MMMF 2011-2012 - diario delle lezioni di analisi complessa (U.G. Aglietti) 2 ore lunedi, mercoledi, giovedi e venerdi, a partire da lunedi 5 marzo 2012 I SETTIMANA (2) lunedi 5 marzo: informazioni logistiche sul corso, algebra dei numeri complessi: costruzione a partire da R^2, assiomi di campo, assenza di ordinamento (totale), rappresentazione cartesiana e polare; (4) mercoledi 7 marzo: elenco commentato dei libri di testo, proprieta' della rappresentazione polare, argomento principale, complesso coniugato e modulo di un numero complesso, disuguaglianza triangolare, esercizi di algebra dei numeri complessi; (6) giovedi 8 marzo: radice ennesima di un numero complesso, polidromia, interpretazione geometrica e confronto con il caso reale, esercizi sul calcolo delle radici; (8) venerdi 9 marzo: nozioni di intorno, insieme aperto, connesso e semplicemenente connesso nel piano, esempi, cenni al gruppo zero di coomologia di un aperto del piano (funzioni globalmente e localmente costanti definite su di un aperto del piano); II SETTIMANA (10) lunedi 12 marzo: proiezione stereografica per la retta ed il piano, sfera di Riemann, punto all'infinito, nozione di omeomorfismo e di diffeomorfismo, esercizi sulla proiezione sterografica; (12) mercoledi 14 marzo: riepilogo sulle successioni: limiti e punti di accumulazione, esempi, successioni a valori complessi, limite e continuita' di una funzione di argomento complesso, discussione sulla relazione tra SO(2,R)) ed O(2,R) con U(1) e la complessa coniugazione; (14) giovedi 15 marzo: differenziabilita' complessa, condizioni di Cauchy-Riemann, definzione di funzione analitica (od olomorfa) in un dominio, indipendenza da z^* delle funzioni analitiche, esempi; (16) venerdi 16 marzo: esempi di funzioni intere e meromorfe: polinomi, funzioni razionali, l'esponenziale (introdotto tramite la serie di potenze), funzioni iperboliche e trigonometriche; introduzione ai poli ed alle singolarita' essenziali, nozione di funzione algebrica; III SETTIMANA (18) lunedi 19 marzo: armonicita' della parte reale ed immaginaria di una funzione analitica, ricostruzione della parte reale dalla parte immaginaria, esercizi sulle condizioni di Cauchy-Riemann; (20) mercoledi 21 marzo: richiami sulla nozione generale di funzione; z^(1/n) con n intero positivo come esempio di funzione analitica polidroma: costruzione tramite la sua inversa z^n, resa iniettiva e diretta; nozione di punto di diramazione e di piano complesso tagliato; (22) giovedi 22 marzo: il logaritmo nel piano complesso tagliato, costruito sia rendendo iniettivo l'esponenziale, sia direttamente; definizione dell'ordine di un punto di diramazione; esercizi sulle condizioni di Cauchy-Riemann; (24) venerdi 23 marzo: conformalita' delle mappe indotte da funzioni analitiche ed esempi; definizione dell'integrale di una funzione di argomento complesso lungo una curva (tramite la parametrizzazione), teorema di Cauchy per domini semplicemente connessi, esempi; IV SETTIMANA (26) lunedi 26 marzo: integrale di |z| su due cammini differenti con gli stessi estremi; integrale di z^n con n intero su di una circonferenza centrata nell'origine; nozione di equivalenza omotopica tra cammini chiusi e cammini con estremi fissati e teorema di Cauchy per domini multiplamente connessi; teorema integrale di Cauchy; (28) mercoledi 28 marzo: teorema fondamentale del calcolo integrale nel caso complesso e conseguenze, tra le quali la non esistenza di una primitiva in C^* di 1/z; infinita' derivabilita' delle funzioni analitiche, teorema della media e del massimo modulo, esempi; (29) mercoledi 28 marzo (ora in piu' facoltativa): esercizi sulle funzioni polidrome, definizione della discontinuita' di una funzione attraverso un taglio; (31) giovedi 29 marzo: teorema di Liouville e teorema di Morera; zeri di una funzione analitica, classificazione delle singolarita' isolate delle funzioni analitiche, esempi ed esercizi; (33) venerdi 30 marzo: teorema di Casorati-Weierstrass e grande teorema di Picard (solo enunciato); esempi di singolarita' essenziali e di singolarita' non isolate; conseguenza del teorema di Liouville: teorema fondamentale dell'algebra e non esistenza di una mappa analitica dal piano complesso al disco unitario (aperto); V SETTIMANA (35) lunedi 2 aprile: richiami sulle successioni e serie numeriche e di funzioni: successioni fondamentali, convergenza assoluta ed uniforme; teoremi di stabilita' per le serie: continuita'/analiticita' del limite uniforme di una successione di funzioni continue/analitiche, scambio serie con integrale e derivata; (37) mercoledi 4 aprile: criterio di convergenza uniforme di Weierstrass (M-test); serie di potenze: teorema di Abel, analiticita' della somma di una serie di potenze nel dominio di convergenza, unicita' dell'espansione in serie di potenze. esempi; (38) mercoledi 4 aprile (ora addizionale facoltativa): esercizi: mappe conformi indotte dalle potenze z^n, generazione di successioni di polinomi armonici dalle potenze z^n; VACANZE DI PASQUA VI SETTIMANA (40) mercoledi 11 aprile: serie di potenze: criteri di convergenza di D'Alambert e di Cauchy-Hadamard, esempi relativi alla convergenza sul bordo del cerchio di convergenza, esercizi sul calcolo di raggi di convergenza; (42) giovedi 12 aprile: teorema di Laurent, espandibilita' locale in serie di potenze di una funzione analitica, singolarita' isolate e serie di Laurent, esempio di Cauchy della differenza tra essere C-infinito ed analitico nel caso reale; (44) venerdi 13 aprile: definizione di residuo per singolarita' isolate e punto all'infinito, teorema dei residui, calcolo dei residui via le serie di Laurent e via limiti per singolarita' polari, esempi ed esercizi; VII SETTIMANA (46) lunedi 16 aprile: applicazioni del teorema dei residui: integrazione di funzioni razionali trigoniometriche su di un periodo, lemma di Jordan, integrazione di funzioni razionali su tutto l'asse reale e di trasformate di Fourier di funzioni razionali, esempi; (48) mercoledi 18 aprile: teorema dell'indice, calcolo di trasformate di Fourier di funzioni razionali con i residui; esercizi sulle funzioni polidrome usando le coordinate multipolari e sulle espansioni in tutto il piano complesso di funzioni meromorfe; (50) giovedi 19 aprile: generalizzazione del teorema dell'indice e rappresentazione integrale delll'inversa di una funzione, principio dell'argomento, teorema di Rouche' e teorema fondamentale dell'algebra, esempi; calcolo di integrali di funzioni polidrome con potenze non intere tramite i residui; (51) giovedi 19 aprile (ora addizionale facoltativa): esercizi su espansioni di Laurent in tutto il piano complesso; (53) venerdi 20 aprile: calcolo di integrali di funzioni razionali x logaritmi tramite i residui; esercizi su mappe conformi, espansioni in serie di Laurent e calcolo di residui. VIII SETTIMANA (55) lunedi 23 aprile: esonero su tutto il programma svolto.