Relazione fra probabilità condizionata e congiunta

Abbiamo già parlato del fatto che l'evento condizionato sia sostanzialmente lo stesso evento fisico del prodotto logico con il condizionante, ma con una diversa condizione di incertezza in quanto subentra l'ipotesi che il condizionante sia vero. La condizione aggiuntiva (rispetto all'ambiente $\Omega$) fa sì che in genere la probabilità di $E \vert H$ sia maggiore di quella di $E\cap H$ ogni qual volta che $H\subset \Omega$ (``sottoinsieme proprio'') e ovviamente $P(E\cap H) \ne 0$. In effetti, ipotizzando che il ``fattore di amplificazione'' sia proprio $1/P(H)$ - se è diverso da zero - si riottengono facilmente i casi limite di $H=\Omega$ o $E=H$. In effetti in tutti i casi vale la relazione

$$P(E\cap H) = P(H)\cdot P(E\,\vert\,H)\,,$$ (4.16)

da cui

$$P(E\,\vert\,H) = \frac{P(E\cap H)}{P(H)}\ \ \ \ \ \left(P(H)\ne 0 \right)\,.$$ (4.17)

Ovviamente i ruoli di $E$ e di $H$ possono essere scambiati e la (4.16) può essere scritta più in generale

$$P(E\cap H) = P(H)\cdot P(E\,\vert\,H) = P(E)\cdot P(H\,\vert\,E)\,,$$ (4.18)

Queste relazioni sono molto importanti per le applicazioni, ma necessitano delle delucidazioni sul loro esatto significato, al fine di capire quando è lecito utilizzarle. Soprattutto può sorgere un po' di confusione in quanto a volte si incontra la (4.17) indicata come definizione della probabilità condizionata, altre volte si incontra la (4.16) come teorema delle probabilità composte. Vediamo come le formule appaiono nei diversi approcci:

• nella valutazione combinatoria e frequentista la (4.16) è una diretta consequenza della definizione. Ad esempio, se consideriamo la valutazione combinatoria, indicando con $\char93 \Omega$ il numero^4.4 dei casi totali di $\Omega$ (la sua numerosità), $\char93 H$ il numero di casi favorevoli ad $H$ e $\char93 EH$ quelli favorevoli a $E$ e $H$ simultaneamente si ottiene (ricordandosi della (2.6)):

  $$P(E\,\vert\,H) = \frac{\char93 EH}{\char93 H} = \frac{ \frac{\cha... ...r93 \Omega} } { \frac{\char93 H}{\char93 \Omega} } = \frac{P(E\cap H)}{P(H)}\,.$$ (4.19)

  
  
  Una analoga dimostrazione si ottiene per la valutazione delle probabilità dalle frequenze relative.
• Anche nell'impostazione soggettivista la (4.16) è un teorema, essendo essa condizione necessaria e sufficiente per una scommessa coerente sull'evento $P(E\,\vert\,H)$. La dimostrazione è molto semplice. Si immagini di fare una scommessa coerente per vincere un importo unitario sull'evento condizionato $E\,\vert\,H$ (vedi paragrafo 4.4): si paga (con certezza!) la cifra $P(E\,\vert\,H)$ per vincere 1 se si verificano sia $E$ che $H$ (con probabilità $P(E\cap H))$; nel caso che $H$ non si verifichi (con probabilità $P(\overline{H})$) la scommessa viene invalidata e si recupera la puntata $P(E\,\vert\,H)$. Quindi la previsione di guadagno è:
  

  $$ (G) = 1\cdot (-P(E\,\vert\,H)) + P(E\cap H)\cdot 1 + P(\overline{H})\cdot P(E\,\vert\,H)$$

  $$= -P(E\,\vert\,H) + P(E\cap H) + (1-P(H))\cdot P(E\,\vert\,H)$$

  $$= P(E\cap H) - P(E\,\vert\,H)\cdot P(H)\,.$$ (4.20)

  
  
  Essendo la scommessa coerente e quindi nulla la previsione di guadagno, segue la (4.16).
• Soltanto nell'approccio assiomatico la (4.17) è presentata come definizione della probabilità condizionata (anche se poi a volte la (4.18) viene chiamata nello stesso testo ``teorema''...). Ora se questa formula fosse veramente la definizione della probabilità condizionata sarebbe necessario valutare ogni volta $P(H)$ e $P(E\cap H)$ per poi ottenere $P(E\,\vert\,H)$. Questo punto di vista è chiaramente non accettabile e fortunatamente non è seguito in pratica (nemmeno dalla maggior parte di coloro che pensano che la (4.17) sia una definizione!).

  Si pensi a dei fisici che lavorano al progetto di un nuovo rivelatore per la nuova generazione di acceleratori e siano interessati alla probabilità che un certo algoritmo riesca a identificare un dato decadimento di una nuova particella elementare, ipotizzando una certa massa, certi modi di decadimento, dei parametri del rivelatore, etc. Non è assolutamente pensabile valutare questa probabilità condizionata dalla probabilità dei condizionanti (che la particella esista sul serio, che abbia quella massa, etc) e dalla congiunta dei condizionanti con l'evento ``il decadimento è riconosciuto dall'algoritmo''). In pratica si fissano i valori dei condizionanti nei programmi di simulazione e si valutano le probabilità dalle frequenze.

  Se questi esempi possono sembrare un po' particolari, si provi a calcolare secondo la (4.17) la probabilità che, avendo estratto dalla tombola 40 numeri senza che sia uscito il ``47'', questo esca al 41$^{mo}$ tentativo (la risposta ``al volo'' è 1/50).

Nella maggior parte dei problemi pratici e scientifici è molto più pratico (e in molti casi il solo metodo praticabile) assegnare direttamente $P(E\,\vert\,H)$ (ad esempio come descritto nel paragrafo 2.6) ed eventualmente da questa, se $P(H)$ è diverso da zero, calcolare $P(E\cap H)$ mediante la (4.16).

Facciamo un esempio banale ma che mostra a quali difficoltà si può andare incontro prendendo alla lettera la (4.17). Si consideri di lanciare quattro volte una moneta regolare e di voler calcolare ``la probabilità che al quarto lancio sia uscita Testa se anche al secondo era uscita Testa". Chiaramente la risposta diretta di 1/2 è quella corretta. La si confronti con il seguente procedimento:

-

ci sono $2^4=16$ casi possibili, dei quali $2^3=8$ contengono Testa al $2^o$ colpo e $2^2=4$ contengono Testa congiuntamente al $2^o$ e al $4^0$;

-

quindi $P(T_2)=8/16=1/2$, $P(T_2\cap T_4)=4/16=1/4$, da cui

$$P(T_4\,\vert\,T_2)= \frac{P(T_2\cap T_4)}{P(T_2)}= \frac{1/4}{1/2}= \frac{1}{2}\,.$$