ANALISI FUNZIONALE, 2014-2015 - U. G. Aglietti

Lunedi, Martedi, Mercoledi e Giovedi, ore 9-11, aula Amaldi

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(2) Lunedi 13 Aprile: Introduzione generale al corso e programma di 
massima. Generalita' sugli spazi vettoriali: assiomi, dipendenza ed 
indipendenza lineare per insiemi finiti ed infiniti di vettori, basi, 
sottospazi e loro unione ed intersezione. Esempi: R^n, lo spazio di 
tutte le successioni reali R^N (N={naturali}) e di tutte le successioni 
definitivamente nulle l^f, successione di sottospazi finito-dimensionali 
inclusi in l^f, lo spazio di tutti i polinomi Pol (di grado qualunque)
e suoi sottospazi finito-dimensionali;

(4) Martedi 14 Aprile: operatori lineari, iniettivita', suriettivita',
nucleo, immagine, esempi. La dimensione del nucleo + la dimensione 
dell'immagine = dimensione del dominio, qualora quest'ultima sia finita
e conseguenze. Isomorfismo di spazi vettoriali come relazione di equivalenza, 
esempi. Matrici niltpotenti, esempi, l'operatore di innalzamento E^+ e di 
abbassamento E^- in dimensione finita ed infinita. Filtrazioni dei nuclei 
e delle immagini;

(6) Mercoledi 15 Aprile: Composizione di E^+ con E^- e viceversa 
in dimensione infinita e confronto con il caso finito-dimensionale. 
Operatori di permutazione ciclica in R^n e loro proprieta' generali.
Richiami su autovalori ed autovettori in dimensione finita, proprieta' 
spettrali delle matrici nilpotenti.
Spazi metrici, sottospazi metrici e esempi di varia natura sia in 
dimensione finita che infinita;

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LEZIONI DEL PROF. SANTINI: 7 ore di analisi funzionale

           (+ complementi analisi complessa)

i) Spazi Metrici: palla aperta, chiusa, epsilon-intorno, insiemi aperti.
Punti d'aderenza e d'accumulazione, chiusura di un insieme, insiemi
chiusi. Esempi: l^p non e' chiuso in l^infinito, c^0 e' chiuso in
l^infinito, c^0 e' la chiusura di l^p in l^infty (da dimostrare).
Insiemi limitati e totalmente limiitati. Prop: se M e' totalmente limitato,
non posso costruire una successione y_n in M tale che d(y_i,y_j) > ep_0
per ogni ep_0 > 0. Conseguenza: la palla di centro 0 e raggio 1 e' limitata
ma non totalmente limitata.

Spazi Metrici Completi: esempio: l^2 e' completo.

Spazi Metrici Compatti: caratterizzazione come insiemi completi e totalmente
limitati (senza dimostrazione). Esempio: la palla chiusa di centro 0 e raggio 1
non e' compatta.

ii) Spazi Vettoriali Normati (SVN): definizione e primi esempi.
Palle unitarie in R^n con norma "p" per n=2,3 e significato geometrico. 
Spazi di successioni e relazioni di inclusione. 
Diseguaglianze di Holder e di Minkowski, equivalenza delle norme in dimensione
finita. Gli SVN sono spazi vettoriali metrici con distanza definita da
d(x,y)=||x-y||.
Lo SVN delle funzioni continue su di un intervallo limitato e chiuso con la
norma uniforme (dell'estremo superiore).
Spazi di Lebesgue.

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(8) Lunedi 4 Maggio: riepilogo degli argomenti trattati dal Prof. Santini;
esempi ed esercizi: la metrica d' = d/(1+d), con "d" distanza arbitraria;
lo spazio di tutte le successioni, con metrica definita dalla serie dei
rapporti delle coordinate, come esempio di spazio vettoriale metrico non
normato (vedi Kreyszig); lo spazio metrico discreto: successioni fondamentali,
convergenti, completezza, aperti, chiusi, separabilita'; lo spazio C^1[a,b]
come sottospazio normato di C[a,b] e con norma uniforme che coinvolge anche
la derivata prima.

(10) Martedi 5 Maggio: gli spazi normati C^k[a,b] con k naturale e lo spazio
vettoriale metrico C^infty[a,b], relazioni di inclusione e relativa mappa.
Insiemi densi in uno spazio metrico e spazi separabili, esempi, richiami sul
procedimento diagonale di Cantor e sugli insiemi numerabili. Teorema sulla
separabilita' degli spazi l^p con 1 <= p < infty (dimostrato).

