Diario delle lezioni del corso di MMMF (analisi funzionale), AA 2023-24, aula 6 (tranne il giovedì: aula 3) lunedi' 11-13, martedi' 8-10, mercoledi' 14-16 a settimane alterne, giovedi' 10-12, venerdi' 8-10 Orario d'ufficio: lunedì 9-11, giovedì 12-13:30, venerdì 10-12 e 14-16 ======================================================= 15/04/2023 (2) Spazio vettoriale V, definizione ed esempi significativi: R^n, C^n, P_n, C[a,b],... Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori di V. Dimensione di V. Base; componenti di un vettore rispetto ad una data base. Isomorfismo tra spazi vettoriali. La dimensione di C^n e' n. Gli spazi vettoriali complessi di dimensione n sono isomorfi a C^n. I monomi sono una base nello spazio dei polinomi. Sottospazio vettoriale. Span. Somma diretta. Spazi normati: definizione ed esempi: norma p e norma infinito (o del sup, o uniforme) nel caso finito dimensionale. Disuguaglianza di Young. ============= 16/04/2023 (4) Disuguaglianze di Holder e di Minkowski, nei casi discreto e continuo. Significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1. Equivalenza di norme nel caso finito dimensionale. Calcolo di norme nel caso finito dimensionale. Spazi di successioni: C^infty e l_infty; l_infty come spazio normato. Spazi di successioni: l_0, l_p sono normati con (l_0,|| ||_inf), (l_p,|| ||_p). significato geometrico in R^2 delle palle di raggio 1, con p=1,2,infty. Esercizio per casa: significato geometrico in R^3 delle palle di raggio 1, con p=1,2,infty. Spazio delle successioni finite l_f, e' normato sia con norma unif. che con norma p. Inclusioni tra gli spazi l_f, l_p, l_0, l_infty, C^infty. Esempi. Inclusioni tra spazi l_p diversi.S pazi funzionali (C(I),||.||_p), (C(I),||.||_\infty), L_p(I) e L_infinito(I), dove I e' un intervallo dei reali. Studio dell'appartenenza di funzioni agli spazi L_1(I), L_2(I) e L_infinito(I). Esercizi per casa sull'appartenenza di funzioni a L^1,L^2 e L^infty. ================== 17/04/2023 (6) Soluzione di esercizi per casa su appartenenza ad L^1 e L^2. Esercizi per casa: i) se I e' finito e p). Insieme X denso in (M,d). Esempi: l'insieme dei razionali e' denso nei reali. l_f e' denso in (l_0,||.||_infty) e in (l_p,||.||_p). L'insieme dei polinomi e' denso in C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. L'insieme dei polinomi trigonometrici e' denso in C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p (attraverso il teorema di Weierstrass). Span (inviluppo lineare) di un insieme di vettori con esempi. Insieme completo di vettori e base di uno spazio metrico infinito-dimensionale. Esempi: l'insieme dei versori canonici e' una base per gli spazi (l_0,||.||_infty) e (l_p,||.||_p); l'insieme dei monomi e' una base per C[a,b], sia rispetto alla norma del sup che alla norma p; l'insieme dei monomi trigonometrici e' una base per C[a,b] con condizioni periodiche al bordo, sia rispetto alla norma del sup che alla norma p. =========== 22/04/2023 (12) Lo spazio delle funzioni continue periodiche al bordo e' denso (in norma p, ma non in norma del sup) nello spazio delle funzioni continue, che e' denso in norma p nello spazio delle funzioni costanti a tratti, che e' denso in L^p (dimostrazione non rigorosa). Quindi l'insieme dei monomi trigonometrici sono una base in L^p rispetto alla norma p. Spazio metrico separabile con esempi: gli spazi R, R^n, C, C^n, l_0, l_p, L^p. Definizione di prodotto scalare e di spazio euclideo. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (CS) e nozione di angolo tra due vettori. Lo spazio euclideo e' anche spazio normato, e quindi metrico. Ortogonalita' tra due vettori. Ortonormalita' di un insieme di vettori. Teorema di Pitagora per due o piu' vettori ortogonali. Esempio di spazio euclideo: (C^n,||.