Numeri complessi
Fondamenti assiomatici del sistema di numeri complessi: definizione di ugualianza, somma e prodotto.
Il campo C dei numeri complessi.
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi.
Moduli e coniugati.
Disugualianza triangolare.
Forma polare dei numeri complessi: funzione cis o esponenziale simbolico.
Formula di de Moivre.
Radici di numeri complessi.
Regioni nel piano complesso.
Funzioni analitiche
Funzioni di una variabile complessa.
Trasformazioni mediante funzioni complesse.
Limiti: unicita', limiti delle funzioni parte reale e immaginaria, limite della somma, del prodotto, del rapporto e della composizione di due funzioni.
Piano complesso esteso e limiti con il punto all'infinito.
Continuita: continuita' delle funzioni parte reale e immaginaria, continuita' della somma, del prodotto, del rapporto e della composizione di due funzioni continue.
Se f e' continua e non nulla in un punto allora e' non nulla in un intorno del punto.
Limitatezza delle funzioni continue su insiemi chiusi e limitati (compatti).
Uniforme continuita' e Lipschitzianita': implicazioni e esempi.
Continuita' su un compatto implica uniforme continuita'.
Derivate.
Formule di derivazione per la somma, il prodotto, il rapporto, la composizione di funzioni derivabili.
Equazioni di Cauchy-Riemann.
Condizioni sufficienti per l'esistenza della derivata.
Equazioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari.
Funzioni analitiche.
Punti singolari.
Se f'=0 in un aperto e connesso allora f e' costante.
Funzioni armoniche.
Armonica coniugata e sua determinazione.
Se f e' analitica in D aperto e connesso e f=0 su un segmento di linea contenuto in D allora f=0 in tutto D.
Prolungamento analitico.
Successioni e serie di funzioni
Successioni convergenti e successioni di Cauchy.
Una successione convergente e' di Cauchy.
In C le successioni di Cauchy sono convergenti (C e' completo, nella dimostrazione si assume R completo).
Successioni di funzioni: convergenza e convergenza uniforme.
Una successione di funzioni continue convergenti uniformemente ha
come limite una funzione continua.
Somme parziali di una succesione di funzioni a valori in C: serie di funzioni.
Convergenza, convergenza uniforme e convergenza assoluta di una serie.
Test M di Weierstrass per la convergenza uniforme di una serie.
Una serie assolutamente convergente e' convergente.
Limiti superiore e inferiore di una successione numerica reale: proprieta' ed esempi.
Serie di potenze.
Raggio di convergenza: teorema di Abel.
Criterio del rapporto.
Funzioni elementari
Funzione esponenziale.
Funzione logaritmo e sue diramazioni.
Potenze con esponenti complessi.
Funzioni esponenziali con base complessa.
Funzioni trigonometriche.
Funzioni iperboliche.
Funzioni trigonometriche e iperboliche inverse.
Integrali
Derivate e integrali di funzioni di variabile reale a valori complessi.
Archi, archi differenziabili, archi regolari.
Riparametrizzazione di un arco.
Lunghezza di un arco differenziabile e sua invarianza per riparametrizzazione.
Cammini come archi regolari a tratti.
Cammini chiusi semplici: teorema della curva di Jordan (non dimostrato).
Integrali di funzioni complesse su cammini.
Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione del cammino.
Maggiorazione del modulo di un integrale su cammino.
Primitive.
Teorema fondamentale del calcolo.
Primitive di funzioni polidrome e calcolo di integrali su cammini chiusi.
Teorema di Cauchy-Goursat.
Domini semplicemente e molteplicemente connessi.
Formula integrale di Cauchy.
Derivate di funzioni analitiche.
Teorema di Morera.
Teorema di Liouville.
Teorema fondamentale dell'algebra.
Sviluppi in serie
Sviluppo in serie di Taylor intorno al punto z_0 di funzioni analitiche in un disco centrato in z_0.
Integrazione di una serie di potenze con una funzione continua.
La somma di una serie di potenze e' una funzione analitica all'interno del cerchio di convergenza.
Derivazione di una serie di potenze.
Unicita' dell'espanzione in serie di Taylor.
Esempi notevoli di sviluppi in serie di Taylor.
Sviluppo in serie di Laurent intorno al punto z_0 di funzioni analitiche in una regione anulare centrata in z_0.
Integrazione di una serie di Laurent con una funzione continua.
Derivazione di una serie di Laurent.
Unicita' dell'espanzione in serie di Laurent.
Esempi notevoli di sviluppi in serie di Laurent.
Moltiplicazione e divisione di serie di potenze.
Residui
Singolarita' e singolarita' isolate.
Residuo di una funzione in una singolarita' isolata.
Teorema dei residui.
Teorema dei residui con il residuo all'infinito.
Classificazione delle singolarita' isolate: singolarita' eliminabili, poli, singolarita' essenziali.
Condizione necessaria e sufficiente affinche una funzione analitica abbia un polo di ordine m e formula per il corrispondente residuo.
Zeri di ordine m delle funzioni analitiche.
Condizione necessaria e sufficiente affinche una funzione analitica abbia uno zero di ordine m.
Gli zeri delle funzioni analitiche non identicamente nulle sono isolati.
Condizioni sotto le quali una funzione analitica e' identicamente nulla.
Relazione tra zeri e poli di ordine m.
Applicazioni dei residui
Integrali impropri: convergenza e valore principale.
Integrali di funzioni razionali.
Integrali definiti di funzioni di funzioni seno e coseno.
Testi consigliati
Serie e trasformata di Fourier
Ortonormalita' e completezza delle funzioni exp(i n x) con n intero nell'intervallo (-π,π).
Espansione in serie di Fourier di funzioni periodiche nello stesso intervallo.
Espansione equivalente nella base di seni e coseni {sin(nx),cos(nx)}.
Esempi elementari.
Proprieta' delle serie di Fourier e convoluzioni.
Fenomeno di Gibbs.
Generalizzazione al caso multidimensionale.
Applicazioni: estensione al caso di un periodo T arbitrario, adimensionalizzazione, la serie di Fourier come analizzatore di un segnale periodico nel tempo o nello spazio.
Trasformata di Fourier e proprieta' analoghe.
Generalizzazione della serie o della traformata di Fourier: espansione in una base ortonormale generale di funzioni.
Distribuzioni
Approssimazione impulsiva in fisica (meccanica, termodinamica, ecc.) e formalizzazione via la δ di Dirac.
Distribuzioni come limiti di successioni di funzioni ordinarie e come funzionali lineari su spazi di prova.
Proprieta' delle distribuzioni e definzione della derivata.
Esempi notevoli di distribuzioni: la funzione a gradino θ di Heaviside e la derivata della δ di Dirac.
Trasformata di Fourier delle distribuzioni.
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