Grandezze e unità di misura

Ricordiamo innanzitutto che per grandezza (misurabile)^1.1 si intende ``un attributo di un fenomeno, di un corpo o di una sostanza che può essere distinto qualitativamente e determinato quantitativamente''. Il termine è utilizzato sia in senso generale (lunghezza, tempo, massa, resistenza elettrica, concentrazione in quantità di materia, etc.) sia in senso particolare (lunghezza di una barretta di acciaio, massa di un pianeta, concentrazione in quantità di materia di etanolo in un campione di vino, etc.). Le grandezze sono dette della stessa natura, o omogenee, se è possibile classificarle l'una rispetto all'altra in ordine crescente o decrescente. Grandezze della stessa natura possono essere raggruppate in categorie di grandezze, ad esempio: lavoro, calore, energia; diametro, spessore, lunghezza d'onda.

Un insieme di grandezze, intese nel senso generale, fra le quali esistono delle relazioni definite costituiscono un sistema di grandezze. In esso si definiscono grandezze di base quelle che sono convenzionalmente accettate come funzionalmente indipendenti le une dalle altre. Ad esempio le grandezze lunghezza, massa e tempo sono prese generalmente come grandezze di base della meccanica. La tabella mostra la lista completa delle sette grandezze di base del Sistema Internazionale (SI).

Tabella: Grandezze di base del Sistema Internazionale.

Grandezza		Dimensione		Unità di base SI
Nome	Simbolo	a)	b)	Nome	Simbolo
lunghezza	l	dim l	L	metro	m
massa	m	dim m	M	chilogrammo	kg
tempo	t	dim t	T	secondo	s
corrente elettrica	I	dim I	I	ampere	A
temp. termodinamica	T	dim T	$\Theta$	kelvin	K
quantità di materia	n	dim n	N	mole	mol
intensità luminosa	I$_v$	dim I$_v$	J	candela	cd

Una grandezza derivata è definita, in un certo sistema, come funzione delle grandezze di base. Ad esempio, nel sistema SI la velocità è una grandezza derivata definita come il rapporto fra lunghezza e tempo.

La dimensione di una grandezza è una espressione che rappresenta una grandezza di un sistema come prodotto di potenze di fattori dati dalle grandezze di base di quel sistema. Ad esempio le grandezze di base della meccanica nel sistema SI sono indicate con L, M e T. Ne segue che le dimensioni della velocità e della forza sono rispettivamente LT$^{-1}$ e LMT$^{-2}$. Un altro modo di scrivere le dimensioni, indicata con a) nella tabella , è mediante il simbolo della grandezza stessa preceduto da ``dim''. Secondo questa convenzione le dimensioni di velocità e forza vanno scritte come: dim v = dim (lt$^{-1}$) e dim F = dim (lmt$^{-2}$). A seconda della convenzione usata la dimensione della generica grandezza $G$ può essere scritta nei due modi:

$$G = (l^\alpha m^\beta t^\gamma I^\delta T^\epsilon n^\zeta I_v^\eta)\,;$$ (1.1)

$$G = ^\alpha ^\beta ^\gamma ^\delta \mbox{\sf$\Theta$} ^\epsilon ^\zeta ^\eta\,.$$ (1.2)

Una grandezza è adimensionale se nell'espressione della dimensione si riducono a zero tutti gli esponenti delle dimensioni delle grandezze di base. Ad esempio, sono grandezze grandezze adimensionali: il coefficiente di dilatazione termica; il coefficiente di attrito; la suscettibilità elettrica; l'umidità relativa; l'angolo solido; l'indice di rifrazione. Con unità (di misura) si intende una particolare quantità, definita e adottata per convenzione, con cui si confrontano altre grandezze delle stessa natura per esprimerle quantitativamente come rapporto rispetto a questa grandezza. Alle unità di misura vengono assegnati per convenzione dei nomi e dei simboli.

Le unità di misura delle grandezze di base e delle grandezze derivate sono chiamate rispettivamente unità (di misura) di base e unità derivate. Le unità di base del sistema SI sono mostrate in tabella . La tabella mostra alcune grandezze derivate del SI che hanno nomi propri.

Tabella: Grandezze derivate del Sistema Internazionale con nomi propri.