||_2); la disuguaglianza di CS come conseguenza della disuguaglianza di Holder. Esercizio: uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che, se f(t) e g(t) appartengono a L^2, allora f(t)g(t) appartiene a L^1; uso di CS per mostrare che, se f(t) appartiene a L^2[a,b], allora f(t) appartiene a L^1[a,b]. Altri esempi di spazi euclidei finito e infinito-dimensionali: Lo spazio delle matrici complesse nxn. Lo spazio dei polinomi di grado n-1, con norme ||.||_p e ||.||_infty . Spazi infinito-dimensionali: (l_2,||.||_2) e (L^2[a,b],||.||_2), con peso 1 e con peso p. Esercizi: uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che, se f(t) e g(t) appartengono a L^2, allora f(t)g(t) appartiene a L^1; uso della disuguaglianza di CS per mostrare che, se f(t) appartiene a L^2[a,b], allora f(t) appartiene a L^1[a,b]. =========== 23/04/2023 (14) Dato un punto generico in E, la minima distanza dal sottospazio S=span{e^(j)}, con {e^(j)} insieme ortonormale, e' data dalla proiezione ortogonale su tale sottospazio. Se lo spazio euclideo e' separabile, allora esiste una base numerabile ortonormale ottenuta attraverso il procedimento di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Bessel e relazione di Parseval. Nel caso di relazione di Parseval, il sistema ortonormale e' una base. La successione dei coefficienti di Fourier di un generico vettore di H appartiene a l_2 e, viceversa, a ogni successione di l_2 corrisponde un vettore di uno spazio di Hilbert separabile H. Isomorfismo tra spazio di Hilbert separabile H e l_2: l'isomorfismo e' non solo lineare, ma anche euclideo. CNES affinche' un insieme di vettori ortonormali sia una base dello spazio di Hilbert separabile H e' che, se un vettore v\in H e' ortogonale a tutti gli elementi dell'insieme, allora v=0 (senza dimostrazione). =========== 24/04/2023 (16) Ortonormalizzazione dei monomi trigonometrici. Definizione di operatore lineare; lo spazio degli operatori lineari e' esso stesso uno spazio vettoriale. Equivalenza tra continuita' e limitatezza di operatori lineari. La norma di un operatore lineare limitato. L'esempio piu' semplice: il funzionale lineare. Definizione ed esempi di funzionali lineari su spazi normati discreti: C^n, l_2, e continui (funzionali): i) la componente i-esima di un vettore; base duale nello spazio dei funzionali su C^n. Il Ker di un funzionale lineare ha codimensione 1. ii) Il prodotto scalare per un vettore x_0 e' un funzionale lineare continuo con norma ||x_0||. Anche il viceversa e' vero (teorema di Riesz): per ogni funzionale lineare continuo f:E->C esiste unico x_0 appartenente a E tale che f(x)=(x_0,x), per ogni x in E, con ||f||=||x_0||_E (senza dim). iii) Il funzionale f(x)=\sum_k f_k x_k, con x\in l_p e f\in l_q; l'integrale; iv) Il funzionale piu' generale F definito da F(\phi)=\int_a^b f(t)\phi(t)dt e' un funzionale lineare, per ogni \phi(t)\in C[a,b], dove f(t) e' la funzione continua che rappresenta il funzionale. ESERCIZI PER CASA: L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in [-1,1], rispetto al peso 1, da' luogo ai polinomi di Legendre. L'insieme dei monomi ortonormalizzato attraverso Gram-Schmidt in R, rispetto al peso gaussiano, da' luogo ai polinomi di Hermite. =========== 26/04/2023 (18) Soluzione di esercizi per casa. Indipendenza di m vettori in spazio vettoriale n-dimensionale. Significato geometrico di norme in R^3. Ortonormalizzazione della base trigonometrica {exp(inx)}, n\in Z. Indipendenza di un sistema di vettori ortogonali, e quindi indipendenza della base trigonometrica. Ortonormalizzazione di monomi per t in [-1,1], e i polinomi di Legendre. Funzione generatrice dei polinomi di Legendre. =========== 29/04/2023 (20) Esempi di funzionali lineari e loro norme: Int(phi(t))=int_a^b phi(t)dt, ||Int||=b-a, se \phi e'in (C[a,b],||.