Probabilità e Incertezza di Misura
lezioni per il Dottorato di Ricerca in Fisica
(G. D'Agostini)

Orario delle lezioni: Lunedi e Mercoledi ore 17:00-19:00, Aula 2

Inizio: 27 febbraio 2006

Il corso sarà di 40 ore

Lezioni

Lezione 1 (27/2/06)
Introduzione: intento del corso e programma di massima.
'Task of the physicist': osservazioni -> ipotesi => incertezza.
Sorgenti di incertezza secondo la Guida ISO (il 'decalogo'). Trattazione usuali di incertezze: 'errori statistici' -> intervalli di confidenza; 'errori sistematici' -> ? -> regole ad hoc.
Rassegna critica di alcune conoscenze standard ('Fisichetta'): concetto e propagazione di `errori massimi'; semidispersione massima; uso della propagazione di `errori statistici'; regola della mezza divisione (errore di lettura? errore sistematico?); barre di errore calcolate dalle sole osservazioni; rette di massima e minima pendenza; significato di $\displaystyle \mu$ = $\displaystyle \overline{x}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$   (oppure $\displaystyle \mu$ = $\displaystyle \overline{x}\pm \sigma$ ?).
Bibliografia
Lezione 2 (1/3/06)
Conclusioni su inadeguadezza errori massimi e difficoltà di uso degli 'errori statistici' nel quadro della statistica 'convenzionale' (frequentista). Discussione sul significato di $\displaystyle \mu$ = $\displaystyle \overline{x}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$  : inversione intuitiva della probabilità e metafora cane-cacciatore.
Test di ipotesi, loro significato(?) e fraintendimento: Probabilità delle ipotesi Vs probabilità della variabile di test (-> significatività statistica). Esempi accademici (possibile errore dello studente e scherzo alla rivista scientifica) e di interesse publico (test dell'AIDS).
Dalle cause agli effetti ("the essential problem of the experimental method ", Poincaé): inferenza e incertezza. Probabilità degli effetti Vs probabilità delle cause (e dei valori veri). Esempio guida: problema delle 6 scatole: che scatola ho scelto? che pallina uscirà cosa succede dopo la prima estrazione (con reimmissione)? dov'è la probabilità? En passant: paradosso di Ellsberg (scelta fra scatola con 50 palline bianche e 50 nere e scatola con proporzione ignota di bianche e nere) e decisioni incoerenti.
Approccio falsificazionista e sua implementazione pratica mediante i test di ipotesi. Significato ed errata interpretazione dei p-value, con esempi di annunci di false scoperte dovuti a banali errori di logica (es `eventi di HERA', 'Higgs a LEP', etc.).
Bibliografia
Lezione 3 (6/3/06)
Complemento rassegna critica (dalle lezioni al CERN, febbraio 2005). Cosa si intende per statistica: st. descrittiva; teoria della probabilità; statistica inferenziale. Overview di cose già incontrate nella lezione scorsa. Inoltre: esempio di Super Kamiokande sull'approccio 'creativo' alla statistica.
Revisione della logica dell'incerto secondo l'approccio probabilistico: ritorno al passato ("Laplace & Co."). Approccio maieutico al concetto di probabilità, con valutazione secondo deversi ragionamenti. Paradosso delle due buste. Probabilità secondo Hume. Impossibilità di valutare f(μ|x) mediante puri ragionamenti di simmetria o mediante frequenze: -> inversione di probabilità. Cos'è la probabilità? Definizioni combinatoria, frequentista e soggettiva. Circolarità delle definizioni combinatorie e frequentiste. Probabilità come grado di fiducia: schema di de Finetti su Enciclopedia Einaudi.
Bibliografia
Lezione 4 (15/3/06)
Probabilità condizionata: concetto. Significato di "oggettivo". Problemi delle tre scatole (o carte). Probabilità secondo Scroedinger (1947). Dipendenza della probabilità dallo stato di informazione. Differenza fra concetto di probabilità e sue regole di valutazione. Ruolo unificatore della probabilità Regole di base della probabilità ("assiomi di Kolmogorov" + "formula della probabilità condizionate") ottenute da: scommessa coerente (de Finetti-Ramsey); consistenza logica (Cox-Jaynes); calibrazione su eventi sui quali \`e possibile usare argomenti di simmetria (Lindley).
Confidenza espressa in termini di probabilità legata alla scommessa confrontata con i cosidetti "upper/lower" confidence limits: massa di saturno di Laplace e limite inferiore sulla massa dell'Higgs a LEP.
Ruolo ipotetico della scommessa. Distinzione fra soggettività e arbitrarietà. Recupero della regola di valutazione combinatoria. Probabilità e frequenza. Le tre regole di base della probabilità ricavate dalla condizione di coerenza. Confronto fra i diversi approcci alla probabilità
Bibliografia
Lezione 5 (20/3/06)
Discussione su altre possibili obiezioni. In particolare: non arbitrarietà di affermazioni probabilistiche basate sulla coerenza e arbitrarietà di metodi convenzionali; grado di fiducia (cosa si crede) diverso da grado di convenienza (cosa piacerebbe accadesse) e da pura immaginazione; "oggettivià" e uso di "credenze" in fisica; "probabilità fisica". Le diverse faccie della probabilità: belief <--> chance (or propensity): Lewis' "Principal Principle".
Ruolo del calcolo combinatorio nella teoria della probabilità. Eventi, proposizioni e insiemi. Proprietà delle operazioni fra eventi/proposizioni e insiemi. Partizione finita e decomposizione della probabilità. Concetto di evento condizionato e significato della "formula della probabilità condizionata". Proprietà principali del calcolo di probabilitaà di eventi/proposizioni. Partizione finita e decomposizione della probabilità (legge delle alternative o formula di disintegrazione, o anche "delle probabilità totali). Costituenti. Incompatibilità, indipendenza logica e indipendenza stocastica.
Bibliografia
Lezione 6 (22/3/06)
[Parentesi in anticipo sul programma: commenti su articolo su Δms di D0, ovvero esempio della metafora dell'indigeno che ribattezza l'agnello in pesce ("data una curva di -Log(Likelihood), 'dicesi' intervallo di fiducia...")]
Numeri aleatori discreti e funzioni di probabilità. Esempi di costruzione di funzioni di variabili casuali dalle regole di base del calcolo delle probabilità. Funzione cumulativa.
Cenni sui metodi di Monte Carlo ('branching' elementari, 'hit/miss' e inversione della cumulativa).
Processo di Bernoulli, distribuzione geometrica e binomiale.
Sintesi probabilistiche: valore atteso, moda, mediana, varianza, deviazione standard. Analogie meccaniche (baricentro e momento di inerzia).
Disuguaglianze di Markov e di Cebicev. Distribuzioni di probabilità e distribuzioni statistiche.
Bibliografia
Lezione 7 (27/3/06)
Nota su distribuzioni statistiche: 'sigma' con n o con (n-1)?
Entropia come misura di incertezza.
Distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Distribuzione esponenziale.
