Problemi

1. Dati i eventi $A$, $B$ e $C$, scrivere l'espressione dei seguenti eventi:
   1. $E_1$ = ``si verifica soltanto $A$'';
   2. $E_2$ = ``si verificano sia $A$ che $B$ che $C$'';
   3. $E_3$ = ``non si verifica né $A$, né $B$, né $C$'';
   4. $E_4$ = ``si verifica almeno uno degli eventi'';
   5. $E_5$ = ``si verificano al più due eventi'';
   6. $E_6$ = ``si verificano $A$ e $B$, indipendentemente dall'esito di $C$'';
   7. $E_7$ = ``si verifica $B$ indipendentemente dall'esito degli altri'';
   8. $E_8$ = ``si verifica $A$, ma non $B$, indipendentemente dall'esito di $C$'';
   9. $E_9$ = ``si verificano tutti o (``OR'') nessuno degli eventi''
   10. $E_{10}$ = ``si verifica $A$ indipendentemente dagli altri due, o (``OR'') si verifica uno degli altri due''

2. Consideriamo i seguenti eventi: $A =$ ``una macchina è della marca X''; $B =$ ``una macchina è bianca''. Sapendo che le probabilità di $A$ vale 1/3, la probabilità di $B$ vale 1/2 e che il $50\,\%$ delle macchine X sono bianche:
   1. calcolare le probabilità dei seguenti eventi: $P(\overline A)$; $P(\overline B)$; $P(A\cap B)$; $P(A \cup B)$; $P(\overline{B}\vert A)$; $P(\overline A \cup B)$; $P(A \cup \overline B)$; $P(\overline A \cap \overline B)$; $P(\overline A \cup \overline B)$; $P(\overline A \cap B)$; $P(A \cap \overline B)$;
   2. esprimere a parole gli eventi di cui è richiesto il calcolo della probabilità al punto a);
   3. supponendo che il numero di macchine sia talmente elevato per cui la probabilità di osservare un certo tipo di macchina non sia influenzato dall'osservazione precedente, calcolare: la probabilità di osservare due volte consecutive una macchina bianca; la probabilità che dopo una macchina X segua una macchina non bianca;
3. Una persona crede che $P(E)=0.7$ e $P(\overline{E})=0.4$. È possibile tale assegnazione di probabilità? Si immagini che, con tale convinzione, egli faccia due scommesse legate a tale evento nelle quali punta 7000 lire per ricevere 10000 se l'evento si verifica e punta 4000 lire per ricevere 10000 se l'evento non si verifica. Fareste mai simili scommesse?
4. Un allibratore improvvisato ritiene che $P(E)=0.5$ e $P(\overline{E})=0.4$. Pertanto accetta una scommessa di 5000 per pagarne 10000 se l'evento si verifica, e contemporaneamente una scommessa di 4000 per pagarne 10000 se l'evento non si verifica. Sta facendo un buon affare?
5. Consideriamo due eventi arbitrari $E_1$ e $E_2$. Una persona attribuisce ad essi $P(E_1) = 0.4$, $P(E_2) = 0.5$ e $P(E_1\cup E_2) = 0.6$. Le valutazioni sono coerenti?
6. Una persona ritiene che $P(A)=0.6$, $P(B)=0.7$. È possibile? Quanto deve essere il valore minimo della probabilità del prodotto logico dei due eventi?
7. Quanto vale la probabilità che, estraendo da un mazzo di carte italiane una carta, questa sia una coppe o una figura?
8. Definiti gli eventi $A$ e $B$, una persona valuta $P(A)=1/2$, $P(B)=1/16$ e $P(A\cap B) = 1/4$. Verificare se l'assegnazione delle probabilità è coerente.
9. Una persona si dichiara convinta che una squadra di calcio ha una probabilità dell' 80% di passare in vantaggio al primo tempo e di vincere poi l'incontro. Successivamente afferma che la probabilità che la squadra passi in vantaggio al primo tempo è del 50%? Sono coerenti le sue affermazioni?
10. Un'urna contiene 4 palline nere e 3 rosse. Si estraggono a caso 3 palline senza rimetterle nell'urna. Quanto vale la probabilità che rispettivamente nessuna, una, due e tre palline siano rosse?

