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Formalismo della matrice di covarianza

Riscriviamo la formula generale (11.26) nel seguente modo
$\displaystyle \sigma_{Y_{kl}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i} \frac{\partial Y_k}{\partial X_i}
\left( \sum_{j}\sigma_{X_{ij}}
\frac{\partial Y_l}{\partial X_j}\right)\,.$ (11.30)

Si riconosce un operazione fra matrici del seguente tipo:

$\displaystyle {\bf V}_Y = {\bf M}{\bf V}_X{\bf M}^T\, ,$ (11.31)

ove $ {\bf V}_Y$ sta per la matrice di covarianza delle $ Y$, $ {\bf V}_X$ per la matrice di covarianza delle $ X$ e $ \bf M$ per la matrice $ m\times n$ delle derivate delle $ Y$ rispetto alle $ X$. Esplicitamente:
$\displaystyle {\bf V}_X$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
\sigma^2(X_1) &
\mbox{Cov}(X_1,X_2) &
\...
...gma^2(X_2) &
\cdots \\
& & \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array}\right)$ (11.32)
$\displaystyle {\bf V}_Y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
\sigma^2(Y_1) &
\mbox{Cov}(Y_1,Y_2) &
\...
...gma^2(Y_2) &
\cdots \\
& & \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array}\right)$ (11.33)
$\displaystyle {\bf M}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial Y_1}{\partial X_1} &
\fr...
...al X_2} &
\cdots \\
& & \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\end{array}\right)\,.$ (11.34)

Chiaramente, questo è semplicemente un modo formale più compatto di vedere la propagazione di incertezze e correlazioni nell'approssimazione lineare, e non contiene niente di più profondo che non sia già nella (11.26).


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Giulio D'Agostini 2001-04-02