||_infty); F(phi(t))=int_a^b f(t)phi(t)dt,||F||=||f||_1, se \phi e'in L^infty[a,b]. Uso della disuguaglianza di Holder per mostrare che il funzionale lineare F(x)=\sum f_k x_k, con x appartenente a l_p, ha norma: ||F||=||f||_q, e 1/p+1/q=1. Analogamente, il funzionale F(\phi)=\int_I f(t)\phi(t)dt, con funzioni di prova appartenenti a L^p, ha norma: ||F||=||f||_q, con 1/p+1/q=1 (senza dimostrazione). Il funzionale delta di Dirac \delta_t0, tale che \delta_t0(\phi)=\phi(t0) e' limitato se \phi e' continua con norma del sup, e ||\delta_t0||=1; e' illimitato se \phi appartiene a L_2. Convergenza forte e debole di funzionali lineari; la convergenza forte implica quella debole. Densita' di massa di un punto materiale e introduzione alla delta di Dirac attraverso un'opportuna successione di funzioni che converge debolmente, e non fortemente, al funzionale delta. Confronto critico con la definizione rigorosa. Uso degli spazi S(R) e K(R) per le funzioni di prova. =========== 30/04/2023 (22) Distribuzione (regolare) come funzionale lineare continuo. Se f appartiene a L^1_loc e \phi a K(R) la distribuzione e' regolare. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac come limite di successioni di funzioni del tipo np(nx), e loro convergenza debole, con dimostrazione. Esempi: la gaussiana e la lorenziana. Altre proprietà della delta di Dirac. Esercizio sulla delta di funzione. Derivata n-esima di una distribuzione; il caso della delta di Dirac. La derivata della funzione gradino e' la delta, e viceversa. =========== 02/05/2024 (24) Ancora proprieta' della delta. Derivata di distribuzioni. La derivata della delta e sua azione su una funzione di prova. Ulteriori proprietà della delta. Formula per la derivata di una funzione discontinua con discontinuita' semplice. Derivata della funzione "parte intera"; derivata prima e seconda di |x|. La soluzione generale f(x)=|x|/2+ax+b dell'equazione f''(x)=delta(x). Esercizio sulla convergenza debole e forte di \int_R exp(-nx)phi(x)dx. ESERCIZIO PER CASA: convergenza debole della successione di funzionali n^a \int_R exp(-nx)phi(x)dx. =========== 03/05/2024 (26) La convergenza debole della successione sin(nx)/(\pi x) alla delta di Dirac e la condizione di Dini; anche il caso di funzione discontinua che soddisfa alla condizione di Dini. La convergenza della successione di Dirichlet alla delta di Dirac nel caso di funzione discontinua che soddisfa alla condizione di Dini. Rappresentazione della delta attraverso la trasformata di Fourier di 1. Ortonormalita' e completezza attraverso la delta di Dirac. La base di Fourier dei polinomi trigonometrici (o degli exp(int), n\in Z) in L^2[-pi,pi]. La serie di Fourier (SF) converge in norma 2 alla funzione da rappresentare, ma tale convergenza non implica quella puntuale o uniforme, che vanno discusse caso per caso. Coefficienti di Fourier e formula di Parseval. La somma della SF S(x) di f(x) come prolungamento 2\pi-periodico di f(x) su tutto R; non convergenza puntuale nei punti di discontinuita' del prolungamento (discussione qualitativa). Il prolungamento periodico della somma della SF di f(x)=x e' il dente di sega. =========== 06/05/2024 (28) Esercizi: i) la distribuzione (log(|t|))'. Uso della relazione di Parseval per il calcolo di serie numeriche notevoli. Teorema di convergenza puntuale e uniforme della SF alla funzione f(x) in un punto di continuita', e condizione di Dini. Convergenza della SF in un punto di discontinuita' semplice della funzione f(x), e condizione di Dini sul rapporto incrementale destro e sinistro. Sulla condizione di Dini: una funzione di Holder i) soddisfa alla condizione di Dini; ii) è continua ma non è necessariamente differenziabile; iii) una funzione C^1 è di Lipschitz; iv) se nel punti di discontinuità le derivate destra e sinistra esistono, allora è soddisfatta la condizione di Dini. Calcolo della somma