Diario delle lezioni del corso di MMMF (analisi funzionale), AA 2020-21, aula Amaldi ======================================================= 12/04/2021 (10-12) (2) Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali di dimensione n sono isomorfi a C^n. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Sottospazi vettoriali con esempio. Lo "Span" (inviluppo lineare) di un insieme di vettori. ============================================ 13/04/2021 (16-18) (4) Spazi normati: definizione ed esempi: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme) nel caso finito dimensionale. Disuguaglianza di Young, di Holder e di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1 (in R^3 esercizio per gli studenti). Equivalenza di norme nel caso finito dimensionale. Calcolo di norme nel caso finito dimensionale. Spazi di successioni: l_f, l_p, l_0, l_infinito, e relative norme. ========================================== 14/04/2021 (16-18) (6) Inclusioni tra gli spazi l_f, l_p, l_0, l_infinito, C^infty. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p. Spazi funzionali (C(I),||.||_p), (C(I),||.||_\infty), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). Se I e' finito e p). Operatori lineari. Lo spazio degli operatori lineari come spazio vettoriale. Dominio, immagine e Ker dell'operatore. Continuita' e limitatezza di un operatore, e loro equivalenza nel caso di operatore lineare. Norma ||A|| di un operatore lineare A limitato. Il funzionale lineare f e' un operatore lineare da un spazio vettoriale V all'insieme dei numeri complessi: f:V->C. La codimensione del Ker(f) e' uguale a 1. Esempi di funzionali lineari: i) la componente i-esima di un vettore rispetto ad una data base di V, con V=C^n o l_2, e la base duale. ii) Il funzionale lineare f(x)=\sum f_k x_k, con x successione. iii) Il prodotto scalare (x_0,.) e' un funzionale lineare, con f(x)=(x_0,x), e ||f||=||x_0||. Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare continuo f:E->C esiste unico x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E, con ||f||=||x_0||_E (senza dim). ================================================= 27/04/2021 (18) iv) Il funzionale integrale definito Int(\phi)=\int_a^b\phi(t)dt. v) Il funzionale piu' generale F definito da F(\phi)=\int_a^b f(t)\phi(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni \phi(t)\in C[a,b], dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il funzionale. Loro norme: ||Int||=b-a; ||F||=||f||_1, se \phi e' C[a.b] con norma ||.||_infty. Loro norme: ||Int||=b-a; ||F||=||f||_1, se \phi e' C[a.b] con norma ||.||_infty. Uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che il funzionale lineare F(x)=\sum f_k x_k, con x appartenente a l_p, ha norma: ||F||=||f||_q, con f appartenente a l_q, e 1/p+1/q=1. Analogamente, il funzionale F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L^p, ha norma: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1 (senza dimostrazione). Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. Densita' di massa di un punto materiale e introduzione fisica alla delta di Dirac attraverso un'opportuna successione di funzioni. Confronto critico con la definizione rigorosa. Uso degli spazi S(R) e K(R) per le funzioni di prova. =========================================== 28/04/2021 (20) Distribuzione (regolare) come funzionale lineare continuo e distribuzione. Se f appartiene a L^1_loc e \phi a K(R) la distribuzione e' regolare. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx); esempi: la gaussiana, la lorenziana, e il nucleo di Dirichlet. Loro convergenza debole e non forte. Contributo della delta agli estremi di integrazione. Proprieta' della delta: la delta di funzione; esercizio. Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa. Altre proprieta' della delta. Esercizio per casa. ============================================== 30/04/2021 (22) Derivata di una funzione discontinua con discontinuita' semplice. Esempio: derivata della funzione "parte intera". Esercizi. Lemma di Riemann-Lebesque. La convergenza della successione di Dirichlet (che descrive la diffrazione da fenditura) alla delta di Dirac (nel caso di funzione di prova continua), e condizione di Dini. ========================================== 03/05/2021 (24) La convergenza della successione di Dirichlet alla delta di Dirac, nel caso di funzione di prova discontinua. Ortonormalita' e completezza attraverso la delta. Costruzione della serie di Fourier di una funzione di L^2[-\pi,\pi], e convergenza in norma euclidea. Coefficienti di Fourier e formula di Parseval. Base dei monomi trigonometrici e degli esponenziali. Calcolo esplicito dei coefficienti della serie di Fourier delle funzioni f(x)=x,x^2. La somma della serie di Fourier S(x) di f(x) come prolungamento 2\pi-periodico di f(x) su tutto R, e non convergenza puntuale nei punti di discontinuita' del prolungamento. Uso della relazione di Parseval per il calcolo di serie numeriche notevoli. Somma di altre serie numeriche notevoli per opportuni valori di x. ======================================== 04/05/2021 (26) Per la funzione x^2, uso della relazione di Parseval per il calcolo di serie numeriche notevoli, e somma di serie numerica notevole per x=0. Il problema della convergenza puntuale della serie di Fourier come problema di convergenza debole della successione di funzionali rappresentati dal nucleo di Dirichlet. Derivazione e proprieta' del nucleo di Dirichlet. Teorema di convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier alla funzione f(x) in un punto di continuita', e condizione di Dini. Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x), e condizione di Dini sul rapporto incrementale destro e sinistro. Rivisitazione degli esempi delle funzioni $x$ e $x^2$ alla luce del teorema. Serie di Fourier della funzione gradino, il cui prolungamento periodico e' l'onda quadra, proprieta' di convergenza puntuale. Data la funzione f(x) e la sua serie di Fourier, quando e' vero che la serie di Fourier di f'(x) e' la derivata della serie di Fourier di f(x)? Regolarita' della funzione, periodica con le sue derivate, e rapidita' di convergenza a zero dei suoi coefficienti di Fourier. =========================================== 05/05/2021 (28) Esercizio in cui sono assegnati i coeff. di Fourier, che vanno a zero esponenzialmente, e calcolo della somma f(x) della SF e della sua norma euclidea. Calcolo della somma della serie di Fourier sfruttando la conoscenza della somma di serie di Taylor e Laurent. Confronto tra il grafico di f(x) e quello della serie di Fourier troncata, al crescere del numero di termini. Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x) e dettagli analitici relativi al fenomeno di Gibbs, attraverso considerazioni meno rigorose ma corrette. ============================================== 07/05/2021 (30) La base dei seni e quella dei coseni nell'intervallo [-\pi,\pi], e i relativi sviluppi di Fourier. La serie di Fourier su un intervallo (a,b) arbitrario. La serie dei seni e quella dei coseni nell'intervallo nell'intervallo (0,L), e cenni sulle possibili applicazioni. La serie di Fourier su un intervallo (a,b), il suo limite b->\infty e a->-infinity, e la trasformata e anti-trasformata di Fourier, con relazione di Plancherel. Formule per l'ortonormalita' e completezza dell'insieme continuo di esponenziali {exp(ikx)/\sqrt{2\pi}}, per k reale. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' uniformemente limitata. ============================================== 10/05/2021 (32) Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' continua in R, e converge a zero per |k|->\infty. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, continua in x, e vale la condizione di Dini, allora l'antitrasformata di Fourier converge puntualmente a f(x); se f(x) ha una discontinuita' semplice in x ed e' soddisfatta la condizione di Dini a sinistra e a destra della discontinuita', allora l'antitrasformata di Fourier converge al valor medio del limiti destro e sinistro. Se f e' assolutamente integrabile, la sua TF appartiene a L_{infty}, ma non e' assolutamente integrabile; quindi non c'e' la simmetria che uno si aspetterebbe, essendo gli operatori trasformata e antitrasformata di Fourier simmetrici. Esempio