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pzd100Distribuzione normale bivariata

Una funzione di distribuzione di variabili multiple particolarmente importante per le applicazione è quella in cui tutte le distribuzioni marginali sono normali. Consideriamo per ora il caso di due sole variabili, rimandando nei prossimi paragrafi il caso generale.

La situazione più semplice si verifica se le due variabili casuali sono indipendenti. Nel tale caso la densità congiunta è data semplicemente dal prodotto delle densità marginali. Chiamando $ X$ e $ Y$ le variabili e $ \mu_x$, $ \mu_y$, $ \sigma_x$ e $ \sigma_y$ i parametri delle gaussiane otteniamo

$\displaystyle f(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y}\exp{\left[
-\frac{1}{2}\left( \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}+
\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} \right)
\right]}\,.$  

Il caso in cui le variabili sono correlate è decisamente più complicato. Rinunciamo ad una trattazione rigorosa e cerchiamo di capire la forma della distribuzione ragionando sulla dipendenza della densità condizionata $ f_Y(y\,\vert\,x)$ dai parametri delle gaussiane e dal coefficiente di correlazione $ \rho$ (nel seguito indichiamo $ \rho_{X,Y}$ semplicemente come $ \rho$). Mettendo insieme i vari ingredienti otteniamo:
$\displaystyle f(y\,\vert\,x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}
\exp{\left[
-\frac{\...
...igma_x}
\left(x-\mu_x\right)\right]
\right)^2}
{2\sigma_y^2(1-\rho^2)}
\right]}$  

Utilizzando la formula della densità condizionata si giunge finalmente alla distribuzione congiunta $ f(x,y)$:

$\displaystyle f(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(y\,\vert\,x)f(x)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}
\exp{\left[
-\frac{\...
...}
\left(x-\mu_x\right)\right]
\right)^2}
{2\sigma_y^2(1-\rho^2)}
\right]} \cdot$  
    $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}
\exp{\left[-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}\right]}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}
\exp{\left[-\frac{Q^2}{2}\right]}\,,$ (9.57)

dove con $ Q^2$ si è indicata la forma quadratica che compare nell'argomento dell'esponenziale, che dopo le opportune semplificazioni, ha la seguente forma:

$\displaystyle Q^2=\frac{1}{1-\rho^2} \left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} - 2\...
...{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} \right]$ (9.58)

È facile convincersi che, per definizione, $ Q^2$ è una quantità non negativa, la quale si annulla nel solo punto $ x=\mu_x$ e $ y=\mu_y$, dove ha chiaramente un minimo.

La probabilità congiunta $ f(x,y)$ descritta dalla (9.59) è nota come la normale bivariata, o binormale e la possiamo indicare con $ {\cal N}_2(\mu_x, \sigma_x$, $ \mu_y, \sigma_y, \rho)$.

Si può verificare facilmente che, nel caso di correlazione nulla, si riottiene la densità congiunta ottenuta precedentemente dal prodotto delle due gaussiane.

Figura: Esempio di distribuzione normale bivariata.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/bivar.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}

Figura: Distribuzione normale bivariata: ellissi di equidensità e parametri delle distribuzioni marginali. I valori numerici di $ f(x,y)$ e di $ \theta $ dipendono dai parametri dell'esempio.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/bivar2.eps,clip=}\end{figure}

Terminiamo elencando alcune sue proprietà, alcune delle quali già incontrate, e facendo riferimento alle Figg.  9.5 e  9.6.

La figura  9.5 mostra un esempio di distribuzione bivariata normale di parametri $ \mu_x=1.5$, $ \mu_y=1.5$, $ \sigma_x=1.0$, $ \sigma_y=0.5$ e $ \rho=0.8$. La distribuzione congiunta è rappresentata sia come superficie nello spazio ( 9.5.a), che densità di punti proporzionali alla p.d.f. ( 9.5.d). Le funzioni di densità di probabilità marginali sono mostrate in  9.5.b e  9.5.c. Tre esempi di densità condizionate cono mostrati in  9.5.d e  9.5.f, per valori di $ Y$ pari rispettivamente a 1.25, 1.5 e 1.75. La Fig.  9.5.e mostra infine le curve di equidensità tali che la probabilità congiunta di trovare i valori di $ x$ e di $ y$ al loro interno sia pari al 68 e al $ 95\,\%$. Per confronto sono anche riportati gli intervalli di probabilità al $ 68\,\%$ delle distribuzioni marginali.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02