di serie numeriche notevoli usando la relazione di Parseval, e valutando la SF in opportuni valori dell'intervallo. ESERCIZIO PER CASA: SF di x^2, con calcolo della somma di serie numeriche notevoli. =========== 07/05/2024 (30) Soluzione dell'esercizio sulla SF di x^2. SF della funzione gradino, il cui prolungamento periodico e' l'onda quadra, proprieta' di convergenza puntuale. Relazione di Parseval e le somme di serie numeriche notevoli. Data la funzione f(x) e la sua SF, quando e' vero che la SF di f'(x) e' la derivata della SF di f(x)? Regolarita' della funzione, periodica con le sue derivate, e rapidita' di convergenza a zero dei suoi coefficienti di Fourier. La convergenza assoluta della SF implica la sua convergenza totale. Esercizio: date 3 funzioni, prevedere le proprietà dei loro coefficienti fi Fourier. La SF su un intervallo [a,b] arbitrario. Le SF dei soli seni, e la SF dei soli coseni. ESERCIZIO PER CASA: calcolare le SF dei soli seni o dei soli coseni su un intervallo arbitrario. =========== 08/05/2024 (32) Calcolo di f(x) e di ||f||_2 dai suoi coefficienti di Fourier vanno a zero più rapidamente di ogni potenza; ii) calcolo della somma della SF sfruttando la conoscenza della somma di serie di Taylor e/o Laurent notevoli. La serie di Fourier su un intervallo [a,b], il suo limite b->\infty e a->-infinity, e la trasformata e anti-trasformata di Fourier, con relazione di Plancherel. Formule per l'ortonormalita' e completezza dell'insieme continuo di esponenziali {exp(ikx)/\sqrt{2\pi}}, per k reale. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, allora la trasformata di Fourier (TF) e' uniformemente limitata, e' continua in R, e converge a zero per |k|->\infty. Se f(x) e' assolutamente integrabile in R, continua in x, e vale la condizione di Dini, allora l'antitrasformata di Fourier converge puntualmente a f(x); se f(x) e' assolutamente integrabile in R, ha una discontinuita' semplice in x_0 ed e' soddisfatta la condizione di Dini a sinistra e a destra della discontinuita', allora l'antitrasformata di Fourier converge al valor medio dei limiti destro e sinistro. Se f e' assolutamente integrabile, la sua TF appartiene a L_{infty}, ma non e' assolutamente integrabile; quindi non c'e' la simmetria che uno si aspetterebbe, essendo gli operatori trasformata e antitrasformata di Fourier simmetrici. TF della lorenziana. =========== 09/05/2024 (34) Esercizi: i) calcolo della somma della SF sfruttando la conoscenza della somma di serie di Taylor e/o Laurent notevoli. TF della gaussiana e' una gaussiana, ma con deviazione standard opposta; quindi, piu' e' localizzata f(x) e meno e' localizzata la sua TF (e viceversa). TF della lorenziana. Calcolo della TF dell'onda monocromatica tagliata, al variare dell'intervallo temporale in cui e' diversa da zero. ESERCIZIO PER GLI STUDENTI: calcolo delle anti-trasformate delle funzioni elementari studiate, verificando che coincidono con le stesse. Calcolo della TF della delta e della funzione gradino. =========== 10/05/2024 (36) Altre proprieta' della TF con dimostrazione, ed esercizi relativi. TF di funzione reale, E di funzione pari o dispari, e trasformate seno e coseno. Relazione tra la regolarita' di f(x) e la rapidita' di convergenza a zero della sua TF (e viceversa). Deduzione: la TF mappa funzioni di S(R) in funzioni di S(R). Poiche' S(R) e' denso in L^2(R) rispetto alla norma euclidea, allora la TF mappa funzioni di L^2(R) in funzioni di L^2(R) (non dimostrato). Il prodotto di convoluzione f(x)=(f_1*f_2)(x) di due funzioni f_1 e f_2, con (f_1*f_2)(x)=(f_2*f_1)(x). Se f_1,f_2 appartengono a L^1(R), anche f appartiene a L^1(R). Teorema di convoluzione per la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione. La risposta di un sistema ad un dato input e' descritta da un'equazione del tipo: