Numeri Complessi
Somme e prodotti. Proprieta algebriche. Moduli e coniugati. Disugualianza triangolare. Coordinate polari e formula di Eulero. Prodotti e quozienti in forma esponenziale. Radici di numeri complessi. Regioni nel piano complesso

Funzioni analitiche
Funzioni di una variabile complessa. Trasformazioni. Limiti. Teoremi sui limiti. Limiti con il punto all'infinito. Continuita. Derivate. Formule di derivazione. Equazioni di Cauchy-Riemann. Condizioni sufficienti per la derivazione. Coordinate polari. Funzioni analitiche. Principio di riflessione. Funzioni armoniche

Funzioni elementari
La funzione esponenziale. Funzioni trigonometriche. Funzioni iperboliche. La funzione logaritmica e le sue diramazioni. Alcune identita con i logaritmi. Esponenti complessi. Funzioni trigonometriche inverse e iperboliche

Integrali
Funzioni a valori complessi. Cammini. Integrali su cammini. Esempi. Primitive. Teorema di Cauchy-Goursat. Prova del teorema di Cauchy-Goursat. Domini semplicemente e molteplicemente connessi. Formula integrale di Cauchy. Derivate di funzioni analitiche. Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra. Massimo modulo di funzioni.

Serie
Convergenza di successioni e serie. Criterio di convergenza di Cauchy. Serie di Taylor. Serie di Laurent. Serie di potenze. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza. Convergenza assoluta e uniforme delle serie di potenze. Integrazione e derivazione di serie di potenze. Unicita' delle rappresentazioni in serie. Moltiplicazione e divisione di serie di potenze. Prolungamento analitico.

Spazi metrici
Spazi metrici. Insiemi aperti e chiusi. Chiusura di un insieme. Insiemi densi. Insiemi connessi e non connessi. Successioni e completezza. Compattezza (sequenziale). Continuita' e continuita' uniforme negli spazi metrici.

Residui e poli
Residui. Teoremi sui residui. I tre tipi di singolarita' isolate. Residui nei poli. Zeri e poli di ordine m. Condizioni sotto le quali una funzione e' identicamente nulla. Comportamento di una funzione in prossimita' di singolarita' rimovibili e essenziali.

Applicazioni dei residui
Calcolo di integrali impropri. Integrali impropi con seni e coseni. Integrali definiti con seni e coseni. Cammini di integrazione indentati. Integrazione lungo una linea di diramazione. Principio dell'argomento e teorema di Rouche. Trasformate di Laplace inverse.

Testo consigliato: Complex variables and applications, James Ward Brown, Ruel V. Churchill, sixth edition (McGraw-Hill, Inc., New York, 1996)