Prontezza

Il calore scambiato nell'unità di tempo da un termometro con il fluido in cui è immerso è proporzionale alla differenza istantanea di temperatura fra termometro e fluido:

$$dQ = \delta\cdot (T_F-T)\cdot dt,$$ (1.10)

dove $T$ rappresenta la temperatura istantanea del termometro e $T_F$ quella del fluido (quest'ultima è supposta costante durante le misure). In consequenza dello scambio di calore il termometro subisce una variazione di temperatura proporzionale al calore scambiato e inversamente proporzionale alla sua capacità termica:

$$dT = \frac{dQ}{c\,\rho\,V} = \frac{dQ}{C} \,,$$ (1.11)

dove $C$ rappresenta la capacità termica del termometro. Combinando la () con la () si trova l'equazione differenziale che descrive l'evoluzione nel tempo della temperatura del termometro:

$$C \frac{dT}{dt} = \delta\cdot (T_F-T),$$ (1.12)

la cui soluzione è:

$$\ln {\frac{T_F-T(t)}{T_F-T_\circ}} = -\frac{t}{\tau},$$ (1.13)

dove si è chiamato $\tau$ il rapporto $\frac{C}{\delta}$. Dalla () segue:

$$T(t) = T_F -(T_F - T_\circ)\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\,,$$ (1.14)

con $T_\circ$ la temperatura del termometro all'istante $t = 0$ di inizio delle misure (che non è necessariamente l'istante di immersione del termometro nel fluido). Il parametro $\tau$ che interviene in andamenti esponenziali è genericamente chiamato costante di tempo del termometro e ha il significato fisico di tempo impiegato affiché la differenza fra il valore della grandezza fisica e il suo valore asintotico si riduca di $1/e$. Nel nostro caso esso rappresenta quindi il tempo che occorre al termometro per ridurre di $1/e$ ( $\approx 37\%$) la differenza di temperatura iniziale rispetto al fluido (supposto di capacità termica infinita). Ponendo $t=\tau$ nella (5) si ottiene infatti:

$$T(\tau)-T_F = \frac{1}{e}(T_\circ-T_F)\, .$$ (1.15)

Tanto minore è $\tau$ quanto è maggiore la prontezza del termometro. La prontezza è quindi proporzionale alla conducibilità termica del sistema termometro-fluido e inversamente proporzionale alla capacità termica del termometro, ovvero al volume del bulbo.