Diario delle lezioni del corso di MMMF (analisi funzionale), AA 2023-24, aula 6 (tranne il giovedì: aula 3) lunedi' 11-13, martedi' 8-10, mercoledi' 14-16 a settimane alterne, giovedi' 10-12, venerdi' 8-10 Orario d'ufficio: lunedì 9-11, giovedì 12-13:30, venerdì 10-12 e 14-16 ======================================================= 15/04/2023 (2) Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali complessi di dimensione n sono isomorfi a C^n. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Sottospazio vettoriale. Span. Somma diretta. Spazi normati: definizione ed esempi: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme) nel caso finito dimensionale. Disuguaglianza di Young. ============= 16/04/2023 (4) Disuguaglianze di Holder e di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1. Equivalenza di norme nel caso finito dimensionale. Calcolo di norme nel caso finito dimensionale. Spazi di successioni: C^infty e l_infty; l_infty come spazio normato. Spazi di successioni: l_0, l_p sono normati con (l_0,|| ||_inf), (l_p,|| ||_p). significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1, con p=1,2,infty. Esercizio per casa: significato geometrico in R^3 delle palle di raggio 1, con p=1,2,infty. Spazio delle successioni finite l_f, e' normato sia con norma unif. che con norma p. Inclusioni tra gli spazi l_f, l_p, l_0, l_infty, C^infty. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p diversi.S pazi funzionali (C(I),||.||_p), (C(I),||.||_\infty), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). Esercizi per casa sull'appartenenza di funzioni a L^1,L^2 e L^infty. ================== 17/04/2023 (6) Soluzione di esercizi per casa su appartenenza ad L^1 e L^2. Esercizi per casa: i) se I e' finito e p). Insieme X denso in (M,d). Esempi: l'insieme dei razionali e' denso nei reali. l_f e' denso in (l_0,||.||_infty) e in (l_p,||.||_p). L'insieme dei polinomi e' denso in C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. L'insieme dei polinomi trigonometrici e' denso in C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p (attraverso il teorema di Weierstrass). Span (inviluppo lineare) di un insieme di vettori con esempi. Insieme completo di vettori e base di uno spazio metrico infinito-dimensionale. Esempi: l'insieme dei versori canonici e' una base per gli spazi (l_0,||.||_infty) e (l_p,||.||_p); l'insieme dei monomi e' una base per C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei monomi trigonometrici e' una base per C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. =========== 22/04/2023 (12) Lo spazio delle funzioni continue periodiche al bordo e' denso (in norma p, ma non in norma del sup) nello spazio delle funzioni continue, che e' denso in norma p nello spazio delle funzioni costanti a tratti, che e' denso in L^p (dimostrazione non rigorosa). Quindi l'insieme dei monomi trigonometrici sono una base in L^p rispetto alla norma p. Spazio metrico separabile con esempi: gli spazi R, R^n, C, C^n, l_0, l_p, L^p. Definizione di prodotto scalare e di spazio euclideo. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (CS) e nozione di angolo tra due vettori. Lo spazio euclideo e' anche spazio normato, e quindi metrico. Ortogonalita' tra due vettori. Ortonormalita' di un insieme di vettori. Teorema di Pitagora per due o piu' vettori ortogonali. Esempio di spazio euclideo: (C^n,||.||_2); la disuguaglianza di CS come conseguenza della disuguaglianza di Holder. Esercizio: uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che, se f(t) e g(t) appartengono a L^2, allora f(t)g(t) appartiene a L^1; uso di CS per mostrare che, se f(t) appartiene a L^2[a,b], allora f(t) appartiene a L^1[a,b]. Altri esempi di spazi euclidei finito e infinito-dimensionali: Lo spazio delle matrici complesse nxn. Lo spazio dei polinomi di grado n-1, con norme ||.||_p e ||.||_infty . Spazi infinito-dimensionali: (l_2,||.||_2) e (L^2[a,b],||.