in cui si mostra che, se f appartiene a L^2 ma non a L^1, la sua TF e' singolare per k=0 ma appartiene a L^2. [[Il resto del capitolo sulla TF sara' fatto da Alfredo Urbano]]. Riassunto di quanto gia' sappiamo sugli operatori lineari su spazi normati: continuita', limitatezza, norma, dominio, Ker, Immagine e la relazione che lega le loro dimensioni nel caso finito dimensionale. Esempio di calcolo di nucleo e immagine di una matrice, intesa come operatore da C^n a C^n. ============================================ 11/05/2020 (34) Esempi di operatori lineari considerati nel corso: matrici, operatori di proiezione ortogonale, derivata, integrale, traslazione, moltiplicazione, traslazione sinistra e destra in l_2, operatore integrale di Fredholm. Rappresentazioni matriciali di operatori rispetto ad una base dello spazio. Esempi: un esempio finito dim.; la rappresentazione matriciale degli operatori di traslazione destra e sinistra in l_2 rispetto alla base canonica. Per casa: la rappresentazione matriciale della derivata, dell'integrale e dell'operatore di traslazione, rispetto alla base dei monomi. Inverso A^{-1} di un operatore A:X->Y. L'inverso esiste se, per ogni y in Y, esiste unico x in X tale che Ax=y (surgettivita'). L' unicita' (iniettivita') piu' linearita' equivalgono alla condizione che Ker(A) e' banale. Esistenza ed unicita' sono proprieta' equivalenti nel caso finito dim; non lo sono nel caso infinito dim. Esempi: Gli operatori di traslazione destra E^- e sinistra E^+ in l_2 non sono invertibili come operatori da l_2 a l_2. L'operatore E^- di traslazione destra lo diventa come operatore l_2 -> Im(E^-) (contenuta strettamente in l_2), con inverso E^+; l'operatore E^+ di traslazione destra lo diventa come operatore Im(E^-)->l_2, con inverso E^-. Calcolo delle norme di E^+ e E^-. Operatori su spazi finito dimensionali sono limitati, e calcolo della norma ||A||_2 di matrici. Gli operatori di Fredholm (Kf)(x)=\int_a^bK(x,t)f(t)dt da L_2[a,b] a L_2[a,b] sono limitati, e calcolo della loro norma euclidea; relazione formale col caso della moltiplicazione di matrice per vettore colonna. La norma dell'operatore di proiezione ortogonale. ============================================== 12/05/2020 (36) L'operatore di moltiplicazione per x e' limitato se x appartiene ad un intervallo limitato, non e' limitato altrimenti. L'operatore di derivazione non e' limitato ne' in norma euclidea ne' in norma del sup. La somma e il prodotto di operatori limitati sono operatori limitati. Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach (senza dimostrazione). Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Primo esempio: Exp(A). Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. Le proprieta' i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A), con A operatore limitato su spazio di Banach. iii) Verifica che x(t)=exp(tA)c e' la soluzione del sistema di equazioni differenziali del prim'ordine dx/dt=Ax, con x(0)=c in C^n, e A e' una matrice nxn costante. Se ||A||<1, allora (1-A)^{-1} e' sviluppabile attraverso la serie geometrica \sum_k A^k; applicazione: la soluzione del problema lineare (1-A)x=y nello spazio di Banach X, dove A:X->X e y in X sono assegnati. La soluzione attraverso la serie di Neumann x=\sum_k h_k, h_(k+1)=A h_k, h_0=y. Stima dell'errore commesso troncando la serie geometrica. ============================================== ============================================== 14/05/2021 (4) Lezione Urbano La TF della gaussiana e' una gaussiana, ma con deviazione standard opposta; quindi, piu' e' localizzata f(x) e meno e' localizzata la sua TF (e viceversa). Calcolo dell'antitrasformata (esercizio per gli studenti). Calcolo della TF della lorenziana e dell'onda monocromatica tagliata, al variare dell'intervallo temporale in cui e' diversa da zero. Calcolo delle anti trasformate (esercizio per gli studenti). Calcolo di trasformata e anti-trasformata per il gradino, la delta e la derivata della delta. Altre proprieta' della TF con dimostrazione ed esercizi relativi. TF di funzione reale, di funzione pari o dispari. Relazione tra la regolarita' di