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Giovedi 29/4, 18:00-19:00

Corpi rigidi: traslazione e rotazione. Concetto di coppia delle forze. Accelerazione angolare: dipende da forze e braccio (ovvero coppia), dipende anche da massa e sua disposizione geometrica (!). Rotazione intorno ad asse (apparentemente si applica una sola forza: la reazione vincolare dà luogo alla seconda forza della coppia).
Momento della forza: $\vec M = \vec r \times \vec F$,. Modulo: $M=r\cdot F \cdot \sin\theta$. Direzione ortogonale al piano di $\vec r$ e $\vec F$. Verso: Considerata terna sinistorsa $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$: se $\vec r$ nel verso di $\hat x$ e $\vec F$ nel verso di $\hat y$ $\rightarrow \vec M$ nel verso di $\hat z$. Regola medio-indice-pollice della mano sinistra (stanno a $\hat x$-$\hat y$$\hat z$). Regola mano destra: dita tese, dita ad angolo retto e pollice (di nuovo (stanno a $\hat x$-$\hat y$$\hat z$). Momento sispetto ad un polo e rispetto ad un asse (utile quando asse di rotazione è fisso). Ristrittura modulo di $\vec M$ come $M=F\cdot r_\perp$, con $r_\perp = r\cdot \sin\theta$, ortogonale a $\vec M$ ($r_\perp$ sta a braccio).
$\vec M_{tot} = \sum_i \vec M_i$ in quanto $F_{tot} = \sum_i \vec F_i$. Coppia rivista in termine di somma di momenti delle due forze: $M=F\cdot b$ indipendentemente asse che si considera per calcolare i momenti. Regola della mano destra con le dita curvate verso l'interno del palmo (e della vite 'destorsa' che si avvita): se il verso di `avvitamente' è quello della rotazione causata dalla forza, il momento è diretto, rispettivamente, lungo il pollice (verso l'unghia) o lungo l'asse della vite (verso la punta).
Momento delle forza e momento della quantità di moto: $\vec L = \vec r\times \vec p = \vec r\times (m \vec v)$ $\rightarrow$ $\vec M = \mbox{d}\vec L/\mbox{d}t$ (caso di polo o asse fisso, il solo che ci interessa in questo corso). $\vec L_{tot} = \sum_i \vec L_i$. Corpo che ruota: $\vec L_{tot} = \sum_i \vec r_i \times (m \vec v)$: lungo l'asse di rotazione tutti i punti ruolano con stassa velocità angolare $\omega$: ci concentriamo sul modulo (omettiamo $tot$): $L = \sum_i r_i m_i v_i =
\sum_i r_i m_i r_i \omega = (\sum_i m_i r_i^2)\omega$ (se tutta la massa è alla stessa distanza dall'asse, es. ruota bicicletta, $L = (m r^2)\omega$). In genere bisogna fare la sommatoria o l'integrale sugli elementi di massa.
Continuiamo considerando $M$ e $L$ lungo un asse prefissato. da $M= \mbox{d} L/\mbox{d}t$, $\rightarrow M = \mbox{d}/ \mbox{d}t [(\sum_i m_i r_i^2)\omega] =
\mbox{d}/ \mbox{d}t[I \omega] = I \mbox{d}\omega / \mbox{d}t
= I \dot{\omega}$ (se $I$ fisso). Analogia con ``$F = m a$'': $I$ acquista il ruola di `coefficiente di inerzia': Momento di Inerzia.
Analogie fra moto traslazione (1-D per semplicità) e moto rotazionale intorno ad asse.
$x$ $\longleftrightarrow$ $\theta$
$v= \frac{\mbox{d} x}{\mbox{d}t}$ $\longleftrightarrow$ $\omega = \frac{\mbox{d} \theta}{\mbox{d}t}$
$a =\frac{\mbox{d} v}{\mbox{d}t} =\frac{\mbox{d}^2 v}{\mbox{d}t^2} $ $\longleftrightarrow$ $\dot{\omega} = \frac{\mbox{d} \omega}{\mbox{d}t}
=\frac{\mbox{d}^2 \theta}{\mbox{d}t^2} $
$m$ $\longleftrightarrow$ $I$
$p=m v$ $\longleftrightarrow$ $L = I \omega$
$F = m a$ $\longleftrightarrow$ $M = I \dot{\omega}$
$ \mbox{d}W = F\mbox{d}x$ $\longleftrightarrow$ $ \mbox{d}W = M\mbox{d}\theta$
(lavoro)    
$E_c^{(trasl)} = \frac{1}{2} m v^2 $ $\longleftrightarrow$ $E_c^{(rot)} = \frac{1}{2} I \omega^2 $
$F^{(ext)} = 0 \rightarrow p_{tot} = cost$ $\longleftrightarrow$ $M^{(ext)} = 0 \rightarrow L_{tot} = cost$

Energia cinetica totale: $E_c^{tot} = E_c^{trasl} + E_c^{rot} =
\frac{1}{2} m_{tot} v_{CM}^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.

Condizioni di equilibrio di un corpo rigido (da una condizione $\vec v_{CM}=0$ e $\omega=0$): devono essere nulla sia la risultante delle forze esterne che la risutlante dei momenti delle forze.
Caso speciale in cui $\omega$ può cambiare anche in assenza di momenti di forze esterne: $L=I \omega = k$, ma se $I$ cambia, cambia anche $\omega$ per conservare $L$. Esperimento sedia girevole.
Altri esperimenti in aula. Giroscopio: modulo, direzione e verso di $L$; momento della forza gravitazionale sul giroscopio; moto `antiintuitivo' del giroscopio dovuto al fatto che, istante per istante, vale $ \mbox{d}\vec L = \vec M \cdot \mbox{d} t$, ovvero $\vec L(t+ \mbox{d} t) = \vec L(t) + \mbox{d}\vec L = \vec L(t)
+ \vec M \cdot \mbox{d} t$. Uova sode e uova fresche.


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Giulio D'Agostini 2004-06-21