R(t)=\int K(t,t')I(t')dt', dove K e' la funzione di suscettivita' del sistema, I e' l'input (entrata) e R e' la risposta (output, uscita). Se la fisica e' lineare, K non dipende da I, e quindi: se I_1 -> R_1 e I_2 -> R_2, allora (I_1+I_2) -> (R_1+R_2). Se la fisica e' invariante per traslazioni, allora K(t,t')=G(t-t'), e la risposta R e' il prodotto di convoluzione G*I. =========== 13/05/2024 (38) Se la fisica e' lineare, invariante per traslazioni e causale, allora G(t-t')=0 se tY; esso esiste se e solo se, per ogni y in Y, esiste unico x in X tale che Ax=y. Esistenza (surgettivita'); unicita' (iniettivita') + linearita' equivalgono alla condizione che il Ker(A) sia banale. Esistenza ed unicita' sono proprieta' equivalenti nel caso finito dim; non lo sono nel caso infinito dim. Esempi: Gli operatori di traslazione destra E^- e sinistra E^+ in l_2 non sono invertibili come operatori da l_2 a l_2. L'operatore E^- di traslazione destra lo diventa come operatore l_2 -> Im(E^-) (contenuta strettamente in l_2), con inverso E^+; l'operatore E^+ di traslazione destra lo diventa come operatore Im(E^-)->l_2, con inverso E^-. Calcolo delle norme di E^+, E^-. Operatori su spazi finito dimensionali sono limitati, e calcolo della norma ||A||_2 di matrici quadrate. Gli operatori di Fredholm (Kf)(x)=\int_a^b K(x,t)f(t)dt da L_2[a,b] a L_2[a,b] sono limitati, e calcolo della loro norma euclidea usando l'analogia formale col caso delle matrici. La norma dell'operatore di proiezione ortogonale. L'operatore di moltiplicazione per x è limitato in [a,b], e illimitato se l'intervallo è infinito. L'operatore di derivazione non e' limitato nè in norma euclidea, ne' in norma del sup. La somma di operatori lineari limitati e' un operatore limitato; disuguaglianza triangolare. Il prodotto di operatori lineari limitati e' un operatore limitato. =========== 16/05/2024 (42) Esercizi su TF della gaussiana. Se A:X->Y e' limitato e Y e' di Banach, allora lo spazio normato degli operatori lineari da X a Y e' anche lui uno spazio di Banach (senza dimostrazione). Definizione di funzione di un operatore lineare limitato A: X->X, con X spazio di Banach. Primo esempio: Exp(A). Calcolo di exp(A) nel caso in cui A e' una matrice. Le proprieta' i) exp((t_1+t_2)A)=exp(t_1 A)exp(t_2 A)=exp(t_2 A)exp(t_1 A); ii) d(exp(t A))/dt=Aexp(t A)=exp(t A)A, con A operatore limitato su spazio di Banach. iii) Verifica che x(t)=exp(tA)c e' la soluzione del sistema di equazioni differenziali del prim'ordine dx/dt=Ax, con x(0)=c, e A e' operatore limitato su spazio di Banach e indipendente da t. Applicazione: soluzione di sistemi dinamici lineari. Se ||A||<1, allora (1-A)^{-1} e' sviluppabile attraverso la serie geometrica \sum_k A^k. Applicazione: la soluzione del problema lineare (1-A)x=y nello spazio di Banach X, dove A:X->X e y in A sono assegnati. Calcolo della soluzione dell'equazione (2-P)x=y, con P proiettore ortogonale. =========== 17/05/2024 (44) Questionari OPIS in classe (i questionari benessere erano gia' stati somministrati). Equazione integrale di Fredholm, in generale ed in un esempio esplicito. Small norm construction and analytic continuation. Rappresentazione matriciale di un operatore con esempi. Dato A:H->H, definizione di operatore aggiunto (hermitiano coniugato); esistenza ed unicita' dell'operatore aggiunto (gia' fatta) e sua rappresentazione matriciale. =========== 20/05/2024 (46) Proprieta' rilevanti della coniugazione hermitiana. Operatore auto-aggiunto (hermitiano) e sua rappresentazione matriciale. La forma quadratica corrispondente (forma hermitiana) e' reale se e solo se A e' auto-aggiunto. L'hermitiano coniugato di E^+ è E^-, e viceversa. L'operatore quantità di moto -i d/dx in meccanica quantistica è hermitiano in L_2[a,b] con condizioni periodiche al bordo, o in L_2(R). Hermitiano