(12) Mercoledi 6 Maggio: Esercizi sulla chiusura di un insieme in uno spazio
metrico e sugli spazi di successioni l^p. Teorema della non separabilita' di
l^infty (con dimostrazione). Dimostrazione che la chiusura nella norma
dell'estremo superiore (||.||_infty) di l^p e' c^0 (lo spazio di tutte le
successioni convergenti a zero).
Riepilogo sugli spazi di Lebesgue L^p([a,b]) con 1 <= p <= infty, esempi,
cenno sugli insiemi di misura (di Lebesgue) nulla e sulle classi di
equivalenza di funzioni che differiscono su insiemi di misura nulla,
relazioni di inclusione tra gli L^p(X) nel caso di misura finita di X
(con dimostrazione).

(14) Giovedi 7 Maggio: Esercitazione in aula la prima ora. Seconda ora:
risoluzione degli esercizi assegnati, ovvero: determinare a quali spazi
l^p appartiene la successione 1/(sqrt(n)*log^2(n)) ed a quali spazi di
Lebesgue L^p(R) appartiene la funzione 1/(1+x^2)^a, con "a" parametro
reale; dimostrare che in R^n la norma uniforme, ||.||_infty, e' il limite
della norma p, ||.||_p, per p->infty e che il parallelepipedo di Hilbert
e' totalmente limitato in l^2. 

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(16) Lunedi 11 Maggio: Riepilogo sugli operatori lineari in dimensione finita
e loro rappresentazione tramite matrici e cenno all'algebra associativa degli
endomorfismi. Operatori lineari limitati su spazi normati generali, norma di
un operatore lineare limitato, rappresentazioni equivalenti della norma, lo
spazio (vettoriale) normato L(X,Y) degli operatori lineari limitati da
(X,||.||_X) in (Y,||.||_Y). Gli operatori E^-, E^+ : l^2 -> l^2 come esempi
di operatori lineari (endomorfismi) limitati e calcolo della loro norma.
L'operatore di derivazione sullo spazio dei polinomi definiti sull'intervallo
[0,1], con la norma uniforme, come esempio di operatore non limitato.
Esercizio lasciato per casa: si consideri l'operatore (lineare) di moltiplicazione
Lambda per la variabile indipendente x definito sullo spazio delle funzioni
continue su R e decrescenti all'infinito piu' rapidamente di qualunque
funzione razionale, con la norma uniforme. Dimostrare che Lambda e' non
limitato;

(18) Martedi 12 Maggio: risoluzione dell'esercizio sulla non limitatezza
dell'operatore di moltiplicazione per la coordinata nello spazio delle funzioni
continue sulla retta reale rapidamente decrescenti, con la norma uniforme.
Cenno agli spazi topologici ed agli spazi vettoriali topologici.
Un operatore lineare tra spazi normati e' continuo se e soltanto se e' continuo
in zero ed e' limitato se e soltanto se e' continuo (entrambi i teoremi con
dimostrazione). Nozione di dualita', funzionali su di uno spazio vettoriale,
funzionali lineari e spazio vettoriale duale. Primi esempi in dimensione finita.

(20) Mercoledi 13 Maggio:  isomorfismo (non canonico) di uno spazio vettoriale
con il suo duale in dimensione finita. Biduale di uno spazio vettoriale,
immersione canonica di uno spazio vettoriale arbitrario nel suo biduale,
spazi vettoriali riflessivi.
Primi esempi del duale in dimensione infinita: il duale di R^infty (lo spazio
di tutte le successioni) e di l^f (le successioni definitivamente nulle).
Norma di un funzionale lineare limitato, duale normato, il duale normato di
(R^n,||.||_p) con 1 < p < infty e' (R^n,||.||_q) con 1/p + 1/q = 1, con
dimostrazione.

(22) Giovedi 14 Maggio: il duale di l^p e' l^q, dove p e q sono indici coniugati
(cenno di dimostrazione); il caso particolare p = q = 2 dello spazio euclideo
nel quale il duale si puo' identificare con lo spazio di partenza.  
Studio dettagliato del duale dello spazio funzioni continue su [a,b] con la norma
uniforme: funzionali lineari limitati associati a funzioni continue su [a,b] ed a
funzioni sommabili su [a,b] e calcolo della loro norma; le delta di Dirac e loro
interpretazione fisica. 