11. Rispondere alle stesse domande dell'esercizio precedente nel caso che le palline vengano reintrodotte nell'urna.

12. Un'urna contiene una pallina bianca, una rossa e una nera. Una seconda urna ne contiene una bianca, una rossa, una nera e una gialla. Si estrare una pallina da ciascuna delle urne. Identifichiamo l'eventi con l'iniziale del colore e un indice che vale 1 o due a seconda dell'urna. Determinare la probabilità dei seguenti eventi:
    1. $B_1$;
    2. $R_2$;
    3. $A=B_1\cap G$;
    4. $E_1 = B_1 \cup R_1$;
    5. $F_1 = B_1 \cup N_1$
    6. $E_2 = B_2 \cup R_2$;
    7. $F_2 = B_2 \cup N_2$;
    8. $H = B_2 \cup G$.
    Verificare inoltre se sono fra di loro indipendenti:
    1. $E_1$ e $F_1$;
    2. $E_2$ e $F_2$;
    3. $E_2$ e $H$;
    4. $E_2$, $F_2$ e $H$.
13. Roulette russa: ogni giocatore ruota a caso il tamburo di una pistola e poi si spara. Qual'è la probabilità di sopravvivere dopo $n$ prove, se ogni volta si fa ruotare il tamburo? (La pistola ha sei colpi)
14. Variante (col morto) della roulette russa. Sei giocatori decidono di ruotare a caso una sola volta il tamburo e di provare uno dopo l'altro. Quale dei giocatori ha maggiore probabilità di sopravvivere?
15. È più probabile che esca un `sei'' su 4 lanci di un dado o un ``doppio sei'' su 24 lanci di due dadi? (Questo è uno dei problemi classici della probabilità proposto dal Cavalier de Méré a Pascal.)
16. Quante volte bisogna lanciare un dado per essere sicuri al 99% che esca una certa faccia?
17. In relazione al problema precedente: quanto vale la probabilità che la faccia prescelta si verifichi al venticinquesimo lancio se non si è verificato nei precedenti ventiquattro? Dare sia la risposta intuitiva che quella che si ottiene valutando
    $$P(E_{25}\,\vert\,\overline{E_1\cap\cdots \cap E_{24}})\,.$$

18. Ai tre eventi mutualmente incompatibili $E_1$, $E_2$ ed $E_3$ vengono assegnate probabilità $P(E_1)$, $P(E_2)$ e $P(E_3)$ (ad esempio, rispettivamente 10, 20 e 30%). Mostrare come la probabilità di ciascuno degli eventi, subordinata al verificarsi di uno dei tre, è pari a $P(E_i)/\sum_i P(E_i)$.
19. Tre amici ($A$ntonio, $B$erto e $C$arlo) scommettono sull'uscita del numero 51 sulla ruota di Venezia. I termini della scommessa sono i seguenti: se il numero esce alla prima settimana di attesa vince $A$, se esce alla seconda settimana vince $B$, se alla terza vince $C$. Se il numero non esce entro le prime tre settimane la scommessa viene invalidata. Chi ha maggiore probabilità di vincere la scommessa? Quanto devono puntare $B$ e $C$ se $A$ punta $10^\cdot000$ lire, affinché la scommessa sia equa?
20. Un quotidiano^4.6 pubblica i pronostici per il totocalcio riportati nella seguente tabella, espressi in probabilità (in %) dei diversi segni (per curiosità è riportata anche la schedina vincente). Il giornalista si era basato, apparentemente, su sole considerazioni tecniche^4.7.
    
    
    

    	1	X	2	Ris.
    1	20	40	40	1
    2	30	25	45	1
    3	40	25	35	X
    4	45	20	35	1
    5	50	20	30	1
    6	45	35	20	X
    7	40	35	25	2
    8	60	30	10	1
    9	35	40	25	1
    10	30	25	45	X
    11	35	40	25	2
    12	35	30	35	2
    13	45	35	20	X

    
    
