Diario delle lezioni del corso di MMMF (analisi funzionale), AA 2021-22, aula Amaldi lunedi': 14-16, martedi': 8-10, mercoledi': 15-16, giovedi': 10-12, venerdi': 8-10 ======================================================= 07/04/2022 (10-12) (2) Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali di dimensione n sono isomorfi a C^n. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Dipendenza ed indipendenza lineare di m <= n di V_n. Sottospazi vettoriali con esempio. Somma diretta di spazio vettoriali con esempio. Esercizio per casa: mostrare che sin x e cos x sono indipendenti. ============================================ 08/04/2022 (8-10) (4) Spazi normati: definizione ed esempi: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme) nel caso finito dimensionale. Disuguaglianza di Young, di Holder e di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1. Equivalenza di norme nel caso finito dimensionale. Calcolo di norme nel caso finito dimensionale. Spazi di successioni: C^infty e l_infty; l_infty come spazio normato. Esercizio per casa: significato geometrico in R^3 delle palle di raggio 1. ========================================== 11/04/2022 (14-16) (6) Spazi di successioni: l_0, l_p, l_f e relative norme. Inclusioni tra gli spazi l_f, l_p, l_0, l_infinito, C^infty. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p diversi. Spazi funzionali (C(I),||.||_p), (C(I),||.||_\infty), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). Se I e' finito e p). Insieme X denso in (M,d). Esempi: l'insieme dei razionali e' denso nei reali. l_f e' denso in (l_0,||.||_inf). L'insieme dei polinomi e' denso in C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. L'insieme dei polinomi trigonometrici e' denso in C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p (da dimostrare nella lezione successiva). Esercizio per casa: l_f e' denso in (l_p,||.||_p). ============================================= 21/04/2022 (10-12) (12) Fine dimostrazione lezione precedente. Span (inviluppo lineare) di un insieme di vettori con esempi. Insieme completo di vettori e base di uno spazio metrico infinito-dimensionale. Esempi: l'insieme delle successioni di versori canonici e' una base per gli spazi (l_0,norma sup) e (l_p, norma p); l'insieme dei monomi e' una base per C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei monomi trigonometrici e' una base per C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. Lo spazio delle funzioni continue periodiche al bordo e' denso (in norma p, ma non in norma infinito) nello spazio delle funzioni continue, che e' denso in norma p nello spazio delle funzioni costanti a tratti, che e' denso in L_p (dimostrazione non rigorosa). Quindi sia l'insieme dei monomi trigonometrici che l'insieme dei monomi sono densi in L_p rispetto alla norma p. Spazio metrico separabile con esempi: gli spazi R, R^n, C, C^n, l_0, l_p, L_p sono spazi metrici separabili. ============================================== 22/04/2022 (08-10) (14) Definizione di prodotto scalare e di spazio euclideo. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (CS) e nozione di angolo tra due vettori. Lo spazio euclideo e' anche spazio normato (e metrico). Ortogonalita' tra due vettori. Ortonormalita' di un insieme di vettori. Teorema di Pitagora per due o piu' vettori ortogonali. Esercizio: usare CS per mostrare che ||fg||_1 minore o uguale a ||f||_2 ||g||_2. Esempi di spazi euclidei finito e infinito-dimensionali. Spazi euclidei separabili ed esistenza di base ortonormale attraverso il procedimento di Gram-Schmidt. Esercizio per casa: uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per mostrare che ||f||_1 minore o uguale a (b-a)^(1/2)||f||_2. ============================================= 26/04/2022 (08-10) (16) Minimi quadrati, proiezione ortogonale e disuguaglianza di Bessel per i coefficienti di Fourier. Complemento ortogonale e sue proprieta'. Disuguaglianza di Bessel, relazione di Parseval e base ortonormale. Isomorfismo tra spazio di Hilbert separabile H e l_2: la successione dei coefficienti