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(24) Lunedi 18 Maggio: convergenza debole di successioni in spazi vettoriali normati:
definizione, unicita' del limite debole, il limite forte (in norma) implica il limite
debole, equivalenza in dimensione finita, le successioni debolmente convergenti sono
limitate in norma (senza dimostrazione), criterio per la convergenza debole tramite
un insieme di funzionali con span denso nel duale (senza dimostrazione).
Esempi: la successione dei vettori della base canonica in l^2, convergenza uniforme
e norma dell'estremo superiore in C[a,b], delta di Dirac nel duale di C[a,b] e
convergenza puntuale.
Esercizio per casa: dimostrare che la delta di Dirac non e' un funzionale limitato
nello spazio C[a,b] con la norma integrale quadratica, ||.||_2.

(26) Martedi 19 Maggio: convergenza *-debole in spazi normati: definizione, osservazioni
varie, dimostrazione che e' piu' debole in generale della convergenza debole, cenno ai
compatti *-deboli. Esempio di convergenza *-debole alla delta di Dirac di una successione
di funzionali dati dall'integrale su funzioni triangolari, generalizzazioni.
Distribuzioni: lo spazio fondamentale D(R) delle funzioni C^infty(R) a supporto compatto
in R con la convergenza uniforme delle successioni e delle loro derivate su un compatto
fissato. Continuita' dell'operatore di derivazione d/dx in D(R). 

(28) Mercoledi 20 Maggio: lo spazio D'(R) delle distribuzioni (o funzioni generalizzate)
come duale topologico di D(R). Successioni di distribuzioni e convergenza *-debole,
distribuzioni regolari e singolari. Prodotto di una funzione C^infty(R) per una distribuzione,
derivata (debole) di una distribuzione. Naturalezza delle definizioni date. Esempi: la funzione
a gradino di Heaviside, la delta di Dirac ed il valor principale di 1/x.

(30) Giovedi 21 Maggio: spazi euclidei (reali): definizione del prodotto scalare, diseguaglianza
di Cauchy-Schwartz, angolo formato da due vettori non nulli ed ortogonalita', norma indotta,
esempi in dimensione finita ed infinita. Cenni agli spazi euclidei complessi.
Sistemi di vettori ortogonali ed ortonormali, indipendenza lineari di sistemi ortogonali,
coefficienti di Fourier, diseguaglianza di Bessel, identita' di Parseval e sistemi
ortonormali chiusi, equivalenza di questi ultimi con i sistemi ortonormali completi
(con dimostrazione).

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(32) Lunedi 25 Maggio: le somme parziali n-esime delle serie di Fourier sono le migliori
approssimazioni di una funzione data (in norma euclidea) tra le combinazioni lineari di
phi_1,...phi_n, con {phi_i} sistema ortogonale. Esempi di sistemi ortogonali completi
in dimensione finita ed infinita, ortogonalita' e completezza del sistema trigonometrico
in L^2[0,2pi] tramite il teorema di Weierstrass per funzioni continue periodiche ed i
mollificatori (cenno a questi ultimi ed alla convoluzione di due funzioni).
Spazi euclidei separabili, uno spazio euclideo separabile ammette sistemi ortogonali al
piu' numerabili, esempio di uno spazio euclideo non separabile.

(34) Martedi 26 Maggio: La delta di Dirac come funzionale lineare non limitato nello
spazio delle funzioni continue con norma integrale quadratica.
Composizione della delta di Dirac con funzioni differenziabili f aventi solamente zeri
semplici, delta(f(x)), esercizi. Le successioni di distribuzioni possono essere derivate
termine a termine (senza dimostrazione), esercizi. 
Nozioni di spazio di Banach e di spazio di Hilbert, esempi.
Il duale di uno spazio normato e' uno spazio di Banach (senza dimostrazione).
Uno spazio euclideo separabile ammette sistemi ortogonali al piu' numerabili
(con dimostrazione), vari esempi di spazi euclidei separabili ed un esempio di
spazio euclideo non separabile.

(36) Mercoledi 27 Maggio: Teorema di Riesz-Fisher (con dimostrazione), se un sistema
ortonormale e' completo, una funzione non nulla non puo' avere coefficienti di Fourier
tutti nulli e viceversa (con dimostrazione). Nozione di isomorfismo di spazi euclidei,
esempi in dimensione finita, teorema di isomorfismo per gli spazi di Hilbert separabili
(con dimostrazione). Esercizi sulle distribuzioni coinvolgenti la delta'(f(x)) e
la (delta(f(x)))' con "f" funzione differenziabile avente solamente zeri semplici.

