Problemi

1. Una variabile casuale, definita nell'intervallo [0,4] segue una distribuzione uniforme. Quanto vale la probabilità che su 3 realizzazioni della variabile casuale nessuna sia maggiore di $\pi$?

2. Una variabile casuale, definita fra 0 e 1 ha una densità di probabilità proporzionale al valore della variabile. Trovare la forma della distribuzione, il valore medio e la deviazione standard.

3. Dalla definizione di variabile normale standardizzata $Z=(X-\mu)/\sigma$ e dalle proprietà del valore aspettato e della varianza dimostrare che E$(Z)=0$ e Var$(Z)=1$.

4. Una variabile casuale continua ha la seguente funzione di ripartizione $F(x) = 1/\sqrt{x}$. Sapendo che il valore minimo che la variabile può assumere è 1, quanto vale il valore massimo? Quanto vale il valor medio e la deviazione standard della distribuzione?

5. Risolvere il problema precedente nel caso in cui sia $F(x) = \sqrt{x} + k$.

6. Una variabile casuale segue una distribuzione normale di parametri $\mu=1$ e $\sigma=2$. Calcolare: $P(X < 0)$; $P( -2 < X < -1)$; $P(0 < X < 20)$; $P( 1 \le X \le 3)$; $P( 1 \le X \le 5)$; $P( -5 \le X \le 7)$.

7. Una ditta produce resistori da $100\,\Omega$. Da campionamenti effettuati in periodi diversi e sotto diverse condizioni di lavoro delle macchine e di forniture dei materiali risulta che i valori delle resistenza dei singoli campioni sono centrati intorno al valore nominale con distribuzione gaussiana di deviazione standard $0.20\,\Omega$. Qual'è la percentuale di resistori il cui valore si discosta di più dell'1% dal valore nominale?

8. Calcolare media e deviazione standard di una distribuzione esponenziale mediante la funzione generatrice dei momenti. *** prossimo capitolo ***

9. In un paese il reddito per ogni persona è pari a 10000$ l'anno con una deviazione standard di 3000$. Qual'è la percentuale di persone che hanno un reddito superiore a 30000$?

10. Una variabile è distribuita normalmente intorno al valore medio di 30. Sapendo che la probabilità che la variabile ecceda il valore di 50 è del $5\,\%$, quanto vale la probabilità di avere un valore inferiore a 20?

11. Calcolare media e deviazione standard di una distribuzione esponenziale mediante la funzione generatrice dei momenti.
12. La radioattività dovuta ad un campione di di materiale produce su un opportuno strumento, in grado di rivelare le particelle dovute a ciascun decadimento con il $100\,\%$ di probabilità, 15 conteggi al minuto. Sapendo che il campione contiene $10^{20} atomi$, determinare la vita media del nucleo di tale sostanza. Supponiamo che i protoni e i nucleoni^8.6 abbiano una vita media di 10 miliardi di anni, ovvero dell'ordine di grandezza dell'età dell'Universo. Stimare il valore della radiattività, misurata in conteggi al secondo, emessa da una persona di $70\, Kg$. (Si ricorda che protoni circa la stessa massa, pari a $1.7\cdot 10^{-27} \, Kg$, e che la massa dovuta agli elettroni è trascurabile.).