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Venerdi 16/4, 14:00-16:00

Urto elastico fra punti materiali (o urto centrale fra sfere) aventi stessa massa e velocità opposta. Soluzione con argomenti di simmetria: $\rightarrow$ rimbalzo: le velocità si invertono. Caso di pari massa, ma velocità diverse: analisi nel cenro di massa: $\rightarrow$ trasformazioni di velocità.
In genere, se un corpo si muove con $\vec v$ nel sistema di riferimento $S$, e il sistema di riferimento si muove rispetto a $S^\prime$ con velocità costante $\vec v(S)$:
$\displaystyle \vec{v^\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec v(S) + \vec v$ (39)
$\displaystyle \vec{a^\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec a .$ (40)

Trasformazione della velocità del punto materiale di massa $m$ da $CM \rightarrow LAB$ e viceversa:
$\displaystyle \vec{v}_{LAB}(m)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{LAB}(CM) + \vec{v}_{CM}(m)$ (41)
$\displaystyle \vec{v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec{v}_{CM} + \hat{\vec v}$ (42)

con trasformazione inversa $\hat{\vec v} = \vec{v} - \vec{v}_{CM}$.
Urto elastico di oggetti di pari massa nel $CM$ e quindi nel $LAB$ (unidimensionale, lungo linea d'urto), di cui il primo con $v_1$ e il secondo fermo:
$\displaystyle \hat v_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_1-v_{CM} = v_1 - \frac{v_1}{2} = \frac{v_1}{2}$ (43)
$\displaystyle \hat v_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0-v_{CM} = - \frac{v_1}{2}$ (44)
$\displaystyle \hat v_1^\prime$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{v_1}{2}$ (45)
$\displaystyle \hat v_2^\prime$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{v_1}{2}$ (46)
$\displaystyle v_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_{CM} + \hat v_1^\prime = \frac{v_1}{2} - \frac{v_1}{2} = 0$ (47)
$\displaystyle v_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_{CM} + \hat v_2^\prime = \frac{v_1}{2} + \frac{v_1}{2} = v_1$ (48)

Altri esempi di trasformazione di veloctà: Impulso della forza e variazione di quantità di moto:
$\displaystyle \int_0^{\Delta T} \vec F\mbox{d}t$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_0^{\Delta T} \mbox{d}\vec p$ (49)
$\displaystyle \vec J$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Delta \vec p  [  = \vec p(\Delta T) - \vec p(0)  ]$ (50)
$\displaystyle \mbox{impulso della forza}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{variazione quantit\\lq a di moto}$ (51)

Sistema di punti materiali interagenti e soggetti a forze esterne esterne:
$\displaystyle \sum_i \vec F_i^{(ext)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_i \frac{\mbox{d} \vec p_i}{\mbox{d} t}$ (52)
$\displaystyle \vec F^{(ext)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\mbox{d} \vec P}{\mbox{d} t}$ (53)
  $\textstyle =$ $\displaystyle M \frac{\mbox{d} \vec v_{CM} }{\mbox{d} t}$ (54)
  $\textstyle =$ $\displaystyle M \vec a_{CM}  ,$ (55)

ove $ \vec F^{(ext)}$ è la risultante delle forze esterne e $M$ è la somma delle masse del sistema. È come se il $CM$ si comportasse come un punto materiale di massa $M$ (seconda legge della meccanica generalizzata ad un sistema di punti materiali). Segue:
$\displaystyle L^{(ext)} = \int_A^B \vec F^{(ext)} \cdot \mbox{d} s =
\Delta\left.\left(\frac{1}{2}Mv_{CM}^2\right)\right\vert _A^B:$     (56)

il lavoro fatto dalla risutante delle forze esterne è pari alla variazione di energia cinetica di traslazione del CM (nota: il sistema possiede anche energia cinetica dovuta al movomento interno).
Teorema di Gauss. Il teorema di Gauss vale anche per campo gravitazionale e per tutti eventuali altri campi -- non ne esistono altri...) che vanno come $1/r^2$.
  Gravità Cariche
     
Campo $\vec g$ = $-\frac{G M \vec r}{r^3}$ $ \vec E = \frac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\frac{Q\,\vec r}{r^3}$
     
Flusso su sfera $g\cdot 4\pi r^2 = -4\pi G M$ $E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} $
(singola massa/carica)    
Flusso $\phi(\vec g) = -4\pi G\sum_i M_i$ $\phi(\vec E) = \frac{\sum_i Q_i}{\epsilon_0} $
(in generale)    


Applicazioni del teorema di Gauss in elettrostatica. Nota:
$\displaystyle \mbox{Punto}$ $\textstyle \longrightarrow$ $\displaystyle E \propto r^{-2}$ (60)
$\displaystyle \mbox{Filo}$ $\textstyle \longrightarrow$ $\displaystyle E \propto r^{-1}$ (61)
$\displaystyle \mbox{Piano}$ $\textstyle \longrightarrow$ $\displaystyle E \propto r^{0}$ (62)

Attenzione: nelle applicazioni del teorema di Gauss le simmetrie sono importantissime! Se si hanno disomegeneità, il flusso è quello dato dal teorema (è un teorema!) ma non è possibile risalire al campo sui vari punti dal solo flusso. Si pensi al caso di due cariche di carica $Q$ situate internamente alla superficie di una sfera di raggio $R$ ma in prossimità della superficie della sfera e diametralmente opposte. Il flusso vale $2 Q/\epsilon_0$, ma il campo non può essere calcolato in modo semplice dal teorema di Gauss in quanto non si trova una superficie tale che si possa ritenere che, in base ad argomenti di simmetria, il campo sia uguale in modulo su tutti i suoi punti (a parte il limite di una sfera di raggio $R\rightarrow\infty$).


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Giulio D'Agostini 2004-06-21