f(x) e la rapidita' di convergenza a zero della sua TF (e viceversa). Deduzione: la TF mappa funzioni di S(R) in funzioni di S(R). Poiche' S(R) e' denso in L^2(R) rispetto alla norma euclidea, allora la TF mappa funzioni di L^2(R) in funzioni di L^2(R). Il prodotto di convoluzione f(x)=(f_1*f_2)(x) di due funzioni f_1 e f_2, con (f_1*f_2)(x)=(f_2*f_1)(x). Se f_1,f_2 appartengono a L^1(R), anche f appartiene a L^1(R). ============================================== 17/05/2021 (6) Lezione Urbano Teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione. La risposta di un sistema ad un dato input e' descritta da un'equazione del tipo: R(t)=\int K(t,t')I(t')dt', dove K e' la funzione di suscettivita' del sistema, I e' l'input (entrata) e R e' la risposta (output, uscita). Se la fisica e' lineare, K non dipende da I, e quindi: se l'input I_1 genera la risposta R_1 e l'input I_2 genera la risposta R_2, allora l'input (I_1+I_2) genera la risposta (R_1+R_2). Se la fisica e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. Se il problema e' anche causale, allora G(t-t')=0 se tH, definizione di operatore aggiunto (hermitiano coniugato); esistenza ed unicita' dell'operatore aggiunto, sua rappresentazione matriciale; altre proprieta' rilevanti. Se M e' invariante rispetto ad A, il suo complemento ortogonale e' invariante rispetto ad A^+. Operatore auto-aggiunto (hermitiano) e sua rappresentazione matriciale. La forma quadratica corrispondente (forma hermitiana) e' reale se e solo se A e' auto-aggiunto. ============================================== 19/05/2021 (40) Rappresentazione cartesiana di un operatore. L'operatore di Fredholm ed il suo hermitiano coniugato; condizione affinche' l'operatore di Fredholm sia hermitiano. L'operatore derivata in meccanica quantistica e' anti-hermitiano sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). L'operatore quantita' di moto -i d/dx in meccanica quantistica e' hermitiano sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). L'operatore Hamiltoniano H=-d^2/dx^2 + V(x), con l'energia potenziale V(x) reale, e' hermitiano quando una delle seguenti condizioni al bordo e' soddisfatta: i) condizioni miste e omogenee, ii) condizioni di periodicita', e iii) appartenenza a L_2(R). L'operatore di Sturm-Liouville e' hermitiano quando una delle tre condizioni di cui sopra e' soddisfatta. Definizione di proiettore e sua caratterizzazione come operatore idempotente. Operatore di proiezione ortogonale come operatore idempotente ed hermitiano. ============================================== 21/05/2021 (42) La rappresentazione di un operatore di proiezione ortogonale attraverso la base ortonormale dello spazio sul quale proietta, la notazione vettoriale e quella di Dirac. Verifica dell'idempotenza e hermitianita' dell'operatore (per casa). Esempi di costruzione di operatori di proiezione ortogonale su alcuni sottospazi. Operatori unitari. Definizione ed esempi: la traslazione Tf(x)=f(x+a) e la trasformata di Fourier. Proprieta' di operatori unitari: norma =1, trasformazione di sistemi ortonormali in sistemi ortonormali, esistenza dell'inverso, anch'esso unitario, UU^+=U^+U=1, U^+=U^{-1}, il prodotto di due operatori unitari e' unitario. Per le matrici unitarie, i vettori colonna costituiscono una base ortonormale; lo stesso per i vettori riga. Le rotazioni in R^n sono matrici unitarie e reali (cioe' ortogonali). ============================================== 24/05/2021 (44) Gli operatori E^+ e E^+- non sono unitari. Spettro di operatori limitati. Riassunto delle proprieta' nel caso finito dimensionale. Teoria spettrale per operatori su spazi infinito-dimensionali. Insieme risolvente \rho(A) e operatore risolvente R_lambda(A)=(A-lambda I)^{-1}. Definizione di spettro discreto o puntuale (la stessa del caso finito dimensionale). Definizione di spettro continuo e residuo. Il perche' del termine "operatore risolvente". Se A e' limitato, l'insieme risolvente e' un aperto di C, mentre lo spettro e' un insieme chiuso e limitato. Il risolvente e' un operatore analitico rispetto a lambda appartenente a \rho(A), con dR/dlambda =R^2. Se \rho(A) e' l'insieme risolvente di A, l'insieme risolvente di A^+ e' il complesso coniugato di \rho(A). Idem per lo spettro. Se A e' hermitiano e limitato, allora il suo spettro (discreto o continuo) e' un compatto dell'asse reale. ============================================== 25/05/2021 (46) Nel caso di spettro discreto per A hermitiano, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se U e' un operatore unitario limitato, il suo spettro e' un compatto della circonferenza unitaria; riguardo al suo spettro discreto, gli autovettori di U sono gli autovettori di U^+. Inoltre, come per operatori hermitiani, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se P e' un proiettore (P^2=P), i suoi autovalori sono o zeri o uni. Spettro discreto di f(A) dalla conoscenza dello spettro discreto di A. Se lambda appartiene allo spettro residuo di A, allora il suo complesso coniugato appartiene allo spettro discreto di A^+. Se lambda appartiene allo spettro continuo di A, allora R_{lambda}(A) e' illimitato e, tipicamente, esistono soluzioni dell'equazione agli autovalori non appartenenti a H (a L_2 o a l_2), ma limitate, appartenenti cioe' a L_infty o a l_infty (e' quest'ultima la definizione di spettro continuo usata in fisica), che possono essere approssimate da successioni w^(n) di H tali che ||(A-lambda)w^(n)||->0. Legame con la non limitatezza dell'operatore risolvente. Lo spettro degli operatori E^+ e E^-. {|lambda|<1}=spettro discreto di E^+; {|lambda|=1}=spettro continuo di E^+, con costruzione degli approssimanti, e verifica che il risolvente e' illimitato. E^- non ha spettro discreto. ============================================== 26/05/2021 (48) {|lambda|<=1}=spettro residuo di E^- (l'uguaglianza senza dimostrazione). L'operatore hermitiano non ha spettro residuo. Lo spettro di p=-id/dx in L_2[a,b] e' C, ed e' discreto. Lo spettro di p=-id/dx in L_2[a,b] con f(a)=f(b) e' discreto, con lambda_n=2\pi n/(b-a) con n intero qualsiasi, e f_n(x)=exp(2\pi i n x/(b-a)) (la base di Fourier). Lo spettro di p=-id/dx in L_2(R) e' R, ed e' continuo. Lo spettro di p^2=-d^2/dx^2 (energia cinetica in MQ) in L^2[0,L], con f(0)=f(L)=0 e' discreto; se in L^(R) e' R^+, ed e' continuo. Lo spettro dell'operatore posizione in L^2[a,b] e' [a,b], ed e' continuo. ============================================== 28/05/2021 (50) Spettro dell'operatore di traslazione. Operatori di rango finito: la diade, la somma di prodotti diadici e loro dominio, immagine finito dimensionale, Ker. Limitatezza dell'operatore diadico. Esempio nel caso di operatore integrale di Fredholm. Equazione integrale di Fredholm con nucleo diadico e risoluzione della stessa attraverso la risoluzione di un sistema algebrico lineare finito dimensionale. Lo spettro di un operatore di rango finito del tipo somma di diadi, e riduzione dell'equazione agli autovalori all'equazione agli autovalori di una matrice nxn, dove n e' la dimensione dell'immagine dell'operatore. Esempio di operatore di Fredholm di rango finito e soluzione dell'equazione agli autovalori. ============================================== 31/05/2021 (52) Se l'operatore A ha Ker non banale, i vettori del Ker(A) sono autovettori con autovalore nullo. Esempi: l'operatore integrale su L^2[-1,1] del tipo somma di diadi studiato nella lezione precedente, e l'operatore A=2|e^(1)>< e^(1)|. Ripasso di cose fatte in altri corsi: i) diagonalizzazione di una matrice, se gli autovettori formano una base dello spazio, attraverso la trasformazione di similitudine con matrice che ha gli autovettori come vettori colonna. La trasformazione di similitudine coinvolge matrici unitarie se gli autovettori della base sono ortonormali. ii) Il teorema spettrale per operatori auto-aggiunti su spazi finito dimensionali. Funzione di matrice attraverso la conoscenza di autovalori e autovettori. Operatori hermitiani che commutano e base ortonormale comune di autovettori. Operatori normali (tali che N N^+ = N^+ N) come la classe piu' ampia di operatori che possiedono una base ortonormale di autovettori. Gli operatori hermitiani e unitari sono casi particolari di operatori