next up previous
Next: Giovedi 1/4, 18:19 Up: lezioni2html Previous: Giovedi 25/3, 18:19

Mercoledi 31/3, 14:00-16:00

Precisazioni su teorema di Gauss: non abbiamo visto la formulazione generale del teorema, ma sono delle consequenze su gusci sferici e quindi su sfere piene e omogenee.
Dimensioni di $\omega^2$ e di $\omega$ dalla (8): si possono solo sommare e sottrarre grandezze omogenee. Dimensioni di $k$ della molla. I diversi modi di scrivere $\omega^2$ nel problema del pozzo per la terra:
$\displaystyle \omega^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{4/3 \pi \rho  G  m}{m}$ (8)
  $\textstyle =$ $\displaystyle 4/3 \pi \rho G$ (9)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{g}{R_T} ,$ (10)

ove $R_T$ é il raggio della terra [la (10) è utile per associare le `costanti di richiamo' $4/3 \pi \rho  G  m \leftrightarrow k$].
Studio di $x(t)$, $v(t)$ e $a(t)$: a) ragionamenti qualitativi; b) ragionamenti su variazioni discrete
$\displaystyle v(t+\Delta t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle v(t) + a_m \Delta t$ (11)
$\displaystyle x(t+\Delta t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x(t) + v_m \Delta t$ (12)

e sua implementazione in C (vedi sito web); c) risoluzione dell'equazione differenziale (8), con le condizioni iniziali $x(t=0) = R_T = x_{max} = A$, mediante soluzione di prova $x(t)=A \cos(\omega t)$:
$\displaystyle x(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle A \cos(\omega t)$ (13)
$\displaystyle v(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}x(t) = -\omega A \sin(\omega t)$ (14)
$\displaystyle a(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}v(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)
= -\omega^2\cos(\omega t) .$ (15)

Check qualitativi e dimensionali. Significato di $\omega$: pulsazione (in rad/s). Periodo $T=2 \pi\omega$. Calcolo di $\vert v_{max}\vert$, $\omega$ e $T$ per il problema del pozzo: $\vert v_{max}\vert=\omega A=\omega R_T=\sqrt{g R_T}\approx  $7900m/s; $\omega=1.23\times 10^{-3} \mbox{s}^{-1]}$ (o rad/s); $T\approx 5100 \mbox{s}=1^h24'$.
Molla: misura in aula di $k$ da allungamento di 13.0 cm avendo aggiunto 7 dischetti da 100 g ciascuno: $k=\Delta F/\Delta x=
g \Delta m/\Delta x=53 $N/m. Misure del periodo per 5 e 10 dischetti: 0.61 e 0.85 s. Confronto con la teoria: OK: $\rightarrow$ conti per casa
Definizione del lavoro in caso unidimensionale e per forza costante: $L=F \Delta x$. Lavoro positivo e negativo e variazione di velocità nel caso di forza gravitazione $mg$ (ragionamenti qualitativi). Lavoro nel caso di forza che dipende dalla posizione: $L = \sum_{i=1}^n L_i = \sum_{i=1}^n F_i\Delta_{x_i}$ e limite ( $n\rightarrow \infty$; $\Delta_{x_i}\rightarrow 0$):
$\displaystyle L$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} F(x) \mbox{d}x .$ (16)

Definizione dell'energia cinetica e connessione al lavoro mediante il cosiddetto teorema dell'energia cinetica (o delle `forze vive'), consequenza di ``$F=m a$'':
$\displaystyle L(x_1\rightarrow x_2) = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \mbox{d}x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} m\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t} \mbox{d}x$ (17)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} m\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t} v \mbox{d}t$ (18)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} m v \mbox{d}v$ (19)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left. \frac{1}{2} m v^2\right\vert _{x_1}^{x_2}
= \frac{1}{2} m v^2(x_2) - \frac{1}{2} m v^2(x_1)$ (20)
  $\textstyle =$ $\displaystyle E_c(x_2) - E_c(x_1) ,$ (21)

avendo definito $E_c= 1/2 m v^2$ come energia cinetica:
$\displaystyle \rightarrow   L$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Delta E_c .$ (22)

Esempi (conti per casa): a) corpo cade da 10 m: $\rightarrow$ velocità finale; b) corpo lanciato verso l'alto con $v_0=10 $m/s: dove arriva? c) corpo lanciato verso l'alto con $v_0=30 $m/s: velocità quando è salito di 10 dalla posizione iniziale.
$\rightarrow$ Discussione sui vantaggi di usare il lavoro invece di risolvere in dettaglio le equazioni del moto.


next up previous
Next: Giovedi 1/4, 18:19 Up: lezioni2html Previous: Giovedi 25/3, 18:19
Giulio D'Agostini 2004-06-21