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Programma dettagliato della Settimana dal 6/05/2019 al
10/05/2019:
-- Analisi Complessa
-- Lunedì 6/05/2019 - 2h - Vulpiani
12:00-14:00
LEZ 24 -- Mercoledì 8/05/2019 - 2h - Bonciani
9:00-11:00
Strutture sugli insiemi "bruti": topologia e spazi topologici
(con i concetti di convergenza e continuita', per successioni e
funzioni, che fanno uso della definizione di intorno), metrica e
spazi metrici (idem: convergenza e continuita'), spazi
vettoriali, norma e spazi vettoriali normati (norma che induce
una metrica che induce una topologia), applicazioni lineari da
spazio normato a spazio normato (f e' continua se e solo se e'
limitata), isometria (semplicemente detto cos'e'). Spazio di
Banach e convergenza delle successioni di Cauchy. Esempio C(U)
con U chiuso e limitato di R^n e' di Banach. Prodotto scalare.Spazio
pre-Hilbertiano e Spazio di Hilbert. Spazi di Hilbert
finito-dimensionali, vettori ortogonali e ortonormali. Proprieta'
della base, identita' di Parseval, processo di ortonormalizzazione
di Gram-Schmidt.
LEZ 25 -- Giovedì 9/05/2019 - 2h - Bonciani
12:00-14:00
Spazi di Hilbert infinito-dimensionali, span di un insieme di
vettori ortonormali, spazio metrico denso in uno spazio che lo
contiene, def di base in uno spazio vettoriale normato infinito
dimensionale come insieme l.i. e completo (cioe' lo span e'
denso nello spazio normato che sto considerando). Insieme
numerabile, Spazio metrico separabile e base ortonormale
numerabile. Spazi di Hilbert separabili, serie di "Fourier" e
coefficienti di Fourier per l'espressione di un vettore dello
spazio come somma infinita dei vettori della base (def come
limite nella norma dello spazio). Condizione di convergenza di
tale serie. Proprieta' della base di uno sp di H separabile
infinito-dimensionale. Disuguaglianza e uguaglianza di Bessel.
Ogni sp. di Hilbert infinito dim separabile e' isomorfo a l_2
(lo sp su R o su C di tutte le successioni a quadrato sommabile)
e quindi tutti gli sp di H inf-dim sep sono isomorfi fra loro.
Spazi di funzioni, norma del sup e norma L_1. Esempi e
discussione dell'implicazione di utilizzare l'integrale di
Lebesgue nella definizione della norma. Classi di equivalenza e
funzioni uguali quasi ovunque e quindi convergenza che non e'
puntuale.
LEZ 26 -- Venerdì 10/05/2019 - 2h - Bonciani
9:00-11:00
Spazi L^p_om(U) come spazi di Banach. Spazio di Hilbert
L^2_om(U). E' uno sp vettoriale, def del prodotto scalare in
||.||_2 (e' un prod scalare). Basi ortonormali su L^2. Polinomi
trigonometrici e serie di Fourier. Insiemi di Polinomi ortonormali
costruibili con Gram-Schmidt da A={1,x,x^2, ... x^n, ..}. Teorema
di Weierstrass e dell'approssimazione di una funzione con polinomi
su un intervallo chiuso e limitato (solo menzionato). Polinomi di
Legendre (ho fatto l'esercizietto di estrarre da 1,x,x^2 ... i
primi polinomi con Gram-Schm.). Polinomi di Jacobi. Formula di
Rodriguez. Polinomi di Laguerre (su [0,+Infinity) ma anche se
Weierstrass non vale piu' di puo' cmq dim che formano una base per
L^2), polinomi di Hermite (idem).