di Fourier di un generico vettore di H appartiene a l_2 e, viceversa, a ogni successione di l_2 corrisponde un vettore di H. L'isomorfismo e' non solo lineare, ma anche euclideo. CNES affinche' un insieme di vettori ortonormali sia una base dello spazio di Hilbert separabile H e' che, se un vettore v\in H e' ortogonale a tutti gli elementi dell'insieme, allora v=0 (senza dimostrazione). ====================================== 27/04/2022 (15-16) (17) L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in (-1,1), rispetto al peso 1, da' luogo ai polinomi di Legendre; digressione sul ruolo in fisica dei polinomi di Legendre; funzione generatrice e formula di ricorrenza. ======================================== lezione del 28/04/22 cancellata per esonero di EM ============================================== 29/04/2022 (08-10) (19) L'insieme dei monomi ortonormalizzato invece in (-\infty,\infty), rispetto al peso gaussiano, da' luogo ai polinomi di Hermite. Ortonormalizzazione dei monomi trigonometrici (o dei corrispondenti esponenziali) in (-\pi,\pi), rispetto al peso 1. Operatori lineari. Lo spazio degli operatori lineari come spazio vettoriale. Dominio, immagine e Ker dell'operatore. Continuita' e limitatezza di un operatore, e loro equivalenza nel caso di operatore lineare. Norma ||A|| di un operatore lineare A limitato. Il funzionale lineare f e' un operatore lineare da un spazio vettoriale V all'insieme dei numeri complessi: f:V->C. Esempi di funzionali lineari: i) la componente i-esima di un vettore rispetto ad una data base di V, con V=C^n, e la base duale. ii) Il funzionale lineare f come combinazione lineare degli elementi della base duale, f(x)=\sum f_k x_k, con x in C^n, dove x_k sono le componenti di x in C^n, rispetto ad una data base, e f_k sono le componenti del funzionale f rispetto alla base duale. ================================= 02/05/2022 (14-16) (21) La codimensione del Ker(f) e' uguale a 1. Altri esempi di funzionali lineari: i) la componente i-esima di una successione, e il funzionale lineare f(x)=\sum f_k x_k, con x successione. ii) Il prodotto scalare (x_0,.) e' un funzionale lineare, con f(x)=(x_0,x), e ||f||=||x_0||. Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare continuo f:E->C esiste unico x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E, con ||f||=||x_0||_E (senza dim). iii) Il funzionale integrale definito Int(\phi)=\int_a^b\phi(t)dt. iv) Il funzionale piu' generale F definito da F(\phi)=\int_a^b f(t)\phi(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni \phi(t)\in C[a,b], dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il funzionale. Loro norme: ||Int||=b-a; ||F||=||f||_1, se \phi e' C[a.b] con norma ||.||_infty. ||F||=||f||_1, se \phi e' C[a.b] con norma ||.||_infty. Uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che il funzionale lineare F(x)=\sum f_k x_k, con x appartenente a l_p, ha norma: ||F||=||f||_q, e 1/p+1/q=1. Analogamente, il funzionale F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L^p, ha norma: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1 (senza dimostrazione). Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. ================================== 03/05/2022 (08-10) (23) Densita' di massa di un punto materiale e introduzione fisica alla delta di Dirac attraverso un'opportuna successione di funzioni che converge debolmente, e non fortemente, al funzionale delta. Confronto critico con la definizione rigorosa. Uso degli spazi S(R) e K(R) per le funzioni di prova. Distribuzione (regolare) come funzionale lineare continuo. Se f appartiene a L^1_loc e \phi a K(R) la distribuzione e' regolare. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx); esempi: la gaussiana, la lorenziana e il nucleo di Dirichlet. Loro convergenza debole. =========================================== 04/05/2022 (15-16) (24) La loro convergenza non e' forte. Contributo della delta agli estremi di integrazione. Altre proprieta' della delta; la delta di funzione; esercizio. ============================================== 05/05/2022 (10-12) (26) Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa. Ancora proprieta' della delta. Esercizi per casa. Derivata di una funzione discontinua con discontinuita' semplice. Esempio: derivata della funzione "parte intera". Esercizi per casa. Lemma di Riemann-Lebesque. La convergenza della successione di Dirichlet (che descrive la diffrazione da fenditura) alla delta di Dirac (nel caso di funzione di prova continua), e condizione di Dini (inizio). ========================================== 06/05/2022 (08-10) (28) La convergenza della successione di Dirichlet alla delta di Dirac, nel caso di funzione di prova continua e discontinua che soddisfa alla condizione di Dini. Una funzione Holderiana soddisfa alla condizione di Dini. Ortonormalita' e completezza attraverso la delta di Dirac. Rappresentazione della delta attraverso la trasformata di Fourier di 1. Soluzione di alcuni esercizi per casa. ======================================== 09/05/2022 (16:00-18:00 scambio di orario con La Cava) (30) La serie di Fourier di una funzione di L^2[-\pi,\pi], e convergenza in norma euclidea. Coefficienti di Fourier e formula di Parseval. Base dei monomi trigonometrici e degli esponenziali. Teorema di convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier alla funzione f(x) in un punto di continuita', e condizione di Dini. Convergenza della serie di Fourier in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x), e condizione di Dini sul rapporto incrementale destro e sinistro. La somma della serie di Fourier S(x) di f(x) come prolungamento 2\pi-periodico di f(x) su tutto R; non convergenza puntuale nei punti di discontinuita' del prolungamento. Uso della relazione di Parseval per il calcolo di serie numeriche notevoli. Somma di altre serie numeriche notevoli per opportuni valori di x. Esempi: serie di Fourier delle funzioni f(x)=x,x^2. ====================================== 10/05/2022 (32) Serie di Fourier della funzione gradino, il cui prolungamento periodico e' l'onda quadra, proprieta' di convergenza puntuale. Relazione di Parseval. Data la funzione f(x) e la sua serie di Fourier, quando e' vero che la serie di Fourier di f'(x) e' la derivata della serie di Fourier di f(x)? Regolarita' della funzione, periodica con le sue derivate, e rapidita' di convergenza a zero dei suoi coefficienti di Fourier. La convergenza assoluta della SF implica la sua convergenza totale. Esercizio in cui sono assegnati i coeff. di Fourier, che vanno a zero esponenzialmente, e calcolo della somma f(x) della SF e della sua norma euclidea (con Parseval). Calcolo della somma della serie di Fourier sfruttando la conoscenza della somma di serie di Taylor e/o Laurent. Confronto tra il grafico di f(x) e quello della serie di Fourier troncata, al crescere del numero di termini. La serie di Fourier su un intervallo [a,b] arbitrario. =========================================== 11/05/2022 (15:00-16:00) (33) La base dei seni e quella dei coseni nell'intervallo [0,\pi] e i relativi sviluppi di Fourier. La serie dei seni e quella dei coseni nell'intervallo [0,L]. La serie di Fourier su un intervallo (a,b), il suo limite b->\infty e a->-infinity, e la trasformata e anti-trasformata di Fourier, con relazione di Plancherel. Formule per l'ortonormalita' e completezza dell'insieme continuo di esponenziali {exp(ikx)/\sqrt{2\pi}}, per k reale. =============================================== 12/05/22 (10-12) (35) Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, continua in x, e vale la condizione di Dini, allora l'antitrasformata di Fourier converge puntualmente a f(x); se f(x) e' assolutamente integrabile in R, ha una discontinuita' semplice in x_0 ed e' soddisfatta la condizione di Dini a sinistra e a destra della discontinuita', allora l'antitrasformata di Fourier converge al valor medio dei limiti destro e sinistro. