Prior uniforme in :
in quanto l'integrale è pari a
(la ben nota condizione di normalizzazine della gaussiana).
Figura:
Funzione densità di probabilità del
parametro
della gaussiana, in unità della deviazione standard sui valori
osservati, assumendo
per
un numero di osservazioni pari
3 (curva puntinata),
5 (tratteggiata) e 10 (continua).
|
La forma della funzione è molto asimmetrica per piccoli, mentre
tende ad una gaussiana per
. La figura
11.6
mostra degli esempi. Queste sono le espressioni di moda, valore
atteso e deviazione standard in unità di
Moda |
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(11.82) |
E |
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(11.83) |
DevSt |
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(11.84) |
ove abbiamo designato con ``DevSt'' la deviazione standard di , per
ovvi motivi. I due fattori complicati
e
sono rilevanti soltanto per piccoli valori .
Per
essi tendono a 1 e già per
differiscono dall'unità per meno del 50% (vedi figure
11.7 e 11.8).
Figura:
Fattore fra valore atteso di
e deviazione standard delle osservazioni sperimentali in funzione
del numero di osservazioni. I rombi si riferiscono al caso
di prior uniforme in , le stelle al caso di uniforme in .
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Figura:
Fattore fra incertezza standard su
e
in funzione
del numero di osservazioni. I rombi si riferiscono al caso
di prior uniforme in , le stelle al caso di uniforme in .
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Quindi, per grandi abbiamo i seguenti valori asintotici:
E |
|
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(11.85) |
DevSt |
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(11.86) |
|
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(11.87) |
(Si noti come il limite a normale è, per ora, una congettura basata
sull'osservazione delle curve. Nel paragrafo 11.7.4
vedremo un altro argomento più formale, basato
sulla distribuzione di probabilità di
.)