Distribuzioni di probabilità di variabili continue: funzione densità di probabilità, cumulativa, calcolo di valore atteso e varianza, etc.
Distribuzione uniforme, triangolare e di Gauss. Concetto di log-concavità.
Schema riassuntivo delle varie distribuzioni e dei loro 'imparentamenti'.
Distribuzioni di più variabili. Funzioni congiunta, marginale e condizionata. Calcolo di valore atteso e varianza. Definizione di covarianza e di coefficiente di correlazione.
Bibliografia
Lezione 8 (29/3/06)
Significato e proprietà di covarianza e coefficiente di correlazione. Distribuzione normale bivariata. Significato di ρ in una distribuzione normale bivariata e suo uso pratico. Distribuzione normale multivariata. Distribuzione multinomiale.
Propagazione delle incertezze: problema generale e sottocasi più più o meno trattabili.
Caso di combinazione lineare di variabili.
Teorema del limite centrale e sue applicazioni: distribuzione della media aritmetica; approssimazione gaussiana di binomiale e poissoniana. Generatore di numeri casuali gaussiano. Valore atteso del tempo di attesa di k successi in un processo di Poisson. Distribuzione degli errori gaussiani.
"Leggi dei grandi numeri: 'tendenza' della media aritmetica al valore atteso e della frequenza relativa alla probabilità (Teorema di Bernoulli): significato e implicazioni (e fraintendimenti!).
Bibliografia
Lezione 9 (3/4/06)
Processo di Bernoulli e marcia a caso ('random walk'). Catena di Markov (solo concetto). Rovina del giocatore, pallinometro, moto browniano ed errori di misura. Moto browniano nello spazio delle velocità delle molecole: distribuzione di Maxwell delle velocità.
Distribuzione di Rayleigh e metodo per generare coppie di numeri casuali gaussiani. Stima con metodo di MC di π.
Ancora sulla combinazione lineare di variabili casuali. Correlazione fra diverse combinazioni lineari.
Linearizzazione (con caveat). Coefficienti di sensibilità. Forme monomie e propagazione delle incertezze percentuali. Trasformazione della matrice di covarianza.
Soluzione generale del problema di propagazione di incertezze ('trasformazione di variabili'): caso discreto e continuo; interpretazione montecarlistica delle formule generali.
Cenno su (esistenza di) funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti.
Bibliografia
Lezione 10 (5/4/06)
Introduzione al linguaggio R, con ripasso su distribuzione di probabilità e propagazione di incertezze, più introduzione a questioni pratiche di simulazione con metodi di Monte Carlo.
Bibliografia
Lezione 11 (10/4/06)
Propagazione di incertezze. Caso di pdf non gaussiane e, in generale, non simmetriche e di propagazioni non lineari.
Note sui MC: 'enorme' pdf congiunta, seguita da integrale sulle quantità irrilevanti..
Aggiornamento delle probabilità e teorema di Bayes. Esempio delle sei scatole.
Ragionamenti 'bayesiani' intuitivi ("chi è al telefono?") e formalizzati ("il vecchio amico sospetto baro"). 'Recupero' del falsificazionismo come caso limite e suo superamento probabilistico. Accenno a probabilità e decisione.
Bibliografia
Lezione 12 (12/4/06)
Problema del test dell'AIDS e dell'identificazione di particelle. Rapporto segnale rumore, selettività dell'analisi e rumorosità del campione. 'Odd ratios' e fattore di Bayes.
Ancora sul problema delle sei scatole: probabilità in funzione del numero di estrazione. Inferenza sequenziale dalle informazioni dettagliate o dalla conoscenza del numero di estrazione e numero di palline bianche. Variazione sul tema: diversa distribuzione iniziale. Sull'interpretazione della probabilità del colore della prossima pallina: né casi favorevoli/casi possibili né limite di frequenza (ed in particolare non misurabilità). Diverso significato di P(E1 | estrazioni precedenti) e P(E1 | Hj): è la frequenza di questi ultimi che 'tende' a 0, 0,2, 0.4, 0.6, 0.8 o 1.
Confronto soluzione bayesian e soluzione frequentista: probabilità di E1 Vs probabilità delle ipotesi.
Probabilità delle ipotesi Vs p-values. Interpretazione errata dei p-values e motivazione del perché i test frequentisti "spesso funzionano" (per motivi esterni al formalismo dei test di ipotesi). Controesempio.
Inferenza probabilistica (`bayesiana') applicata a numeri incerti discreti (es. parametri discreti di distribuzione geometrica). Ragionamento probabilistico vs metodi ad hoc, basati sui p-values o sulla lontananza dal valore atteso.
Inferenza parametrica. Inferenza di una proporzione, interpretata come parametro p di un processo di Bernoulli: soluzioni (coincidenti) assumendo un modello geometrico o un modello binomiale per descrivere il dato empirico. Principio di verosimiglianza (rispettato automaticamente dall'inferenza bayesiana).
Studio sistematico dell'inferenza del parametro p del modello binomiale: f(p | x, n) ipotizzando prior uniforme. Valore atteso e varianza. Significato di E[p]. Formula ricorsiva di Laplace. Limite per grandi numeri (sia di successi che di insuccessi): 'Recupero' della valutazione della probabilità dalla frequenza relativa. [Memento: "frequenza --> probabilità": teorema di Bayes; "probabilità --> frequenza": teorema di Bernoulli. Ma concettualmente "probabilità  != frequenza"]
Bibliografia
Lezione 13 (19/4/06)
Riepilogo su inferenza del 'parametro p' della binomiale. Note sul significato fisico di p e di come in genere (se non esattamente noto) differisce (come significato) dalla probabilità che attribuiamo ad un 'successo'. Casi tipici: sondaggi, problema del `campione rappresentativo' e influenza delle prior. Casi limiti di frequenza osservata uguale a 0 o al 100%. Combinazione di campioni indipendenti.
Prior coniugate: distribuzione Beta, coniugata della binomiale. Prova dell'insensibilità delle prior in caso di grande numero di osservazioni (purché si sia disposti a cambiare opinione!)
Il biliardo di Bayes.
Note sul problema delle sei scatole e confronti con metodi frequentisti: probabilità delle osservazioni future e probabilità delle ipotesi (delle cause, dei valori veri, etc.)
Ancora sul problema delle 6 scatole: quanto vale la probabilità di avere estrarre due palline dello stesso colore al primo e al secondo tentativo? 1/2×1/2? Attenzione a non confondere P(E(1), E(2) | I) con P(E(1), E(2) | Hj ,I) : E(1) ed E(2) sono condizionatamente indipendenti, ovvero sono indipendenti se è nota la composizione dell'urna. Se essi fossero indipendenti, non si potrebbe imparare qualcosa su uno dei due conoscendo l'esito dell'altro [nota: quello che conta non è la sequenza temporale, ma quella di conoscenza, quindi ha senso parlare, ad esempio, di P(E(1) | E(2) ,I)].
Introduzione alle reti bayesiane (con parentesi a braccio su reti neurali e logica fuzzy) e al software JavaBayes.
Bibliografia
 