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' uniformemente limitata, e' continua in R, e converge a zero per |k|->\infty. Se f e' assolutamente integrabile, la sua TF appartiene a L_{infty}, ma non e' assolutamente integrabile; quindi non c'e' la simmetria che uno si aspetterebbe, essendo gli operatori trasformata e antitrasformata di Fourier simmetrici. La TF della gaussiana e' una gaussiana, ma con deviazione standard opposta; quindi, piu' e' localizzata f(x) e meno e' localizzata la sua TF (e viceversa). Calcolo dell'antitrasformata (esercizio per gli studenti). Calcolo della TF della lorenziana e dell'onda monocromatica tagliata, al variare dell'intervallo temporale in cui e' diversa da zero. Calcolo delle anti trasformate (esercizio per gli studenti). ============================================ 13/05/2022 (8-10) (37) Altre proprieta' della TF con dimostrazione ed esercizi relativi. TF di funzione reale, di funzione pari o dispari. Relazione tra la regolarita' di f(x) e la rapidita' di convergenza a zero della sua TF (e viceversa). Deduzione: la TF mappa funzioni di S(R) in funzioni di S(R). Poiche' S(R) e' denso in L^2(R) rispetto alla norma euclidea, allora la TF mappa funzioni di L^2(R) in funzioni di L^2(R) (non dimostrato). Il prodotto di convoluzione f(x)=(f_1*f_2)(x) di due funzioni f_1 e f_2, con (f_1*f_2)(x)=(f_2*f_1)(x). Se f_1,f_2 appartengono a L^1(R), anche f appartiene a L^1(R). Teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione. La risposta di un sistema ad un dato input e' descritta da un'equazione del tipo: R(t)=\int K(t,t')I(t')dt', dove K e' la funzione di suscettivita' del sistema, I e' l'input (entrata) e R e' la risposta (output, uscita). Se la fisica e' lineare, K non dipende da I, e quindi: se l'input I_1 genera la risposta R_1 e l'input I_2 genera la risposta R_2, allora l'input (I_1+I_2) genera la risposta (R_1+R_2). Se la fisica e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. Se il problema e' anche causale, allora G(t-t')=0 se tY. L'inverso esiste se, per ogni y in Y, esiste unico x in X tale che Ax=y. Esistenza (surgettivita'); unicita' (iniettivita') piu' linearita' equivalgono alla condizione che Ker(A) e' banale. Esistenza ed unicita' sono proprieta' equivalenti nel caso finito dim; non lo sono nel caso infinito dim. Esempi: Gli operatori di traslazione destra E^- e sinistra E^+ in l_2 non sono invertibili come operatori da l_2 a l_2. L'operatore E^- di traslazione destra lo diventa come operatore l_2 -> Im(E^-) (contenuta strettamente in l_2), con inverso E^+; l'operatore E^+ di traslazione destra lo diventa come operatore Im(E^-)->l_2, con inverso E^-. Esercizio per casa: invertibilita' di derivata e integrale. ==================================== 17/05/2022 (8-10) (40) Rappresentazioni matriciali di operatori rispetto ad una base dello spazio. Esempi: due esempi finito dim., la rappresentazione matriciale degli operatori di traslazione destra e sinistra in l_2 rispetto alla base canonica. Calcolo delle norme di E^+, E^-, e T (operatore di traslazione su funzioni). Operatori su spazi finito dimensionali sono limitati, e calcolo della norma ||A||_2 di matrici. Gli operatori di Fredholm (Kf)(x)=\int_a^bK(x,t)f(t)dt da L_2[a,b] a L_2[a,b] sono limitati, e calcolo della loro norma euclidea usando l'analogia formale col caso delle matrici. La norma dell'operatore di proiezione ortogonale. L'operatore di moltiplicazione per x e' limitato se x appartiene ad un intervallo limitato, non e' limitato altrimenti. Esercizi per casa: rappresentazione matriciale degli operatori di derivata, integrale, e traslazione su funzioni rispetto alla base del monomi. Norma 2 dell'operatore di Fredholm senza usare l'analogia formale col caso delle matrici. ============================================== 18/05/2022 (15-16) (42) L'operatore di derivazione non e' limitato ne' in norma euclidea ne' in norma del sup. La somma e il prodotto di operatori limitati sono operatori limitati (la seconda affermazione senza dimostrazione). Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach (senza dimostrazione). Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Primo esempio: Exp(A). Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. ============================= 19/05/2022 (10-12) (44) Le proprieta' i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A)=exp(t A)A, con A operatore limitato su spazio di Banach. iii) Verifica che x(t)=exp(tA)c e' la soluzione del sistema di equazioni differenziali del prim'ordine dx/dt=Ax, con x(0)=c, e A e' operatore limitato su spazio di Banach costante indipendente da t. Se ||A||<1, allora (1-A)^{-1} e' sviluppabile attraverso la serie geometrica \sum_k A^k; applicazione: la soluzione del problema lineare (1-A)x=y nello spazio di Banach X, dove A:X->X e y in X sono assegnati. La soluzione attraverso la serie di Neumann x=\sum_k h_k, h_(k+1)=A h_k, h_0=y. La soluzione del problema lineare (1-A)x=y, per gli operatori di Fredholm A=\mu K, con \mu complesso. Condizioni di esistenza e unicita'; esempio semplice. Dato A:H->H, definizione di operatore aggiunto (hermitiano coniugato); esistenza ed unicita' dell'operatore aggiunto (senza dimostrazione), sua rappresentazione matriciale; altre proprieta' rilevanti. ============================================== 20/05/2021 (8-10)) (46) Se M e' invariante rispetto ad A, il suo complemento ortogonale e' invariante rispetto ad A^+. Operatore auto-aggiunto (hermitiano) e sua rappresentazione matriciale. La forma quadratica corrispondente (forma hermitiana) e' reale se e solo se A e' auto-aggiunto. L'operatore di Fredholm ed il suo hermitiano coniugato; condizione affinche' l'operatore di Fredholm sia hermitiano. L'hermitiano coniugato di E^+ e' E^-. L'operatore quantita' di moto -i d/dx in meccanica quantistica e' hermitiano sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). L'operatore Hamiltoniano H=-d^2/dx^2 + V(x), con l'energia potenziale V(x) reale, e' hermitiano quando una delle seguenti condizioni al bordo e' soddisfatta: i) condizioni miste e omogenee, ii) condizioni di periodicita', e iii) appartenenza a L_2(R). Definizione di proiettore e sua caratterizzazione come operatore idempotente (senza dimostrazione). Operatore di proiezione ortogonale e sua caratterizzazione come operatore idempotente e hermitiano. Esercizi per casa: i) mostrare che l'hermitiano coniugato di E^- e' E^+; ii) mostrare che l'operatore derivata e' anti-hermitiano sullo spazio L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o su L_2(R). ============================================== 23/05/2022 (14-16) (48) La rappresentazione di un operatore di proiezione ortogonale attraverso la base ortonormale del sotto-spazio sul quale proietta, la notazione vettoriale e quella di Dirac. Esempi di costruzione di operatori di proiezione ortogonale su alcuni sottospazi. Operatori unitari. Definizione ed esempi: la traslazione Tf(x)=f(x+a) e la trasformata di Fourier. Proprieta' di operatori unitari: norma =1, trasformazione di sistemi ortonormali in sistemi ortonormali, esistenza dell'inverso, anch'esso unitario, UU^+=U^+U=1, U^+=U^{-1}, il prodotto di due operatori unitari e' unitario. Per le matrici unitarie, i vettori colonna costituiscono una base ortonormale; lo stesso per i vettori riga. Le rotazioni in R^n sono matrici unitarie e reali (cioe' ortogonali). Gli operatori E^+ e E^+- non sono unitari. Risoluzione di alcuni esercizi di scritti del passato. ============================================== 24/05/2021 (50) Spettro di operatori limitati. Riassunto delle proprieta' nel caso finito dimensionale. Teoria spettrale per operatori su spazi infinito-dimensionali. Insieme risolvente \rho(A) e operatore risolvente R_lambda(A)=(A-lambda I)^{-1}. Definizione di spettro discreto o puntuale (la stessa del caso finito dimensionale). Definizione di spettro continuo e di spettro residuo. Se lambda appartiene allo spettro continuo di A, allora R_{lambda}(A) e' illimitato, e quindi esiste una successione y_n di H tale che ||R_{lambda}(A)y_n||<= n^a ||y_n||, a>0, da cui e' possibile costruire una successione di approssimanti e_n tale che ||(A-lambda)x_n||->0 per n-> infty. Se lambda appartiene allo spettro residuo di A, allora il suo complesso coniugato appartiene allo spettro discreto di A^+. Un operatore hermitiano non ha spettro residuo. Se A e' limitato, l'insieme