Soluzioni concettuali dei problemi della prova del 21 luglio

1. Le assegnazioni di probabilità devono soddisfare le regole di base, in particolare la probabilità di un prodotto logico di due eventi/ipotesi non può essere maggiore della probabilità di ciascuno/a di essi/e.
2. Semplice applicazione del teorema di Bayes, con risultato peraltro inizialmente controintuitivo.
3. Processo di Poisson: dall'informazione data ci si ricava il parametro τ della distribuzione esponenziale, quindi l'intensità r del processo e infine λ della poissoniana.
4. Distribuzione multinomiale e distribuzione binomiale.
5. Normale bivariata (la normalità è l'assunzione tipica in questo tipo di risultati se non viene specificato nient'altro), quindi distribuzione condizionata: il valore atteso di μ₁ viene opportunamente shiftato e la sua incertezza `strizzata'.
6. Inferenza del parametro p della binomiale
   1. pdf: con prior uniforme, modellizzata da opportuna distribuzione beta, si riduce ad una beta di parametri (101,1), dalla quale si ricava moda (1), valore atteso (dato dalla formula di successione di Laplace), deviazione standard (se uno non si ricorda la formula esatta non e' grave...) ed eventualmente limite inferiore ad un tot percento di probabilità;
   2. La probabilità di un futuro 'successo' è proprio il valore atteso di p.
   3. Si cambia con una uniforme fino a 0.95 e si rinormalizza: la pdf ha la stessa forma di quella precedente, ma diversa da zero solo fra 0 e 0.95; la moda e' in 0.95 e il valore atteso va fatto con l'opportuno integrale (→ 0.941, contro 0.990 precedente).
7. Trasformazione lineare di variabili, a partire da normale bivariata di matrice di covarianza nota:
   1. trasformazione della matrice di covarianza mediante la matrice C dei coefficienti: → il risultato è ancora una normale multivariata e la probabilità cercata è calcolate mediante opportuno integrale (possibilmente eseguito mediante l'ausilio di qualche libreria scientifica);
   2. più 'brutalmente' si poteva risolvere il problema mediante campionamento, estraendo le variabili di partenza da una normale bivariata (usando qualche libreria o fatta a mano da un generatore random gaussiano), calcolando per ogni occorrenza di μ₁ e μ₂ le tre variabili di interesse, etc.
8. Errore sistematico di 'offset' di valore incerto:
   1. l'incertezza totale è pari alla combinazione in quadratura di quella individuale e quella sull'offset;
   2. il coefficiente di correlazione è pari prodotto delle incertezze comuni diviso il prodotto di quelle totali;
   3. nella differenza contano soltanto le incertezze individuali non correlate.
   Note:
   • Il testo poteva essere ambiguo in quanto si poteva intendere che in 1.05 +- 0.04 e 1.23 +- 0.04 le due incertezze potessero essere quelle globali, ma tale eventualità era esclusa dal fatto che l'incertezza sullo zero era 0.10 (il tutto nelle unità arbitrarie);
   • ci si attendeva che la formula per ottenere il coefficiente di correlazione venisse ricordata per la sua importanza, comunque poteva essere ricavata considerando il contributo sistematico come una correzione a quello senza e valutando quindi la covarianza fra i valori risultanti.