Lezione 14 (26/4/06)
Inferenza sul parametro λ della poissoniana e dell'intensità del processo di Poisson r a partire da una prior uniforme; limiti per x (numero di conteggi osservati) grandi.
Caso speciale di x = 0 da prior uniforme: upper limit. Coincidenza formale del valore con l'"upper limit frequentistico al 95% C:L:" basato sul valore tale che P(x=0|λL)=0.05: motivo per il quale tale ragionamento non può portare ad un limite che esprima la nostra 'confidenza'; esempi pratici in cui la banale "inversione di probabilità" non funziona.
(In)-sensibilità dalle prior in casi 'tranquilli' (senza abituarcisi!).
Ricerca di una prior coniugata della poissoniana (esercizio sulla distribuzione della somma di variabili indipendente, a partire dall'esponenziale): distribuzione di Erlang (tempo di attesa del k-mo successo) e sua estensione al continuo (Gamma): parametro di forma (c) e di scala (r). Funzione speciale Γ(): definizione, proprietà e caso particolare di argomento discreto k (->fattoriale di k-1). Esponenziale come Gamma speciale di parametro c = 1.
Riepilogo di distribuzioni a partire dal processo di Bernoulli. Distribuzione di χ2 come caso particolare di Gamma avente c=ν/2 e r = 1/2.   χ2 come somma dei quadrati di ν normali standardizzate indipendenti.
Uso della Gamma come prior coniugata della poissoniana: cf = ci + x; rf = ri + 1. Alcuni esempi.
Combinazioni di più conteggi, ciascuno registrato nello stesso tempo di osservazione T, oppure in un tempo totale nT. Inferenza dell'intensità r: singola osservazione; tante osservazioni, ciascuna in intervalli di tempo di pari durata; tante osservazione in intervali di tempo di differente durata (quest'ultimo caso riottenuto modellizzando la likelihood mediante una Erlang invece che da poissoniane: -> stesso risultato, compatibile con il "principio di verosimiglianza", soddisfatto automaticamente nel ragionamento bayesiano).
Effetto del background: impostazione del problema (r = rs + rb, ovvero λ = λs + λb), lasciando la soluzione come esercizio. Introduzione a sistematiche: come tener conto dell'incertezza su λb?
Bibliografia
 
