ࡱ > . 0 - V a jbjbYQYQ .H 33 33 V B , , , , T , D B C j .- $ R. R. R. R. 0 0 0 B B B B B B B , E R kG C ] 0 0 0 0 0 C ]5 R. R. iC ]5 ]5 ]5 0 " R. R. B ]5 T 6 0 B ]5 ]5 A h B "- 0/ , 73 & .B B C 0 C >B QH ]5 QH B ]5 B B $ f $ B B f Soluzioni del Compito di Elettricit e Magnetismo e di Elettromagnetismo del 27 marzo 2007 Esercizio 1 Consideriamo un sistema di riferimento con asse x normale ai piani ed origine sul primo piano carico; individuiamo quattro regioni di spazio ed applichiamo ad ognuna di esse la somma vettoriale dei campi: il campo elettrostatico e dato da: EMBED Equation.3 indicando con ( la densita di carica del terzo piano ((=(3) ed esprimendo tutte le tre densita di carica in funzione di ( avremo: Zona I: x < 0 EMBED Equation.3 Zona II: 0 < x < d EMBED Equation.3 Zona III: d < x < 2d EMBED Equation.3 Zona IV: dx > 2d EMBED Equation.3 dalla definizione di potenziale: EMBED Equation.3 la forza esercitata sulla carica del piano j-esimo dal campo dovuto al piano i-esimo e: EMBED Equation.3 pertanto: EMBED Equation.3 quindi: EMBED Equation.3 la forza esercitata dai primi due piani sul terzo piano e diretta lungo la direzione negativa dellasse x, quindi e attrattiva. In generale lenergia elettrostatica compresa nel volume ( e: EMBED Equation.3 nel volume richiesto: EMBED Equation.3 Esercizio 2 Essendo le spire una accanto allaltra la bobina costituita da N= L/ f = 1 0 0 0 s p i r e C i a s c u n a s p i r a h a c i r c o n f e r e n z a : C = D p = 3 . 1 4 1 0 - 2 m e q u i n d i i l f i l o d i r a m e d e l s o l e n o i d e h a u n a l u n g h e z z a c o m p l e s s i v a l = N C = 3 1 . 4 m . D a c u i s i d e d u c e c h e l a r e s i s t e n z a d e l l a b o b i n a R = ( r l ) / [ p (f/2)2 ] = 0.6 8 W P o i c h i l s o l e n o i d e t r a t t a b i l e c o m e i n d e f i n i t a m e n t e l u n g o B = mo ( N / L ) I I n p r e s e n z a d i c a m p o m a g n e t i c o i l m o t o d e l l a p a r t i c e l l a l a c o m p o s i z i o n e d i u n m o t o r e t t i l i n e o u n i f o r m e l u n g o l a s s e d e l s o l e n o i d e c o n m o d u l o d e l l a v e l o c i t v p = ( v o c o s a) e d i u n m o t o c i r c o l a r e u n i f o r m e s u l p i a n o p e r p e n d i c o l a r e a l l o s t e s s o a s s e c o n m o d u l o d e l l a v e l o c i t v n = ( v o s i n a). L a t r a i e t t o r i a d i q u e s t o u l t i m o m o t o u n a c i r c o n f e r e n z a p a s s a n t e p e r i l c e n t r o d e l s o l e n o i d e e d d e t e r m i n a t a d a l l a f o r z a c e n t r i p e t a : m p v n 2 / r = q v n B dove r il raggio della traiettoria. Affinch il protone non arrivi a toccare il tubo, deve accadere che questa circonferenza sia al pi tangente al tubo ovvero: 2r < D/2 da cui: rmax = D/4 = (mp vn )/(q Bmin) Quindi il valore del campo dinduzione magnetica Bmin per cui il protone arriverebbe a sfiorare il tubo : Bmin = (4 mp vo sin a) / ( q D ) N e s e g u e c h e : I m i n = ( 4 m p v o s i n a L ) / ( m o q N D ) = 0 . 8 5 A ( B m i n = 1 . 0 1 0 - 3 T ) . I n q u e s t e c o n d i z i o n i l a p o t e n z a d i s s i p a t a l u n g o i l s o l e n o i d e : P = I m i n 2 R = 0 . 4 9 W E s e r c i z i o 3 I l c a m p o m a g n e t i c o n e l s o l e n o i d e : B = ( 0 i n ed il flusso di B va calcolato attraverso la superficie intersezione delle due superfici, che ha area ( r2/4. Quindi per il flusso si trova: EMBED Equation.3 ed il coefficiente di mutua induzione EMBED Equation.3 b) Denotando con i(t) la corrente che viene mantenuta nel solenoide e con I(t) la corrente indotta nella spira quadrata, si ha che EMBED Equation.3 ovvero EMBED Equation.3 c) Per l'energia complessivamente dissipata nella resistenza della spira quadrata si trova EMBED Equation.3 Esercizio 4 1) Dalla definizione di frequenza e lunghezza donda abbiamo: ( = (/2( = 5 107 /2( = 7.96 MHz ( = 2(/k = 2(/1.5 = 4.2 m da cui la velocita di propagazione dellonda elettromagnetica: v = (( = 3.33 107 m/s e lampiezza del campo elettrico: E0 = B0 v = 66.7 V/m 2) Dalle definzioni di velocita dellonda e.m. e impedenza donda avremo: c/v = 3 108/3.33 107 = 9.01 ( (r = c2/v2 1/(r = 1.01 Z = (((/() = (((r/(r) Zo = 42.4 ( (Zo = 377 () 3) Dalla definizione di vettore di Poynting I = E x H, sappiamo che I e diretto lungo la direzione y ed avra intensita: = Eo2/2Z = 52.4 W/m2 Per definizione di vettore di Poynting, lenergia che attraversa una data superficie di area A nel tempo (t e: W = An (t In cui An e larea della superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dellonda. Nel caso in esame risulta: An = A cos(20 gradi) = 2.82 m2 e quindi avremo nellunita di tempo: W = 147.71 J 4) Se la superficie e perfettamente assorbente, tutta la quantita di moto portata dallonda e assorbita dalla superficie, quindi nellunita di tempo la pressione corrispondente varra:
= /v = 9.218 W/m2 / 1.25 107 m/s = 15.7 10-7 Pa [ ] i ] ^ q r s t # $ % & > ? R S 䲠䑄q_L %j/B hjhI CJ OJ QJ UV_H #j hjhI EHOJ QJ UmHsH%j/B hjhI CJ OJ QJ UV_H hjhI H*OJ QJ mHsH j shjhI OJ QJ mHsH #j hjhI EHOJ QJ UmHsH%j/B hjhI CJ OJ QJ UV_H j hjhI OJ QJ UmHsHhjhI 5>*OJ QJ mHsH hjhI OJ QJ mHsH hjhI CJ OJ QJ aJ mHsH I [ \ ] i j 7 8 \ ] u v ( ) = > V W n o ` ^` ^ &