risolvente e' un aperto di C, mentre lo spettro e' un insieme chiuso e limitato. Il risolvente e' un operatore analitico rispetto a lambda appartenente a \rho(A), con dR/dlambda =R^2. Se \rho(A) e' l'insieme risolvente di A, l'insieme risolvente di A^+ e' il complesso coniugato di \rho(A). Idem per lo spettro. Un paio di esercizi d'esame risolti. ============================================== 25/05/2021 (51) Se A e' hermitiano e limitato, allora il suo spettro (discreto o continuo) e' un compatto dell'asse reale. Nel caso di spettro discreto per A hermitiano, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se U e' un operatore unitario limitato, il suo spettro e' un compatto della circonferenza unitaria (senza dim.); riguardo al suo spettro discreto, gli autovettori di U sono anche gli autovettori di U^+. Inoltre, come per operatori hermitiani, ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali. Se P e' un proiettore (P^2=P), i suoi autovalori sono o zeri o uni. Lo spettro discreto degli operatori E^+ e' il disco unitario aperto; lo spettro discreto di E^- e' l'insieme vuoto. ============================================== 26/05/2021 (53) Nel caso di spettro continuo, tipicamente esistono soluzioni dell'equazione agli autovalori non appartenenti a H (a L_2 o a l_2), ma limitate, appartenenti cioe' a L_infty o a l_infty (e' quest'ultima la definizione di spettro continuo usata in fisica), che possono essere approssimate da successioni w_n di H tali che ||(A-lambda)e_n||->0, con e_n=w_n/||w_n||. Inoltre y_n=(A-\lambda)w_n e' la successione usata per mostrare che il risolvente non e' limitato, secondo la definizione matematica. L'insieme |lambda|=1 non puo' essere spettro residuo di E^+; e' quindi spettro continuo. Su questo esempio si mostra la relazione tra la definizione dei fisici e quella dei matematici. Lo spettro di E^- e' il disco unitario chiuso, ed e' spettro residuo. Lo spettro dell'operatore quantita' di moto nei tre casi: i) in L^2[a,b] e' discreto e coincide con C; ii) in L^2[a,b] con condizioni periodiche e' discreto, con lambda_n=2\pi n/(b-a), n intero qualsiasi, e f_n(x)=exp(2\pi i n x/(b-a)) (la base di Fourier). iii) in L_2(R) e' continuo e corrisponde a R. Anche in questo caso si mostra la relazione tra le definizioni fisica e matematica. Lo spettro di p^2=-d^2/dx^2 (energia cinetica in MQ) in L^2[0,L], con f(0)=f(L)=0, e' discreto, con lambda_n=(\pi n/L)^2; se in L^2(R) e' continuo e corrisponde a R^+. ============================================== 27/05/2021 (55) Spettro discreto di f(A) dalla conoscenza dello spettro discreto di A. Spettro dell'operatore di traslazione. Operatori di rango finito: la diade, la somma di prodotti diadici e loro dominio, immagine finito dimensionale, Ker. Lo spettro di un operatore di rango finito del tipo somma di diadi, e riduzione dell'equazione agli autovalori all'equazione agli autovalori di una matrice nxn, dove n e' la dimensione dell'immagine dell'operatore. I vettori del Ker(A) sono autovettori con autovalore nullo. Esempio di operatore di Fredholm di rango finito e soluzione dell'equazione agli autovalori. Lo spettro dell'operatore A=2|e^(1)>< e^(1)|+3|e^(2)>< e^(2)| e' {2,3,0} con autovettori rispettivamente |e^(1)>,|e^(2)>, e i vettori del Ker A=span(|e^(j)>,j>2). ============================================== Fine argomenti relativi ai due appelli della sessione estiva =================================== 30/05/2021 (12-14) (57) Ripasso di cose fatte in altri corsi: i) se gli autovettori formano una base dello spazio, diagonalizzazione di una matrice attraverso la trasformazione di similitudine con matrice che ha gli autovettori come vettori colonna. La trasformazione di similitudine coinvolge matrici unitarie se gli autovettori della base sono ortonormali. Funzione di matrice attraverso la conoscenza di autovalori e autovettori. Funzione di matrice per matrici tipo Jordan. Operatori hermitiani che commutano e base ortonormale comune di autovettori. Operatori normali (tali che N N^+ = N^+ N) come la classe piu' ampia di