||_2), con peso 1 e con peso p. Esercizi: uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che, se f(t) e g(t) appartengono a L^2, allora f(t)g(t) appartiene a L^1; uso della disuguaglianza di CS per mostrare che, se f(t) appartiene a L^2[a,b], allora f(t) appartiene a L^1[a,b]. =========== 23/04/2023 (14) Dato un punto generico in E, la minima distanza dal sottospazio S=span{e^(j)}, con {e^(j)} insieme ortonormale, e' data dalla proiezione ortogonale su tale sottospazio. Se lo spazio euclideo e' separabile, allora esiste una base numerabile ortonormale ottenuta attraverso il procedimento di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Bessel e relazione di Parseval. Nel caso di relazione di Parseval, il sistema ortonormale e' una base. La successione dei coefficienti di Fourier di un generico vettore di H appartiene a l_2 e, viceversa, a ogni successione di l_2 corrisponde un vettore di uno spazio di Hilbert separabile H. Isomorfismo tra spazio di Hilbert separabile H e l_2: l'isomorfismo e' non solo lineare, ma anche euclideo. CNES affinche' un insieme di vettori ortonormali sia una base dello spazio di Hilbert separabile H e' che, se un vettore v\in H e' ortogonale a tutti gli elementi dell'insieme, allora v=0 (senza dimostrazione). =========== 24/04/2023 (16) Ortonormalizzazione dei monomi trigonometrici. Definizione di operatore lineare; lo spazio degli operatori lineari e' esso stesso uno spazio vettoriale. Equivalenza tra continuita' e limitatezza di operatori lineari. La norma di un operatore lineare limitato. L'esempio piu' semplice: il funzionale lineare. Definizione ed esempi di funzionali lineari su spazi normati discreti: C^n, l_2, e continui (funzionali): i) la componente i-esima di un vettore; base duale nello spazio dei funzionali su C^n. Il Ker di un funzionale lineare ha codimensione 1. ii) Il prodotto scalare per un vettore x_0 e' un funzionale lineare continuo con norma ||x_0||. Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare continuo f:E->C esiste unico x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E, con ||f||=||x_0||_E (senza dim). iii) Il funzionale f(x)=\sum_k f_k x_k, con x\in l_p e f\in l_q; l'integrale; iv) Il funzionale piu' generale F definito da F(\phi)=\int_a^b f(t)\phi(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni \phi(t)\in C[a,b], dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il funzionale. ESERCIZI PER CASA: L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in [-1,1], rispetto al peso 1, da' luogo ai polinomi di Legendre. L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in R, rispetto al peso gaussiano, da' luogo ai polinomi di Hermite. =========== 26/04/2023 (18) Soluzione di esercizi per casa. Indipendenza di m vettori in spazio vettoriale n-dimensionale. Significato geometrico di norme in R^3. Ortonormalizzazione della base trigonometrica {exp(inx)}, n\in Z. Indipendenza di un sistema di vettori ortogonali, e quindi indipendenza della base trigonometrica. Ortonormalizzazione di monomi per t in [-1,1], e i polinomi di Legendre. Funzione generatrice dei polinomi di Legendre. =========== 29/04/2023 (20) Esempi di funzionali lineari e loro norme: Int(phi(t))=int_a^b phi(t)dt, ||Int||=b-a, se \phi e'in (C[a,b],||.||_infty); F(phi(t))=int_a^b f(t)phi(t)dt,||F||=||f||_1, se \phi e'in L^infty[a,b]. Uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che il funzionale lineare F(x)=\sum f_k x_k, con x appartenente a l_p, ha norma: ||F||=||f||_q, e 1/p+1/q=1. Analogamente, il funzionale F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L^p, ha norma: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1 (senza dimostrazione). Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. Densita' di massa di un punto materiale e introduzione alla delta di Dirac attraverso un'opportuna successione di funzioni che converge debolmente, e non fortemente, al funzionale delta. Confronto critico con la definizione rigorosa. Uso degli spazi S(R) e K(R) per le funzioni di prova. =========== 30/04/2023 (22) Distribuzione (regolare) come funzionale lineare continuo. Se f appartiene a L^1_loc e \phi a K(R) la distribuzione e' regolare. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx), e loro convergenza debole, con dimostrazione. Esempi: la gaussiana e la lorenziana. Altre proprietà della delta di Dirac. Esercizio sulla delta di funzione. Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa.