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Giovedi 25/3, 18:19

Soluzioni esercizi. In particolare: relazione $T^2\propto R^3$ per orbite circolare. Significato e rilevanza pratica di orbite geostazionarie. Estensione (non dimostrata) da orbite circolari ad orbite ellittiche (semplicemente dovute al fatto che non c'e' istante per istante fra forza gravitazionale e forza centrifuga): Leggi di Keplero.
Forza gravitazionali fra corpi non puntiformi: $\vec F = \sum_i F_i = \sum_i\frac{G \mu_i  m}{r_i^2}\hat r_i$ (se $m$ è di un corpo puntiforme). Attrazione gravitazionale fra una massa distribuita uniformemente sulla superficie di una sfera e un punto materiale interno od esterno ad essa (consequenze del teorema di Gauss). Applicazione al problema del `pozzo per il centro della Terra': forza gravitazionale in funzione della distanza dal centro della terra $x$: $F = - 4/3 \pi G \rho  m x$, ove $\rho$ indica la densità della terra ($5.5 10^3 $kg/m$^3$). Da $F=m a$ segue l'equazione differenziale
$\displaystyle \frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d} t^2} + \frac{4}{3} \pi \rho G  x$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 .$ (5)

Comportamento molla (esperienza in aula). Condizione di equilibrio: $F_m=mg$; linearità fenomenologica di allungamento in funzione di $m$: $(L_{eq}-L_0)k=mg$. Forza di richiamo se il corpo viene spostato di $x$ dalla posizione di equilibrio $L_{eq}$: $F(x)= -k x$. Da $F=m a$ segue l'equazione differenziale
$\displaystyle \frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d} t^2} + \frac{k}{m}  x$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 .$ (6)

Le (6) e (7) sono formalmente equivalenti:
$\displaystyle \frac{\mbox{d}^2x}{\mbox{d} t^2} + \omega^2  x$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 ,$ (7)

ove, per ora, $\omega^2$ ha soltanto il significato di costante positiva. La (8) è una equazione differenziale: la sua soluzione non è semplicemente un numero, ma la funzione $x(t)$.


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Giulio D'Agostini 2004-06-21