al tempo di rottura).

22/03/2019 (2 ore) (16)
Studio dell'evoluzione, attraverso l'equazione di Hopf, di una condizione iniziale localizzata nell'intorno del punto di rottura (seconda parte: studio della soluzione nel punto di rottura e immediatamente dopo, con la caratterizzazione analitica dell'intervallo di polidromia). Significato geometrico di un'equazione alle derivate parziali quasi lineare del prim'ordine, e sistema di equazioni differenziali ordinarie equivalente. Esercizi vari.

25/03/2019 (2 ore) (18)
Due esercizi sulla risoluzione di equazioni iperboliche scalari col metodo delle caratteristiche. Sistemi di N equazioni quasi lineari del prim'ordine sono iperbolici se la matrice rilevante ammette autovalori reali (non necessariamente distinti) ed autovettori indipendenti. In questo caso, le equazioni possono essere riscritte in forma iperbolica. Si ha una grande semplificazione quando e' possibile introdurre gli invarianti (le funzioni) di Riemann, perche' ognuno di essi viaggia sulla sua caratteristica. Gli invarianti di Riemann esistono sempre per N=1,2. Esistono solo in casi molto speciali quando N>2. Esempio: equazioni della dinamica dei gas, loro scrittura in forma caratteristica e, nel caso iso-entropico, costruzione dei due invarianti di Riemann.

29/03/2019 (2 ore) (20)
Il problema del pistone con condizioni iniziali stazionarie, per una traiettoria generica del pistone, con individuazione delle eventuali regioni di polidromia. I casi espliciti di espansione e compressione a velocita' costante. Il problema della regolarizzazione della soluzione attraverso l'esistenza di soluzioni discontinue (onde d'urto). Caratterizzazione della condizione d'urto; legge di Rankine-Hugoniot, e raccordo con la soluzione fornita dal metodo delle caratteristiche. 

01/04/2019 (2 ore) (22)
Riepilogo formule sulla regolarizzazione delle soluzioni dopo il breaking, attraverso onde d'urto. La perdita di informazione relativa alla condizione iniziale f(x) nella regione tra eta_2 e eta_1. Esempi: 1) l'onda di compressione con valori limite costanti, e 2) la compressione del pistone: formule generali e caso particolare ed esplicito in cui la velocita' del pistone e' costante.

05/04/2019 (2 ore) (24)
Regolarizzazione dissipativa dell'equazione di Hopf: equazione di Burgers. Schema di risoluzione attraverso la trasformazione di Hopf-Cole e l'equazione del calore. Soluzione generale dell'equazione del calore e sua soluzione fondamentale; caso in cui la condizione iniziale e' la delta di Dirac o la funzione gradino. Soluzione generale del problema di Cauchy per l'equazione di Burgers. Uso del metodo di Laplace per mostrare che, nel caso di un solo punto critico, la soluzione del problema di Cauchy si riduce a quella del metodo dell caratteristiche.

08/04/2019 (2 ore) (26)
L'equazione di Burgers con piccolo attrito da' luogo, attraverso il metodo di Laplace, alla regolarizzazione dell'onda d'urto discontinua dell'equazione di Hopf. La soluzione esatta dell'equazione di Burgers che descrive la struttura del fronte d'onda dell'onda d'urto regolarizzata.

12/04/2019 (2 ore: 12:00-14:00) (28)
Il metodo perturbativo multiscala applicato allo studio di oscillatori anarmonici nel caso di non linearita' debole. I casi Hamiltoniano, con attrito, e l'oscillatore di Van der Pol.

12/04/2019 (2 ore: 14:00-16:00) (30)
Il metodo perturbativo multiscala applicato ad equazioni alle derivate parziali non lineari. Esempio: l'equazione di Sine-Gordon come limite continuo del modello di Scott, e caso particolare dell'equazione di Klein Gordon non lineare. Regime debolmente non lineare e quasi monocromatico: la lenta modulazione dell'ampiezza e' descritta dall'equazione modello di Schroedinger non lineare di tipo defocusing. Generalita' del risultato, anche con l'uso della relazione di dispersione.

29/04/2019 (2 ore) (32)
Regime debolmente non lineare per classi di equazioni iperboliche e l'equazione di Hopf come condizione di eliminazione della secolarita'. Classi di equazioni non lineari dissipative in regime debolmente non lineare e l'equazione modello di Burgers nei casi di i) dissipazione debole, e ii) onde lunghe.

03/05/2019 (2 ore) (34)
Classi di equazioni non lineari e dispersive in regime debolmente non lineare e debolmente dispersivo, e l'equazione di Korteweg-de Vries (KdV). Derivazione delle equazioni di Navier-Stokes. Onde d'acqua nel caso irrotazionale. Onde d'acqua di superficie. Piccole ampiezze e relazione di dispersione. 

