next up previous
Next: Venerdi 14/5, 14:00-16:00 Up: lezioni2html Previous: Mercoledi 12/5, 14:00-16:00

Giovedi 13/5, 18:00-19:00

Alcune unità di misura di energia e di potenza.

Energia
1 cal 4.184 Joule
(1 kcal 4184 Joule )
1 kwh = 1 kw $\times$ 1 h $3.6 10^{6} $ Joule
1 Btu 1055 Joule
1 eV = $q_e \times 1  $ V $1.6 10^{-19}$ Joule
Potenza
1 HP (CV) 736 Watt
1 kcal/h 1.16 Watt
1 Btu/h 0.293 Watt


Principio zero della termodinamica e scambi di calore: $Q_1+Q_2=0 \rightarrow$ temperatura di equilibro ($T_e$):
$\displaystyle C_1 (T_e-T_1) + C_2 (T_e-T_2) = 0$     (68)
$\displaystyle T_e = \frac{C_1 T_1+C_2 T_2}{C_1+C_2} :$     (69)

media pesata con le capacità termiche. Se si tratta di stessa sostenza (es. acqua con acqua): media pesata con le masse. Nel limite $C_1 \gg C_2 \Rightarrow T_e \rightarrow T_1$.
Termalizzazione verso una temperatura $T_f$ di un corpo di capacità termica `infinita' (es. $T_f$ ambiente costante). Dato il coefficiente di `dispersione termica'1 $\eta$ e lo sbalzo termico $(T_f-T)$ istantaneo fra la temperatura asintotica e quella del corpo che si stà termalizzando, il calore trasferito in $\mbox{d}t$ vale
$\displaystyle \mbox{d}Q$ $\textstyle =$ $\displaystyle \eta (T_f-T)  \mbox{d}t,$ (70)
$\displaystyle \mbox{ovvero}     $      
$\displaystyle C \mbox{d}T$ $\textstyle =$ $\displaystyle \eta (T_f-T)  \mbox{d}t,$ (71)
$\displaystyle \frac{\mbox{d}T}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\eta}{c M} (T_f-T)  .$ (72)

Si tratta di risolvere questa equazione differenziale per ricavarsi $T(t)$ [vedi Eq. (85)].
Caduta in campo gravitazionale con resistenza del mezzo tipo $ -\beta \vec v$. Caso unidimensionale con verso positivo diretto verso il basso:
$\displaystyle F$ $\textstyle =$ $\displaystyle m  g -\beta  v$ (73)
$\displaystyle m a$ $\textstyle =$ $\displaystyle m  g -\beta  v$ (74)
$\displaystyle m  \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle m  g -\beta  v$ (75)
$\displaystyle \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle g -\frac{\beta}{m}  v$ (76)
$\displaystyle \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{m}{\beta} 
\left( \frac{m g}{\beta}-v\right)$ (77)
$\displaystyle \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{m}{\beta} 
(v_f-v)  $ (78)

ove $v_f$ è la velocità limite ('finale'). Si tratta di risolvere questa equazione differenziale per ricavarsi $v(t)$ [vedi Eq. (85)].
Concetto generale di capacità. Capacità elettrica e condensatore: $C = Q/\Delta V$, ovvero $C = Q/V_c$, da cui
$\displaystyle Q$ $\textstyle =$ $\displaystyle C  V_c .$ (79)

Carica/scarica condensatore collegandolo ad un generatore di forza elettromotrice $f$ attraverso una inevitabile resistenza $R$ (il caso $f=0$ corrisponde ad un corto circuito che determina la scarica):
$\displaystyle f$ $\textstyle =$ $\displaystyle R I +  V_c$ (80)
$\displaystyle f$ $\textstyle =$ $\displaystyle R \frac{\mbox{d}Q}{\mbox{d}t} +   \frac{Q}{C}$ (81)
$\displaystyle f$ $\textstyle =$ $\displaystyle R C \frac{\mbox{d}V_c}{\mbox{d}t} + V_c$ (82)
$\displaystyle \frac{\mbox{d}V_c}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{R C} (f-V_c) ,$ (83)

ottenendo ancora una volta una equazione differenziale analoga alle precenenti.
Soluzione dell'equazione differenziale
$\displaystyle \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \alpha (x_f-x)$ (84)

per `separazione di variabili':
$\displaystyle \frac{\mbox{d}x}{x-x_f}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\alpha \mbox{d}t$ (85)
$\displaystyle \int_{x_0=x(t=0)}^{x(t)}\frac{\mbox{d}x}{x-x_f}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{t=0}^{t} -\alpha \mbox{d}t^\prime$ (86)
$\displaystyle \log{\frac{x(t)-x_f}{x_0-x_f}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\alpha  t$ (87)
$\displaystyle x(t)-x_f$ $\textstyle =$ $\displaystyle (x_0-x_f)   e^{-\alpha t}$ (88)
$\displaystyle x(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_f + (x_0-x_f)  e^{-\alpha t}$ (89)
$\displaystyle x(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_f + (x_0-x_f)  e^{-t/\tau} ,$ (90)

ove $\tau=1/\alpha$, delle dimensioni di un tempo, è la costante di tempo del fenomeno. Quando $t=\tau$, $(x(\tau) - x_f) = (x_0-x_f)/e
\approx 0.37  (x_0-x_f)$.
Applicazione a carica e scarica del condensatore, con $\tau = R C$ e $x=V_c$:
Carica
$x_0=0$, $x_f=f$:
$\displaystyle V_c(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle f + (0-f)  e^{-t/\tau} = f (1- e^{-t/\tau}) .$ (91)

Scarica
: $x_0=V_{c_0}$, $x_f=0$:
$\displaystyle V_c(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 + (V_{c_0}-0)  e^{-t/\tau} = V_{c_0} e^{-t/\tau} .$ (92)


next up previous
Next: Venerdi 14/5, 14:00-16:00 Up: lezioni2html Previous: Mercoledi 12/5, 14:00-16:00
Giulio D'Agostini 2004-06-21