normali. Proprieta' degli operatori normali, per i quali vale il teorema spettrale, come per operatori hermitiani. ============================================== Fine argomenti relativi ai due appelli della sessione estiva ============================================== 01/06/2021 (54) La funzione di Green di un operatore differenziale L_x e' la funzione g(x,y) tale che L_x g(x,y)=delta(x-y). Dato il sistema non omogeneo L_x u=f, dove f(x) e' una forzante assegnata, la funzione di Green di L_x e' la risposta del suddetto sistema ad un input impulsivo. Due funzioni di Green differiscono per un elemento del Ker dell'operatore L_x. Nota la funzione di Green g(x,y) di L_x, u si esprime attraverso g nel seguente modo: u=\int g(x,y)f(y)dy. La funzione di Green di operatori del prim'ordine. La funzione di Green generale dell'operatore del secondo ordine in forma canonica L_x=d^2/dx^2-V(x), nota se e' nota una soluzione particolare dell'omogenea. I casi particolari delle funzioni di Green ritardata ed avanzata. Il caso particolare dell'operatore dell'oscillatore armonico e le relative funzioni di Green. Due esercizi sull'oscillatore armonico forzato. ============================================== 04/06/2021 (56) Espressione della funzione di Green di un operatore che possiede un sistema ortonormale di autofunzioni. Uso della funzione di Green per convertire un'equazione differenziale con condizioni al contorno in un'equazione integrale, e vantaggi di quest'ultima formulazione. La delta di Dirac in R^n. La funzione di Green del laplaciano in R, R^2 e R^3. Dalla TF alla trasformata e anti-trasformata di Laplace per funzioni f(x) localmente in L_1(R^+), che possono divergere a + infinito come exp(gamma x), gamma>0. ============================================= 07/06/2021 (58) Calcolo dell'anti-TL quando la TL e' i) (p^2 +1)^(-1) o ii) 1/(p-a). Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace di f'(x) e di f''(x). Uso della TL per risolvere equazioni differenziali lineari di ordine arbitrario con condizioni iniziali assegnate. Due esempi. ============================================ 08/06/2021 (60) Sistema dinamico e traiettoria nello spazio delle fasi R^n. Punti d'equilibrio stabile ed instabile. Il sistema dinamico linearizzato intorno alla posizione d'equilibrio: x_t = A x e soluzione del problema di Cauchy: x(t)=exp(At)x_0. Autovalori e autovettori di A nel caso in cui gli autovettori siano una base dello spazio; se le parti reali degli autovalori sono negative o nulle, il punto d'equilibrio e' stabile; se la parte reale di almeno un autovalore e' positiva, allora l'equilibrio e' instabile. Se tutti gli autovalori hanno parte reale nulla allora l'equilibrio e' neutralmente stabile. Classificazione: nodi instabili (sorgenti), nodi stabili (pozzi) e punti di sella, centri, pozzi e sorgenti a spirale. ========================================== FINE MIE LEZIONI =========================================== 09/06/2021 (8) Lezione di Urbano Problema di Cauchy sulla retta per l'equazione di Schrodinger. Posizione del problema: la particella libera in meccanica quantistica. Metodo di soluzione attraverso la trasformata di Fourier. Il propagatore o "soluzione fondamentale", definizione e proprietà. Evoluzione unitaria della particella libera. Dinamica del pacchetto d'onde gaussiano. Dispersione del pacchetto d'onde. ======================================== 11/06/2021 (10) Lezione di Urbano La conduzione del calore. Posizione del problema: legge di Fourier ed equazione del calore. Problema di Cauchy sulla retta per l'equazione del calore. Esempio: la distribuzione iniziale a gradino. La corda vibrante. Posizione del problema: vibrazioni trasverse ed equazione della corda in approssimazione lineare. Condizioni al bordo di Dirichlet. Metodo risolutivo attraverso separazionne di variabili. Esempi: il caso della corda pizzicata e della corda martellata. Condizioni al bordo di Neumann. Equazione del calore sul segmento. Esempi: la sbarretta isolata e la sbarretta in contatto termico con sorgenti esterne. ============================== FINE CORSO ==============================