06/05/2019 (2 ore) (36)
Piccole ampiezze e relazione di dispersione; onde lunghe (acque poco profonde) e onde corte (acque profonde). Esempi: rispettivamente gli tsunami e le onde prodotte dal vento. Limite di onde lunghe di piccola ampiezza: dispersione debole e descrizione attraverso le equazioni di Kadomtsev - Petviashvili (KP) (nel caso quasi-unidimensionale). Vari limiti della KP:equazione di KdV (limite in 1+1 dimensioni); equazione di KP dispersionless e equazione di Hopf, rilevanti quando la profondita' tende a zero. Caso di acque profonde in regime quasi monocromatico e debolmente non lineare, e l'equazione di Schroedinger non lineare di tipo focusing.

10/05/2019 (2 ore) (38)
L'equazione di Korteveg-de Vries e la sua coppia di Lax. Il metodo dell'Inverse Scattering Transform (IST). Problema diretto per l'operatore di Schroedinger stazionario con energia positiva: definizione delle autofunzioni di Jost, simmetrie; equazione e coefficienti di scattering a(k) e b(k). Wronskiano delle soluzioni di Jost. Rappresentazione integrale delle funzioni di Jost attraverso le funzioni di Green avanzata e ritardata dell'oscillatore armonico. Proprieta' di analiticita' delle soluzioni di Jost; considerazioni introduttive.

13/05/2019 (2 ore) (40)
Dimostrazione della convergenza totale della serie di Neumann che descrive la soluzione dell'equazione integrale per l'autofunzione di Jost dello spettro continuo, e proprieta' di analiticita' per semi-piani nel parametro spettrale k. Proprieta' di analiticita' di a(k). Ricostruzione di u(x) dal coefficiente di 1/k della soluzione di Jost, per k grande. Spettro discreto; considerazioni preliminari e autofunzioni al quadrato sommabili.

17/05/2019 (2 ore) (42)
Relazione tra gli zeri di a(k) e gli autovalori dell'operatore di Schroedinger. Gli zeri di a(k) sono semplici e in numero finito. Equazione di scattering e separazione delle parti analitiche sopra e sotto. Proiettori di analiticita' e loro uso per scrivere il sistema di equazioni integrali del problema inverso, con ricostruzione del potenziale.

20/05/2019 (2 ore) (44)
Definizione dei dati di scattering e loro evoluzione temporale semplice. Limite di campo debole e trasformata di Fourier. Potenziali reflectionless e sistema algebrico lineare. Caso N=1 e soluzione ad un solitone; proprieta' del solitone. Caso N=2 e soluzione a due solitoni. Interazione non lineare e phase shift. Considerazioni generali sul problema di Cauchy.

24/05/2019 (2 ore) (46)
Equazione di KdV come teoria di campo classica non lineare. Simmetrie, leggi di conservazione e loro relazione. Coppia di Lax e costruzione di un insieme numerabile di PDEs non lineari integrabili, come la KdV, attraverso il problema spettrale di Schroedinger. Insieme numerabile di (generatori infinitesimi di) simmetrie e di (derivate variazionali di) Costanti del moto dell'intera gerarchia di equazioni.

31/05/2019 (2 ore) (48)
Perche' le equazioni modello non lineari di questo corso sono non solo rilevanti nelle applicazioni, ma sono speciali anche dal punto di vista matematico, cosi' speciali da essere integrabili. Il problema delle onde anomale in natura. Introduzione storica: onda di Stokes, soluzione non lineare periodica delle equazioni di Euler per le onde di superficie, e sua instabilita' per perturbazioni di lunghezza d'onda sufficientemente grande. Uso dell'equazione modello di Schroedinger non lineare di tipo focusing per descrivere tale instabilita' in modo analitico. La soluzione esatta di background [a exp(2i|a|^2t)] descrive i) la prima correzione non lineare all'onda piana monocromatica della teoria delle onde di Stokes; ii) un'intensita' luminosa costante in ottica non lineare, e iii) uno stato con densita' bosonica costante in un condensato di Bose. Instabilita' lineare della soluzione di background [a exp(2i|a|^2t)] per perturbazioni con lunghezza d'onda sufficientemente grande.

03/06/2019 (2 ore) (50)
Uso della trasformata di Darboux per costruire la soluzione solitonica sul background instabile [a exp(2i|a|^2t)], che descrive l'evoluzione di un modo non lineare instabile (prima parte).

07/06/2019 (2 ore) (52)
Uso della trasformata di Darboux per costruire la soluzione solitonica sul background instabile [a exp(2i|a|^2t)] che descrive l'evoluzione di un modo non lineare instabile, detta soluzione di Akhmediev. La soluzione di Akhmediev descrive la prima apparizione di onde anomale per tempi positivi e/o negativi O(log(1/epsilon)), per una scelta opportuna dei parametri liberi. La dinamica NLS, nel caso di un modo instabile, come moto rettilineo uniforme attraverso il reticolo Z^2, in cui, al tempo t, solo i vertici del quadrato che contiene il punto della traiettoria contribuiscono alla soluzione in modo significativo.

FINE DEL CORSO