(38) Giovedi 28 Maggio: proiezione di lucidi contenenti grafici di somme parziali,
di diversi ordini, di serie di Fourier di vari tipi di funzioni (C_per^infty[-pi,pi],
C_per[-pi,pi], con un salto finito, con singolarita' integrabili, ecc.), cenno al
fenomeno di Gibbs.
Basi ortogonali in L^2[0,pi], relazione tra la regolarita' di una funzione e la
decrescenza dei suoi coefficienti di Fourier, coefficienti di Fourier in L^1[-pi,pi],
lemma di Riemann-Lebesgue (non dimostrato). Assegnati esercizi sulle serie di
Fourier.

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(40) Lunedi 1 Giugno: spazi euclidei complessi e base di Fourier complessa.
Dimostrazione del lemma di Riemann-Lebesgue ed esempi relativi all'andamento
asintotico dei coefficienti di Fourier per funzioni L^1[-pi,pi] ed L^2[-pi,pi].
Derivazione del nucleo di Dirichet e sue proprieta' principali, cenno
all'esempio di Kolmogorov di una funzione in L^1[-pi,pi] con serie di Fourier
divergente in tutti i punti e dell'insufficienza della continuita' per la
convergenza puntuale delle serie di Fourier, cenno al nucleo di Fejer. 
Esercizio sulla convergenza *-debole di una successione di funzionali al
valore principale di 1/x.

(42) Mercoledi 3 Giugno: Teorema sulla convergenza puntuale di serie di
Fourier per funzioni sommabili in [-pi,pi] e soddisfacenti alla condizione
di Dini (con dimostrazione), versione del teorema relativa alla convergenza
uniforme (senza dimostrazione).
Proprieta' delle serie di Fourier sotto derivazione e sotto convoluzione.
Risoluzione di esercizi assegnati in precedenza sulle serie di Fourier.

(44) Giovedi 4 Giugno: La trasformata di Fourier e la sua inversa come limite
formale rispettivamente dei coefficienti di Fourier e della serie di Fourier
di una funzione periodica di periodo T per T -> infinito.
Teorema sulla convergenza puntuale della trasformata di Fourier di una funzione
assolutamente integrabile sulla retta e che verifica la condizione di Dini
in ogni punto dell'asse reale (con dimostrazione).
Limitatezza della trasformata di Fourier di una funzione sommabile sulla retta,
rapida decrescenza all'infinito della trasformata di Fourier di una funzione regolare,
ossia sommabile (ed assolutamente continua) sulla retta  con derivata sommabile e
generalizzazioni.

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(46) Lunedi 8 Giugno: rapida decrescenza di una funzione all'infinito e regolarita'
della trasformata di Fourier, decadenza esponenziale di una funzione ed analiticita'
della sua trasformata di Fourier in una striscia orizzontale centrata sull'asse reale,
esempi. La trasformata di Fourier mappa la convergenza in L^1(R) nella convergenza
uniforme in L^infty(R), la trasformata di Fourier di una funzione L^1(R) e' continua
(uniformemente continua) e va a zero all'infinito. Lo spazio delle funzioni di Schwartz
S^infty(R) e la trasformata di Fourier in S^infty(R); nozione di operatore aggiunto
(di Hilbert) ed unitario; il teorema di Plancherel in S^infty(R) ed il L^2(R).

(48) Martedi 9 Giugno: Calcolo della trasformata di Fourier di una gaussiana e della
sua derivata; discussione sulla diagonalizzazione della trasformata di Fourier in
L^2(R). Calcolo della trasformata di Fourier della funzione exp(-a |x|), a > 0.
Teorema di Riesz sul duale di uno spazio di Hilbert (cenno di dimostrazione). 
Aggiunto (di Hilbert) di un operatore lineare limitato, operatori autoaggiunti
(o hermitiani), unitari e normali, esempi.
Risolvente di un operatore lineare, insieme risolvente e spettro: il caso
finito-dimensionale.

(50) Mercoledi 10 Giugno: Risolvente di un operatore lineare limitato su di uno
spazio normato nel caso generale infinito-dimensionale. Insieme risolvente,
spettro puntuale (o discreto), continuo e residuo, proprieta' principali.
Lo spettro dell'operatore di creazione e di distruzione pensati come operatori
da l^2 in l^2.
Esercizio: la successione di funzionali f_n(x) = x/(x^2 + 1/n^2), n = 1,2,3...,
convergente *-debolmente al valore principale di 1/x.

(52) Giovedi 11 Giugno: prova scritta di esonero.

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