    
    Valutare la probabilità della(e) colonna(e) ritenuta(e) più probabile(i) e meno probabile(i). Confrontare con quanto si otterrebbe se tutti i segni avessero la stessa probabilità. È più probabile la colonna con tutti 1 o la colonna ``12X12X12X12X1''?
21. Ammettiamo che due amici ($A$ e $B$) concordino con i pronostici del problema precedente e vogliano fare la seguente scommessa: $A$ punta su tutti segni 1 e $B$ punta una sequenza alternata di 1 e X, a partire da 1. Se non si verifica nessuno dei due eventi la scommessa è invalidata. Quanto deve puntare ciascuno affinché la scommessa sia equa?
22. In un cassetto sono riposti disordinatamente 10 calzini bianchi, 10 rossi e 10 neri. Quanto vale la probabilità che, alzandosi la mattina al buio e prendendo due calzini a caso, se ne estraggano due dello stesso colore? E se se ne prendono 3? Quanti calzini bisogna prendere per avere la certezza che fra di essi ve ne siano due dello stesso colore?
    Quanto vale invece la probabilità che estraendo 4 calzini ce ne siano almeno due del colore del primo calzino estratto? Dopo quanti calzini si ha la certezza di avere almeno due calzini dello stesso colore del primo estratto?
23. Qual'è la probabilità che giocando a tressette (gioco italiano da 40 carte) un giocatore non riceva nemmeno un ``pezzo''? (A questo gioco si chiamano pezzi l'Asso, il Due e il Tre). Qual'è la probabilità che questo capiti ad almeno due giocatori? E a tre?
24. Riprendiamo il problema 4 del capitolo 1 delle due scatole di cui una contiene 8 palline bianche e 2 nere e l'altra 2 bianche e 8 nere. Si estrae una pallina da una scatola scelta a caso e, senza guardarla, la si ripone nell'altra scatola. Successivamente si estrae una pallina da quest'ultima scatola. Calcolare la probabilità che la pallina sia bianca facendo i conti dettagliati.
25. In una razza di cani il gene $N$ che determina il mantello nero domina su quello responsabile del mantello rosso (gene $n$). Una cagna nera dal genotipo eterozigote ($N$, $n$) viene incrociata con un maschio nero avente lo stesso genotipo. Quanto vale la probabilità che su 5 cuccioli non ce ne sia nemmeno uno rosso? (Trascurare la possibilità di gemelli monoovulari.)
26. Una persona fa il seguente ragionamento per calcolare la probabilità che ci sia vita animale su Marte (la storiella è antecedente le missiomi spaziali): siccome non so niente, la probabilità che ci siano i felini è del 50%; ugualmente c'è il 50% di probabilità che ci siano rettili; e così via. Ne segue che considerando $n$ specie animali, la probabilità che non ce ne sia nessuna è pari a $0.5^n$, da cui segue che $P($vita$)=1-0.5^n$. Quindi la probabilità di vita tende a 1 pur di considerare un numero se il ragionamento viene esteso a molte specie specie. Questa amenità viene presentata da taluni come un paradosso derivante dall'uso della probabilità soggettiva. Dove stanno gli errori di ragionamento?
27. Una persona ritiene che la probabilità che una squadra vinca un'incontro di calcio sia dell'80%, mentre la probabilità che essa termini il primo tempo in vantaggio sia del 60%. Inoltre valuta nel 90% la probabilità che la squadra vinca l'incontro qualora cominci in vantaggio il secondo tempo. Quanto vale la probabilità che essa vinca l'incontro pur non essendo in vantaggio al primo tempo?
28. Riferendosi al labirinto di figura 4.4: quanto vale la probabilità di arrivare al tesoro e uscire vivi?
29. Consideriamo il problema 33 del capitolo 2. Quanto vale la probabilità che entrambe le palline siano dello stesso colore se riteniamo che la procedura di preparazione sia al 70% la prima descritta nella soluzione di tale problema e al 30% la seconda?
30. Riprendiamo il problema 25 del capitolo 2: si immagini che che il concorrente non si fidi del presentatore e pensi che possa aver bluffato. È ancora conveniente cambiare scatola? Ad esempio quanto vale la probabilità che il premio sia nell'altra scatola se crede al 50% che il presentatore possa aver bluffato?
31. Quanto vale la probabilità che il secondo estratto al lotto sia il 25? (Si consiglia di usare, anche se non è strettamente necessario, la legge delle alternative).
32. Quanto vale la probabilità che il terzo estratto sia il 16, nell'ipotesi che il secondo estratto sia il 47? E se si venisse a sapere anche che il primo estratto era il 58?
33. Ancora sui problemi 24 e 25 del capitolo 2: Risolvere i problemi in modo più formale usando la legge delle alternative.