Lezione 15 (3/5/06)
Inferenza del valore di una grandezza fisica. Nota introduttiva sul ruolo della misura: -> aggiornamento della conoscenza (diffidare dell'immacolata osservazione). Una introduzione da fisici sperimentali al teorema di Bayes: l'affidabilità delle conclusioni scientifiche dipende dalla conoscenza della fisica ('prior') e del comportamento del rivelatore ('likelihood').
Inferenza del parametro μ della gaussiana, assumendo nota la σ. Prior uniforme e prior gaussiana. Combinazione di risultati parziali. Aggiornamento delle stime nel linguaggio dei filtri di Kalman e vantaggio di interpretare tali filtri in un quadro teorico più ampio.
La derivazione di Gauss della gaussiana.
Caso esemplare in cui le prior contano: valore osservato 'al di fuori della regione fisica' (es. massa neutrino negativa). [In realtà l'affermazione " valore osservato 'al di fuori della regione fisica'" non ha molto senso in quanto valori veri e valori osservati sono in realtà variabili di spazi diversi!]. Scelta di prior consistenti con l'intento dell'esperimento (assumendo fisici esperti ed onesti).
Distribuzioni descrittive. Caso gaussiano: f(xf|xp) e commento su interpretazione errata del risultato dato come $\displaystyle \overline{x}\pm\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Esercizio proposto su caso poissoniano: se in un certo tempo osserviamo 100 conteggi, quanto vale la probabilitè di osservare in una seconda misura effettuata nelle stesse condizioni un numero di conteggi compreso fra 90 e 110?
Bibliografia
 
