Programma del Corso di

Modelli e Metodi Matematici della Fisica -- Prima Parte: Analisi Complessa

Numeri complessi. Cenni storici. Unita' immaginaria. Rappresentazione con Parte Reale e Parte Immaginaria. Somma, prodotto e proprieta' di queste operazioni. Insieme dei complessi come Campo. Modulo, complesso coniugato e applicazioni. Radice quadrata di un numero complesso. Rappresentazione geometrica (piano di Argand). Rappresentazione sul piano della somma, del prodotto e del coniugato. Rappresentazione polare.

Rappresentazione polare dei numeri complessi. Prodotto e rapporto in rappresentazione polare. Formula di Eulero e giustificazione. Potenza ennesima. Radice ennesima. Esempi. Rappresentazione della radice ennesima di un numero complesso sul piano di Argand. Radici dell'unita'. Disuguaglianza triangolare. Rappresentazione stereografica e piano complesso esteso. Definizione di spazio metrico. C come spazio metrico con la distanza Euclidea. Disco aperto e disco chiuso. Sottoinsieme aperto di C. Unione e intersezione di aperti. Punti di frontiera, punti interni e chiusura di U in C. Unione e intersezione di sottoinsiemi chiusi. Sottoinsieme limitato. Segmento di retta e poligonale. Insiemi aperti connessi.

Funzioni complesse di variabile complessa (da C in C). Parte reale e parte immaginaria. Esempi. Definizione di limite in C. Limite di f(z) e implicazioni per il limite della parte reale e immaginaria. Limite della somma, del profotto e del quoziente. Definizione di continuita' e implicazioni per la continuita' della parte reale e della parte immaginaria. . Continuita' della somma, prodotto e quoziente di funzioni continue. Funzioni analitiche. Derivabilita' in un punto. Se f(z) e' derivabile in z e' continua in z. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivabilita' e condizioni di Cauchy-Riemann.

Funzioni analitiche. Funzioni intere. Funzioni analitiche e armonicita' della parte reale e della parte immaginaria. Data una funzione armonica u(x,y) trovare v(x,y) armonica tale che f(z)=u+iv sia analitica. Esempi: analiticita' di funzioni semplici. Polinomi. Funzioni razionali. Zeri di una funzione analitica. Singolarita' isolate. Poli.

Proprieta' base delle serie di potenze. Successioni. Successioni convergenti, di Cauchy. Serie di potenze. Serie convergente, assolutamente convergente. Serie geometrica. Teorema: se la serie e' conv. per z0 allora converge unif. per |z|<|z0|; se non converge per z0, non congerge per |z|>|z0|. Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard. Criterio del rapporto. Teorema: una serie di potenze e la serie ottenuta derivando la prima termine a termine hanno lo stesso raggio di convergenza. Teorema: se una serie di potenze converge a f(z) nel raggio di convergenza R>0, allora f(z) e' analitica in D(0,R) e f'(z) e' data dalla serie che si ottiene derivando termine a termine la serie data. Se cosi' e', f(z) e' derivabile infinite volte e vale la formula di Taylor in D(0,R).

Trascendenti intere come serie di potenze. Esponenziale complesso. Funzioni trigonometriche. Funzioni iperboliche. Funzioni inverse e polidromia. Il logaritmo complesso. Radice ennesima. Fogli di Riemann. Arcoseno e arcocoseno.

Integrazione in C. Curve (o cammini). Curve semplici, regolari, chiuse. Lunghezza di una curva e sua invarianze per riparametrizzazione. Cammini inversi. Esempi. Teorema della curva di Jordan. Integrale sulla cirva di una funzione continua di variabile complessa. Esempi. Proprieta'. Teorema di Darboux. Teorema: se fn e' una successione di funzioni continue che converge uniformemente a f, allora l'integrale di f e' pari al limite degli integrali di fn (scambio del lim e int). Corollario: scambio della somma e dell'int.

Teorema di Cauchy sul rettangolo (dim di Goursat). Validita' del teorema di Cauchy sul rettangolo anche in presenza di un numero finito di discontinuita' rimovibili all'interno del rettangolo stesso. Teorema di Cauchy per il disco, e Teorema di Cauchy per il disco in presenza di un numero finito di discontinuita' rimovibili all'interno del disco stesso. Primitiva. Domini multiplamente connessi e teorema di Cauchy. Indice di un punto rispetto ad una curva chiusa. Formula Integrale di Cauchy. Formula per la derivata prima ... derivata seconda. Formula integrale per la derivata ennesima. Teorema di Morera. Teorema di Liouville e teorema generale dell'algebra. Serie di Taylor.

Funzioni analitiche monodrome con singolarita' isolate. Serie di Laurent.

Integrali di funzioni con punti singolari isolati; integrali sulla circonferenza di raggio unitario; integrali con l'utilizzo della formula integrale di Cauchy; sviluppi di Taylor; sviluppi di Laurent. Definizione di residuo. Teorema dei residui. Ausili nel calcolo del residuo di funzioni con singolarita' polari. Lemma di Jordan. Teorema della media di Gauss. Lemma degli archi infinitesimi. Integrazione con i residui di integrali nei reali. Integrali di funzioni razionali di sen(t) e cos(t) nell'intervallo [0,2*Pi] e integrali sulla circonferenza di raggio unitario. Integrali sull'asse reale da -Infinity a +Infinity di funzioni limitate (e convergenti a 0) sul semicerchio in Im(z)+.

