Errore ed incertezza di misura (discussione introduttiva)

L'esperienza appena descritta illustra molto bene i concetti di errore e di incertezza di misura, già introdotti a livello intuitivo e sui quali si tornerà in termini più formali nel seguito.

La differenza fra i valori stimati e quelli letti al nonio rappresenta l'errore di stima che si commette di volta in volta, in quanto il valore letto al nonio è in buona approssimazione quello ``vero''. Dalla conoscenza di questi errori tipici (da meglio definire) si può risalire all'incertezza della misura derivante dalla sola stima. Consideriamo alcuni casi particolarmente istruttivi.

1. Supponiamo di sapere che un'ipotetica persona A (nessuna di quelle della tabella 2.2) si sbaglia ``in media'' di 0.02cm sia in più che in meno. Se in una misura succesiva effettuata in condizioni analoghe lui stimerà 23.54cm, quanto si crederà a questa a affermazione? Ragionevolmente si tenderà a credergli ``entro 0.02cm''.
2. Immaginiamo invece che un'altrettanto ipotetica persona B tenda in media a sovrastimare le lunghezze di 0.02 cm e che la dispersione degli errori intorno a questo errore sistematico medio sia soltanto di 0.01 cm. Se costui stimerà 15.67 cm chiaramente si tenderà a credere che il valore vero sia ``entro 0.01 cm'' intorno a 15.65 cm, avendo corretto la sua stima per l'errore medio.
3. Supponiamo che sei persone che si comportino come A stimino 18.33, 18.36, 18.34, 18.31, 18.34, 18.37 cm. Chiaramente, non essendoci nessun motivo per ritenere qualcuna di queste stime più o meno giusta delle altre si tenderà a pensare che ``in medio stat virtus''. E fin qui va bene. Però se si prova a stimare l'ampiezza dell'intervallo entro cui si può credere che il valore vero sia compreso, l'intuizione potrebbe dare una risposta (``entro 0.03 cm'') ben lontana da quella corretta (``entro 0.008 cm''). Per arrivare a queste conclusioni bisognerà prima aver imparato - anticipiamo il risultato - che le stime medie effettuate indipendentemente da 6 persone equivalenti sbagliano tipicamente di un fattore $1/\sqrt{6}$ rispetto a quanto sbaglia la singola persona.
4. Supponiamo di porci nelle condizioni del punto 1, ma sapendo che lo strumento usato non è calibrato perfettamente. Più precisamente, lo sperimentatore sa che esso può essere scalibrato al massimo dello 0.5% in più o in meno. Ciò significa che, anche se la lettura fosse perfetta, si crederà al risultato entro 0.12 cm. Quindi l'incertezza dovuta all'errore di lettura di 0.02 mm diventa trascurabile. È anche chiaro, se si è interessati ad una sola grandezza, non ha alcun senso fare medie fra più letture o sforzarsi di leggere al meglio, essendo consapevoli di una ``inevitabile''incertezza di questo tipo. In particolare, se questa incertezza non è tollerabile ai fini che l'esperimento si propone, bisogna ricalibrare lo strumento o procurarsene un altro migliore.
5. Continuando sul punto precedente, è altrettanto ovvio che, se misuriamo due grandezze con lo stesso strumento e siamo interessati al loro rapporto, l'errore ignoto di scala dello strumento non avrà alcuna influenza sul risultato. Queste riflessioni insegnano che gli ``errori sistematici'' andranno trattati con cautela, per non sovrastimare o sottostimare sostanzialmente l'incertezza sul risultato finale.