Lezione 16 (8/5/06)
Intervallo di probabilità del valore vero confrontato con intervallo di confidenza frequentista. Analisi di un testo 'ortodosso' che descrive quest'ultimo e presentazione di una nota sull'argomento. Brevi commenti sulla 'coverage' frequentista.
Sulla distorsione degli 'stimatori bayesiani' (ma tale concetto non esiste in un approccio puramente bayesiano!).
Ancora inferenza di μ della gaussiana (associata a valore vero) con σ nota: uso della sola media aritmetica basata sulla sufficienza statistica.
Modelli gerarchici e iperparametri.
Incertezze dovute ad errori sistematici: trattazione puramente probabilistica. Parametri di influenza ('sistematiche') e loro incertezza, modellizzata da opportuna pdf (uno sperimentatore che non è, in grave di proporre modelli ragionevoli è meglio che cambi mestiere!). Diversi approcci (che portano allo stesso risultato): inferenza congiunta di valori veri + parametri di influenza, seguita da marginalizzazione su questi ultimi; inferenza dei valori veri condizionata dai parametri di influenza, seguita da 'media pesata'; valori veri 'row' e 'corretti', seguita da propagazione di incertezze.
Esempio dettagliato: incertezza docuta ad 'errore di zero' (offset), assumendo likelihood gaussiana ed incertezza gaussiana sullo zero. Combinazione in quadratura delle incertezze. Correlazione indotta dalle sistematiche su più risultati deriventi da misure eseguite con tale strumento. Interpretazione del coefficiente di correlazione dei due risultati.
Bibliografia
 
Lezione 17 (10/5/06)
Misure, errori di misure ed incertezze di misura nel linguaggio delle reti bayesiane: rappresentazione grafica della decomposizione della pdf congiunta in prodotto di pdf condizionate: nodi (variabili), genitori, figli, legame (genitori-figlio) deterministico e stocastico. Distribuzione inferenziale e predittiva data una grandezza misurata due volte con diverse sistematiche. Dipendenza/indipendenza stocastica fra le osservazioni a seconda che il valore della grandezza sia noto o ignoto (analogia con il problema della scatola di composizione ignota): 'd-separation'.
Valutazione approssimata degli effetti degli errori sistematici mediante linearizzazione (facendo uso del modello 'valore row' e 'valore corretto' introdotto la scorsa lezione). Esempio di errore di zero ed errore di scala. Regola empirica generale per determinare il coefficiente di correlazione (prodotto incertezze correlate diviso prodotto incertezze globali).
Modellizzazione delle incertezze dovute alle sistematiche. Classificazione ISO/BIPM delle incertezze in Tipo A e Tipo B. Esempi vari, in particolare esempio di strumento digitale (date V1=1.237 e V2=1.239, determinare incertezza sulla differenza di tensione).
Bibliografia
 
