Combinazione scettica

Nel paragrafo 11.3 abbiamo visto come combinare risultati parziali indipendenti in un risultato globale. Consideriamo ora il caso illustrato in figura 11.11 in cui le masse di probabilità indicate da ciascuna inferenza (curve puntinate)

Figura: Esempio di combinazione di risultati parziali in ``palese'' (vedi testo) disaccordo fra di loro. La curva continua rappresenta l'inferenza globale ottenuta dalla ``formula standard'' di combinazione. Quella tratteggiata tiene conto del forte dubbio che ci sia qualche effetto spurio fra i diversi risultati.

non si sovrappongono^11.9. Applicando le formule di combinazione (11.12) e ((11.13) si ottiene il risultato indicato con la curva continua di figura 11.11. A questo punto ci sono ottime ragioni per rimanere perplessi: il risultato finale concentra la probabilità in una zona molto più ristretta del singolo risultato parziale, ma non indicata da nessuno di quei risultati, non tenendo conto dell'enorme variabilità da un risultato all'altro. Cerchiamo di capire cosa sta succedendo, elencando le ipotesi alla base della ``combinazione standard'' data dalle (11.12) e ((11.13).

1. Tutte le misure si riferiscono alla stessa grandezza (``stiamo misurando tutti la stessa cosa'').
2. La verosimiglianza di ciascuna misura è descritta da una gaussiana.
3. Il parametro $\sigma$ della gaussiana è stato stimato correttamente.
4. I risultati sono indipendenti.
5. Infine, la conoscenza iniziale di $\mu$ è supposta essere sufficientemente vaga rispetto a quanto forniscono le singole verosimiglianze.

Se crediamo in modo assoluto a tutte queste ipotesi, non possiamo far altro che accettare il risultato ottenuto dalla combinazione standard, in quanto, trattandosi di fenomeni aleatori, l'osservazione di questa configurazione di risultati parziali non è incompatibile con con il modello (come non è incompatibile con le leggi della probabilità che una moneta dia testa 100 volte di seguito, o che un processo poissoniano di $\lambda=1$ produca l'osservazione $x=1000$. Nonostante questi richiami alle ``leggi del caso'', qualsiasi persona esperta è disposta a scommettere che c'e' qualcosa che non va nei quattro risultati di figura 11.11. E ha ragione. Il motivo è che un ricercatore esperto ha sviluppato delle fortissime prior^11.10 sul comportamento di strumentazioni, misure ...e colleghi. Sulla base di queste prior, sa che gli strumenti possono essere non calibrati, che le tecniche sperimentali possono essere inadeguate allo misura particolare, che i colleghi si possono sbagliare, e così via. Alla luce di queste considerazioni, è praticamente sicuro che che qualcosa sia andata male nelle misure, piuttosto che attribuire la dispersione di risultati al puro caso.

Dopo queste riflessioni, si tratta di rimodellizzare il problema, cercando di modificare una o più delle ipotesi alla base della combinazione normale. Come si capisce, il problema non ha una soluzione unica. Si tratta soltanto di scegliere i modelli che sembrano più ragionevoli e confrontarne i risultati. La sola ipotesi tranquilla è quella sulla prior uniforme su $\mu$. In questo testo non intendiamo affrontare il caso più generale^11.11, ma ci limitiamo a fornire delle indicazioni su caso illustrato nella figura 11.11 di risultati ``molto incompatibili'' fra di loro. Ciascuna delle ipotesi 1-3 possono essere soggette a critica. Un modo di schematizzare il problema è quello di concentrarsi sulla 1 e 3. Il ricercatore esperto dirà infatti che ``non stiamo misurando la stessa cosa'', ovvero ``ci siamo dimenticati di effetti sistematici, diversi in entità in ciascun risultato parziale'' (il che è più o meno la stessa cosa), ovvero punta il dito sull'ipotesi 1:

$$\mu_i = \mu + \eta_i\,,$$ (11.107)

avendo indicato con $\mu$ il valore ideale che tutti ``volevano misurare'', $\eta_i$ l'errore sistematico di entità ignota, e $\mu_i$ il valore vero che essi ``hanno in fatti determinato''.

Se sapessimo, mediante opportune calibrazioni, quanto vale $\eta_i$ per ciascun laboratorio, il nostro problema è risolto. Ma se siamo in questa situazione è perché non non riusciamo a intercalibrare i laboratori e, inoltre, non abbiamo alcun motivo di preferire uno di essi. A questo punto non possiamo fare altro che considerare $\eta_i$ come un errore aleatorio e stimarne la distribuzione dalla dispersione dei dati sperimentali, come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, ritenendo il modello gaussiano per semplicità. Il caso numeri co in esame si presta particolarmente bene per quasta modellizzazione, in quanto possiamo ignorare completamente le singole deviazioni standard e concentrarci soltanto sui valori centrali. Il risultato è di **** ed è mostrato nella curva tratteggiata. Come si vede, tale curva descrive abbastanza bene la nostra incertezza, in quanto il valore vero si può trovare con alta probabilità fra il risultato minimo e quello massimo.

Discutere in footnote il caso intermedio: vedi mail a Press.