Comportamento di f(z) nel punto all'infinito. Singolarita' isolata, singolarita' polare, essenziale. Residuo di f(z) nel punto all'infinito. Teorema dei residui con singolarita' isolate esterne al cammino di integrazione e nel punto all'infinito. Esempio di integrazione con punto singolare interno al cammino di integrazione. Esempio con punto singolare esterno. Integrali con i residui e integrali di Fourier (chiusura del cammino d'integrazione nel semi-piano superiore, Im(z)+, o inferiore, In(z)-. Trasformata di Fourier della Gaussiana; integrali di Fresnel; integrali con infinite singolarita' numerabili sull'asse immaginario. Integrazione su un cammino che passa da un punto con singolarita' di tipo polare: Valor Principale alla Cauchy. Integrali con cammino coincidente con una linea di diramazione.

Prolungamento analitico. Teorema sull'annullamento di una funzione analitica nel suo dominio. Corollario sulla coincidenza di due funzioni analitiche e sul prolungamento analitico. Prolungamento per serie di potenze (alla Weierstrass). Funzioni monodrome e polidrome. Principio di riflessione di Schwartz. Prolungamento tramite rappresentazioni integrali. Gamma di Eulero.

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Strutture sugli insiemi "bruti": topologia e spazi topologici (con i concetti di convergenza e continuita', per successioni e funzioni, che fanno uso della definizione di intorno), metrica e spazi metrici (idem: convergenza e continuita'), spazi vettoriali, norma e spazi vettoriali normati (norma che induce una metrica che induce una topologia), applicazioni lineari da spazio normato a spazio normato (f e' continua se e solo se e' limitata), isometria (semplicemente detto cos'e'). Spazio di Banach e convergenza delle successioni di Cauchy. Esempio C(U) con U chiuso e limitato di R^n e' di Banach. Prodotto scalare

Spazio pre-Hilbertiano e Spazio di Hilbert. Spazi di Hilbert finito-dimensionali, vettori ortogonali e ortonormali. Proprieta' della base, identita' di Parseval, processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Spazi di Hilbert infinito-dimensionali, span di un insieme di vettori ortonormali, spazio metrico denso in uno spazio che lo contiene, def di base in uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale come insieme l.i. e completo (cioe' lo span e' denso nello spazio normato che sto considerando). Insieme numerabile, Spazio metrico separabile e base ortonormale numerabile. Spazi di Hilbert separabili, serie di "Fourier" e coefficienti di Fourier per l'espressione di un vettore dello spazio come somma infinita dei vettori della base (def come limite nella norma dello spazio). Condizione di convergenza di tale serie. Proprieta' della base di uno sp di H separabile infinito-dimensionale. Disuguaglianza e uguaglianza di Bessel. Ogni sp. di Hilbert infinito dim separabile e' isomorfo a l_2 (lo sp su R o su C di tutte le successioni a quadrato sommabile) e quindi tutti gli sp di H inf-dim sep sono isomorfi fra loro. Spazi di funzioni, norma del sup e norma L_1. Esempi e discussione dell'implicazione di utilizzare l'integrale di Lebesgue nella definizione della norma. Classi di equivalenza e funzioni uguali quasi ovunque e quindi convergenza che non e' puntuale.

Spazi L^p_om(U) come spazi di Banach. Spazio di Hilbert L^2_om(U). E' uno sp vettoriale, def del prodotto scalare in ||.||_2 (e' un prod scalare). Basi ortonormali su L^2. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Insiemi di Polinomi ortonormali costruibili con Gram-Schmidt da A={1,x,x^2, ... x^n, ..}. Teorema di Weierstrass e dell'approssimazione di una funzione con polinomi su un intervallo chiuso e limitato (solo menzionato). Polinomi di Legendre (ho fatto l'esercizietto di estrarre da 1,x,x^2 ... i primi polinomi con Gram-Schm.). Polinomi di Jacobi. Formula di Rodriguez. Polinomi di Laguerre (su [0,+Infinity) ma anche se Weierstrass non vale piu' di puo' cmq dim che formano una base per L^2), polinomi di Hermite (idem).

Trasformata di Fourier. Intro. Def e proprieta' in L^1(R^n). Es: trasformata della Gaussiana e della funzione indicatrice dell'intervallo [-1,1]. Derivata della trasformata e trasformata della derivata. Esempietto in cui un'eq diff del secondo ordine a coeff costanti non omogenea diventa un'eq algebrica nella trasformata. Teorema dell'inversione della trasformata (se Ff e' in L^1(R^n) opure se non lo e' (ho detto loro solo la formula). Spazi di Schwartz e inversa in S(R^n). Prodotto di convoluzione e trasformata di Fourier. Calcolo di qualche trasf di Fourier e della soluzione particolare di un'eq diff del secondo ordine a coeff costanti.

Trasformata di Laplace: def, proprieta' e applicazioni. Armoniche sferiche dalla integrazione della parte angolare dell'eq di Laplace in coord sferiche (atomo di idrogeno).