LEZ 19 -- Lunedì 21/05/2018 - 2h - Bonciani
Strutture sugli insiemi "bruti": topologia e spazi
topologici (con i concetti di convergenza e continuita', per
successioni e funzioni, che fanno uso della definizione di
intorno), metrica e spazi metrici (idem: convergenza e
continuita'), spazi vettoriali, norma e spazi vettoriali normati
(norma che induce una metrica che induce una topologia),
applicazioni lineari da spazio normato a spazio normato (f e'
continua se e solo se e' limitata), isometria (semplicemente detto
cos'e'). Spazio di Banach e convergenza delle successioni di
Cauchy. Esempio C(U) con U chiuso e limitato di R^n e' di Banach.
Prodotto scalare
LEZ 20 -- Martedì 22/05/2018 - 2h - Bonciani
Spazio pre-Hilbertiano e Spazio di Hilbert. Spazi
di Hilbert finito-dimensionali, vettori ortogonali e ortonormali.
Proprieta' della base, identita' di Parseval, processo di
ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Spazi di Hilbert
infinito-dimensionali, span di un insieme di vettori ortonormali,
spazio metrico denso in uno spazio che lo contiene, def di base in
uno spazio vettoriale normato infinito dimensionale come insieme
l.i. e completo (cioe' lo span e' denso nello spazio normato che
sto considerando). Insieme numerabile, Spazio metrico separabile e
base ortonormale numerabile. Spazi di Hilbert separabili, serie di
"Fourier" e coefficienti di Fourier per l'espressione di un
vettore dello spazio come somma infinita dei vettori della base
(def come limite nella norma dello spazio). Condizione di
convergenza di tale serie. Proprieta' della base di uno sp di H
separabile infinito-dimensionale. Disuguaglianza e uguaglianza di
Bessel. Ogni sp. di Hilbert infinito dim separabile e' isomorfo a
l_2 (lo sp su R o su C di tutte le successioni a quadrato
sommabile) e quindi tutti gli sp di H inf-dim sep sono isomorfi
fra loro. Spazi di funzioni, norma del sup e norma L_1. Esempi e
discussione dell'implicazione di utilizzare l'integrale di
Lebesgue nella definizione della norma. Classi di equivalenza e
funzioni uguali quasi ovunque e quindi convergenza che non e'
puntuale.
LEZ 21 -- Mercoledì 23/05/2018 - 2h - Bonciani
Spazi L^p_om(U) come spazi di Banach. Spazio di
Hilbert L^2_om(U). E' uno sp vettoriale, def del prodotto scalare
in ||.||_2 (e' un prod scalare). Basi ortonormali su L^2. Polinomi
trigonometrici e serie di Fourier. Insiemi di Polinomi ortonormali
costruibili con Gram-Schmidt da A={1,x,x^2, ... x^n, ..}. Teorema
di Weierstrass e dell'approssimazione di una funzione con polinomi
su un intervallo chiuso e limitato (solo menzionato). Polinomi di
Legendre (ho fatto l'esercizietto di estrarre da 1,x,x^2 ... i
primi polinomi con Gram-Schm.). Polinomi di Jacobi. Formula di
Rodriguez. Polinomi di Laguerre (su [0,+Infinity) ma anche se
Weierstrass non vale piu' di puo' cmq dim che formano una base per
L^2), polinomi di Hermite (idem).