Lezione 18 (15/5/06)
Ancora su modellizzazione di incertezze dovute a sistematiche. Commenti sulle stime 'conservative'. Regole pratiche con derivate effettuate numericamente: stima di varianze e coefficienti di correlazione. Deviazioni dalla linearità: bias introdotto se non si tiene conto degli 'shift' introdotti dalla nonlinearit`. Formule pratiche basate su derivate numeriche ed espansione al secondo ordine. Casi in cui è opportuno presentare risultati condizionati da diverse ipotesi fisiche.
Effetto sugli upper/lower limits delle incertezze dovute a sistematiche.
Misura dell'intensità di un processo di Poisson nel caso i conteggi siano effetti da background di valore atteso 'noto' (anche affetto da incertezza).
Distribuzioni predittive nel caso di processi di Bernoulli ('binomiale') e Poissonana.
Modello gaussiano con σ ignota: inferenza di μ e σ. Limite per grande numerosità dei campioni. Accenno al caso di 'piccoli numeri' con prior su σ uniforme (per σ>0) e 1/σ [ovvero uniforme in log(σ)].
Introduzione ai fit.
Bibliografia
 
Lezione 19 (15/5/06)
Inferenza parametrica: caso di fit con errori su entrambi gli assi ed extra variabilità: costruzione del modello ed interpretazione in termini di rete bayesiana. Caso particolare di fit lineare con errori normali. Soluzioni generali nei vari casi. Soluzioni approssimate.
Schema di approssimazioni dal caso generale bayesiano a massima verosimiglianza e minimi quadrati. Soluzione approssimata assumendo normalità (eventualmente multivariata) della posterior: valore atteso dal valore modale e matrice di covarianza dall'Hessiano. Regole "Δχ2 = 1" "Δ(-LogLikelihood) = 1/2": significato ed uso nella statistica frequentista e in qualla bayesiana. Casi di χ2 e -LogLikelihood non parabolici.
Soluzione dettagliata del calcolo di f(m,c) nel caso di fit lineare.
Bibliografia
 
Lezione 20 (22/5/06)
Ancora fit lineari, ma usando l'ipotesi di approssimazione normale per trovare valori attesi e matrice di covarianza di m e c.
Estrapolazione (inferenza di μ(x) e distribuzione predittiva di y(x). Importanza delle correlazioni fra i parametri.
Effetto degli errori sistematici: trattazione generale e caso particolare di errore di zero e di scala su fit lineari.
Minimi quadrati: uso (cum grano salis) delle formule basate su 'principi': trattazione matriciale dei minimi quadrati dipendenti linermente dai parametri, con errore ignoto ricavato mediante i residui.
Confronto di ipotesi 'complesse' (modelli che dipendono da parametri liberi): mediante il fattore di Bayes che tiene conto dello spazio ammissibile a priori per i parametri: "Rasoio di Ockham" automatico dell'approccio bayesiano. (Il confronto del "miglior χ2" può essere fuorviante.)
Ruolo delle prior nella ricerca di fenomeni nuovi e quindi negli upper/lower limits. Cenno alle prior 'giustificate teoricamente' e all'approccio bayesiano oggettivo (caveat!). Likelihood 'chiuse' e 'aperte'. Likelihood riscalata al valore asintotico per il quale l'esperimento perde sensibilità ('R'). Limiti superiore/inferiore probabilistici (o C.L., 'whatever they might mean') Vs limiti di sensibilità.
Esempio fit di punti su un piano, usando minimi quadrati con formalismo matriciale (z=a + bx + cy): Bibliografia
 
Lezione 21 (7/6/06)
Metodi di Monte Carlo nell'inferenza bayesiana: -> campionare la distribuzione finale non normalizzata per valutare valori attesi di funzioni delle variabili (es. media, sigma, etc). (Per capire l'importanza si pensi a problemi ad alta dimensionalità e non a banali problemi 1D).
Rejection sampling. Importance sampling: distribuzione ottimale di campionamento; 'sovraefficienza'. Markov chain Monte Carlo (MCMC).
Catene di Markov: stati, matrice di transizione T, invarianza, irriducibilità, aperiodicità, distribuzione invariante. Soluzione dettagliata del semplice esempio con tre stati di Andrieu et al.: μ(x(1))×T×T×...×T; autovalori della trasposta di T.
Condizione di reversibilità o del bilancio dettagliato.
Algoritmo di Metropolis: importanza della distribuzione di proposal, con esempi. Algoritmo di Metropolis-Hasting. Breve cenno sull'esistenza di algoritmo di Gibbs.
Esempi di uso di BUGS.
Unfolding: problema generale e (un possibile) approccio bayesiano, basato su discretizzazione del problema, iterazione e smoothing. Veloce presentazione del vecchio algoritmo e di quello migliorato.
Bibliografia
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