Programma dettagliato della Settimana dal 4/04/2022 al 8/04/2022:

-- Analisi Complessa

LEZ 52-53 -- Lunedì 4/04/2022 - 2h - Bonciani 10:00-12:00

Strutture sugli insiemi "bruti": topologia e spazi topologici (con i concetti di convergenza e continuita', per successioni e funzioni, che fanno uso della definizione di intorno), metrica e spazi metrici (idem: convergenza e continuita'), spazi vettoriali, norma e spazi vettoriali normati (norma che induce una metrica che induce una topologia), applicazioni lineari da spazio normato a spazio normato (f e' continua se e solo se e' limitata), isometria (semplicemente detto cos'e'). Spazio di Banach e convergenza delle successioni di Cauchy. Esempio C(U) con U chiuso e limitato di R^n e' di Banach. Prodotto scalar. Spazio pre-Hilbertiano e Spazio di Hilbert.

LEZ 54-55 -- Martedì 5/04/2022 - 2h - Bonciani 8:00-10:00

Esercizi.
Spazi di Hilbert finito-dimensionali, vettori ortogonali e ortonormali. Proprieta' della base, identita' di Parseval, processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Spazi di Hilbert infinito-dimensionali, span di un insieme di vettori ortonormali, spazio metrico denso in uno spazio che lo contiene, def di base in uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale come insieme l.i. e completo (cioe' lo span e' denso nello spazio normato che sto considerando). Insieme numerabile, Spazio metrico separabile e base ortonormale numerabile.

LEZ 56 -- Mercoledì 6/04/2022 - 1h - Bonciani 15:00-16:00

Spazi di Hilbert separabili, serie di "Fourier" e coefficienti di Fourier per l'espressione di un vettore dello spazio come somma infinita dei vettori della base (def come limite nella norma dello spazio). Condizione di convergenza di tale serie. Proprieta' della base di uno sp di H separabile infinito-dimensionale. Disuguaglianza e uguaglianza di Bessel. Ogni sp. di Hilbert infinito dim separabile e' isomorfo a l_2 (lo sp su R o su C di tutte le successioni a quadrato sommabile) e quindi tutti gli sp di H inf-dim sep sono isomorfi fra loro. Spazi di funzioni, norma del sup e norma L_1. Esempi e discussione dell'implicazione di utilizzare l'integrale di Lebesgue nella definizione della norma. Classi di equivalenza e funzioni uguali quasi ovunque e quindi convergenza che non e' puntuale.

LEZ 57-58 -- Giovedì 7/04/2022 - 2h - Bonciani 14:00-16:00

Esercizi.

LEZ 59-60 -- Venerdì 8/04/2022 - 2h - Bonciani 8:00-10:00

Spazi L^p_om(U) come spazi di Banach. Spazio di Hilbert L^2_om(U). E' uno sp vettoriale, def del prodotto scalare in ||.||_2 (e' un prod scalare). Basi ortonormali su L^2. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Insiemi di Polinomi ortonormali costruibili con Gram-Schmidt da A={1,x,x^2, ... x^n, ..}. Teorema di Weierstrass e dell'approssimazione di una funzione con polinomi su un intervallo chiuso e limitato (solo menzionato). Polinomi di Legendre. Polinomi di Jacobi. Formula di Rodriguez. Polinomi di Laguerre. Polinomi di Hermite (idem).