Grandezza	Dimensioni	Unità derivate SI
		Nome	Simbolo
			(Relazione)
angolo piano	-	radiante	rad
			( $1\,$   rad$= 1\,$   m/m)
angolo solido	-	steradiante	sr
			( $1\,$   sr$= 1\,$   m$^2/$m$^2$)
frequenza	T$^{-1}$	hertz	Hz
			( $1\,$   Hz$= 1\,$s$^{-1}$)
attività	T$^{-1}$	becquerel	Bq
			( $1\,$   Bq$= 1\,$s$^{-1}$)
forza	MLT$^{-2}$	newton	N
			( $1\,$   N$= 1\,$kg$\cdot$m/s$^2$)
pressione	M$^{-1}$T$^{-2}$	pascal	Pa
			( $1\,$   Pa$= 1\,$N/m$^2$)
energia	ML$^{2}$T$^{-2}$	joule	J
			( $1\,$   J$= 1\,$N$\cdot$m)
			$= 1\,$W$\cdot$s
potenza	ML$^{2}$T$^{-3}$	watt	W
			( $1\,$   W$= 1\,$J/s)
dose equivalente	L$^{2}$T$^{-2}$	sievert	Sv
			( $1\,$   Sv$= 1\,$J/kg)
dose in energia	L$^{2}$T$^{-2}$	gray	Gy
			( $1\,$   Gy$= 1\,$J/kg)
carica elettrica	TI	coulomb	C
			( $1\,$   Gy$= 1\,$A$\cdot$s)
differenza di	ML$^{2}$T$^{-3}$I$^{-1}$	volt	V
potenziale			( $1\,$   V$= 1\,$J/C)
capacità elettrica	ML$^{2}$T$^{-4}$I$^{-2}$	farad	F
			( $1\,$   F$= 1\,$V/C)
resistenza elettrica	ML$^{2}$T$^{-3}$I$^{-2}$	ohm	$\Omega$
			$1\, \Omega = 1\,$V/A)
conduttività	M$^{-1}$L$^{-2}$T$^{3}$I$^{2}$	siemens	S
			( $1\,$   S$= 1\,\Omega^{-1}$)
flusso magnetico	ML$^{2}$T$^{-2}$I$^{-1}$	weber	Wb
			( $1\,$   Wb$= 1\,$V$\cdot$s)
densità di flusso	MT$^{-2}$I$^{-1}$	Tesla	T
magnetico			( $1\,$   T$= 1\,$Wb/m$^2$)
induttanza	ML$^{2}$T$^{-2}$I$^{-2}$	henry	H
			( $1\,$   H$= 1\,$Wb/A)
temper. Celsius	$\Theta$	grado Celsius	$^\circ$C
			( $1\, ^\circ$C$= 1\,$K)
flusso luminoso	J	lumen	lm
			( $1\,$   lm$= 1\,$cd$\cdot$sr)
illuminazione	L$^{-2}$J	lux	lx
			( $1\,$   lx$= 1\,$lm/m$^2$)

L'insieme delle unità di base e delle unità derivate, definite secondo delle regole date per un dato sistema di grandezza, forma un sistema di unità (di misura). Una unità derivata è coerente se essa può essere espressa come prodotto delle potenze delle unità di base con un fattore di proporzionalità unitario. In particolare, se in un sistema di unità di misura tutte le unità sono coerenti il sistema stesso è indicato come sistema coerente. Ad esempio il sistema SI è coerente. Le unità che non appartengono al sistema di unità di misura sono dette fuori sistema. Esempi di unità fuori sistema per il sistema SI sono le unità di tempo giorno, mese, e anno, o l'elettronvolt ( $\approx 1.602\times 10^{-19}$ J). Delle unità di misura sono usati spesso multipli e sottomultipli. I simboli dei multipli e sottomultipli decimali di una unità sono costruiti dai simboli delle unità mediante prefissi (vedi tabella ).

Il valore (di una grandezza) rappresenta l'espressione quantitativa di una grandezza particolare (nel senso introdotto precedentemente). Esso è dato generalmente sotto forma di una unità di misura moltiplicata per un numero, come nei seguenti esempi:

$$0.2384\, ,\ 238.4 \, ,\$$ lunghezza di una barretta

$$0.185 \, ,\ 185 \, ,\$$ tempo di reazione

$$8.75\,$$ tensione di una batteria

$$0.037\, ,\ 37\,$$ quantità di materia di un gas

$$0.331$$ coefficiente di attrito

$$15.41\,^\circ ,\ 288.56\,$$ temperatura di un liquido

Il numero che esprime il rapporto fra il valore dellla grandezza e la sua unità è il valore numerico della grandezza. Nell'esempio precedente il valore numerico della barretta vale 238.4 se si scelgono i millimetri come unità di misura. Come si vede, il valore di una grandezza può essere espresso in più modi. Naturalmente i valori di grandezze adimensionali sono espressi da numeri puri.

Il valore di una grandezza è quindi espresso da

$$G = \{G\}\cdot[G],$$ (1.3)

dove $G$ che rappresenta la grandezza fisica, $[G]$ l'unità di misura e $\{G\}$ il suo valore numerico. Si ricorda a tale proposito che il valore di una grandezza fisica è invariante per cambiamento di unità di misura. Se $G$ è una grandezza fisica e $\{G\}_a$ e $\{G\}_b$ sono i suoi valori numerici quando essa è espressa rispettivamente nelle unità $[G]_a$ e $[G]_b$, la condizione di invarianza può essere scritta:

$$G = \{G\}_a\cdot[G]_a = \{G\}_b\cdot[G]_b\,.$$ (1.4)

Questa relazione permette di effettuare il cambiamento di unità se si conosce il rapporto fra $[G]_a$ e $[G]_b$. Ad esempio, se $a$ e $b$ sono riferite a calorie e a joule, la grandezza quantità di calore scambiato $Q$ può essere espressa come

$$Q = 1.35 = 5.65 \,,$$ (1.5)

in quanto

$$\frac{[G]_b}{[G]_a} = 4.1868 / \,.$$ (1.6)