operatori che possiedono una base ortonormale di autovettori. Gli operatori hermitiani e unitari sono casi particolari di operatori normali. Proprieta' degli operatori normali e teorema spettrale, come per operatori hermitiani. Esrcizio d'esame. ============================================= 31/05/2022 (8-10) (59) La funzione di Green di un operatore differenziale L_x e' la funzione g(x,y) tale che L_x g(x,y)=delta(x-y). Dato il sistema non omogeneo L_x u=f, dove f(x) e' una forzante assegnata, la funzione di Green di L_x e' la risposta del suddetto sistema ad un input impulsivo. Due funzioni di Green differiscono per un elemento del Ker dell'operatore L_x. Nota la funzione di Green g(x,y) di L_x, u si esprime attraverso g nel seguente modo: u=\int g(x,y)f(y)dy. La funzione di Green generale dell'operatore del secondo ordine in forma canonica L_x=d^2/dx^2-V(x), nota se e' nota una soluzione particolare dell'omogenea. I casi particolari delle funzioni di Green ritardata ed avanzata. Il caso particolare dell'oscillatore armonico e le relative funzioni di Green ritardata e avanzata. Due esercizi sull'oscillatore armonico forzato. Esercizi per casa: verifica che le funzioni di Greem costruite soddisfano all'equazione differenziale con forzante impulsiva. ============================================== 01/06/2022 (15-16) (60) La delta di Dirac in R^2 e R^3. Funzione di Green dell'operatore di Laplace in R, R^2 e R^3. ============================================== 03/06/2022 (8-10) (62) Dalla TF alla trasformata e anti-trasformata di Laplace per funzioni f(x) localmente in L_1(R^+), che possono divergere a + infinito come exp(gamma x), gamma>0. Calcolo dell'anti-TL quando la TL e' i) (p^2 +1)^(-1) o ii) 1/(p-a). Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace (senza dim). La trasformata di Laplace di f'(x) e di f''(x). Uso della TL per risolvere equazioni differenziali lineari di ordine arbitrario con condizioni iniziali assegnate. Due esempi di equazioni differenziali del secondo ordine. =========================== 07/06/2022 (8-10) (64) Soluzione di esercizi tipo dello scritto. ====================== 10/06/2022 (8-10) (66) Soluzione di esercizi tipo dello scritto. =========================================== FINE MIE LEZIONI =========================================== Lezioni di Urbano 06/06/2022 (14-16) Problema di Cauchy sulla retta per l’equazione di Schrodinger. Posizione del problema; tecnica risolutiva attraverso la trasformata ed anti-trasformata di Fourier; il propagatore o soluzione fondamentale; visualizzazione grafica del propagatore; evoluzione temporale unitaria; integrali di Fresnel; il caso particolare del pacchetto iniziale gaussiano; interpretazione fisica in termini di densità di probabilità; evoluzione del pacchetto gaussiano: soluzione u(x,t) al generico instante t. ======================================== 08/06/2022 (15-16) Evoluzione del pacchetto gaussiano, commenti sull’interpretazione del risultato: conservazione della probabilità, dipendenza dal tempo della varianza ed allargamento del pacchetto. Equazione della corda. Posizione del problema: condizioni al contorno (di Dirichlet) e configurazione iniziale. ============================================= 09/06/2022 (12-14) Soluzione della equazione della corda. Separazione delle variabili e struttura generale della soluzione come sovrapposizione di onde; applicazioni: la corda pizzicata e la corda martellata; calcolo dei coefficienti e discussione del risultato: sviluppo in armoniche, armonica fondamentale. La funzione Gamma di Eulero. Introduzione: il problema di “interpolazione” del fattoriale; la rappresentazione integrale della funzione Gamma di Eulero per Re(z) > 0; proprietà della rappresentazione integrale; formula ricorsiva Gamma(z+1) = zGamma(z); calcolo esplicito della funzione Gamma per alcuni casi notevoli; il prolungamento analitico della funzione Gamma; poli (semplici) della funzione Gamma in z = 0,-1,-2,…; il grafico modulare della funzione Gamma. ============================== FINE CORSO ==============================