coniugato dell'operatore di Fredholm, e operatore di Fredholm hemitiano. L'operatore Hamiltoniano H=-d^2/dx^2 + V(x), con l'energia potenziale V(x) reale, è hermitiano quando una delle seguenti condizioni al bordo e' soddisfatta: i) condizioni miste e omogenee, ii) condizioni di periodicita', e iii) appartenenza a L_2(R). Definizione di proiettore e sua caratterizzazione come operatore idempotente. Definizione di operatore di proiezione ortogonale. ESERCIZI PER CASA: i) trovare l'hermitiano coniugato dell'operatore di Fredholm, e la condizione che lo rende hermitiano. ii) Mostrare che l'operatore derivata D=d/dx e' anti-hermitiano. =========== 21/05/2024 (48) Operatore di proiezione ortogonale e sua caratterizzazione come operatore idempotente e hermitiano. La rappresentazione di un operatore di proiezione ortogonale attraverso la base ortonormale del sotto-spazio sul quale proietta; la notazione vettoriale e quella di Dirac. Esempi di costruzione di operatori di proiezione ortogonale su alcuni sottospazi. Operatori unitari. Definizione ed esempi: la traslazione Tf(x)=f(x+a) e la trasformata di Fourier. Proprieta' di operatori unitari: norma =1, trasformazione di sistemi ortonormali in sistemi ortonormali, esistenza dell'inverso, anch'esso unitario, UU^+=U^+U=1, U^+=U^{-1}, il prodotto di due operatori unitari e' unitario. Per le matrici unitarie, i vettori colonna costituiscono una base ortonormale; lo stesso per i vettori riga. Le rotazioni in R^n sono matrici unitarie e reali (cioe' ortogonali). Gli operatori E^+ e E^+- non sono unitari. Operatori di rango finito; gli operatori diadici A=sum_k |a_k>= n^a ||y_n||, a>0, da cui e' possibile costruire una successione di approssimanti e_n tale che ||(A-lambda)e_n||->0 per n-> infty. Nel caso di spettro continuo, esistono soluzioni dell'equazione agli autovalori non appartenenti a H (L_2 o l_2), ma limitate, appartenenti cioe' a L_infty o a l_infty, ed e' questa la definizione di spettro continuo usata in molti testi di Meccanica Quantistica. Tali soluzioni possono essere approssimate da successioni w_n di H tali che ||(A-lambda)e_n||->0, con e_n=w_n/||w_n||. Inoltre y_n=(A-\lambda)w_n e' la successione usata per mostrare che il risolvente non e' limitato. Nel caso di E^+, mostriamo la relazione tra le due definizioni. Lo spettro dell'operatore quantita' di moto p=-id/dx nei tre casi: i) in L^2[a,b] e' discreto e coincide con tutto C; ii) in L^2[a,b] con condizioni periodiche e' discreto, con lambda_n=2\pi n/(b-a), n intero qualsiasi, e f_n(x)=exp(2\pi i n x/(b-a)) (la base di Fourier); iii) in L_2(R) e' continuo e corrisponde a R. Anche in questo caso si mostra la relazione tra le due definizioni. Lo spettro di p^2=-d^2/dx^2 (energia cinetica in MQ) in L^2[0,L], con f(0)=f(L)=0, e' discreto, con lambda_n=(\pi n/L)^2; se in L^2(R) e' continuo e corrisponde a R^+. =========== 29/05/2024 (56) Spettro discreto di f(A) dalla conoscenza dello spettro discreto di A. Lo spettro di un operatore di rango finito N è solo discreto, e si riduce al calcolo dello spettro di una matrice NxN. Esempio concreto. Il caso particolare in cui gli elementi della diade sono vettori ortonormali. Esercizi di riepilogo: soluzione di esercizi di compiti del passato. ============================================== 30/05/2024 (58) Dalla trasformata e anti-trasformata di Fourier alla trasformata e anti-trasformata di Laplace (TL) per funzioni f(x) localmente in L_1(R^+), che possono divergere a + infinito come exp(gamma x), gamma>0. Calcolo dell'anti-TL quando la TL e' i) (p^2 +1)^(-1) e ii) 1/(p-a). Teorema di convoluzione per la trasformata di Laplace (senza dim). La trasformata di Laplace di f'(x) e di f''(x). Uso della TL per risolvere equazioni differenziali lineari di ordine arbitrario con condizioni iniziali assegnate. Un esempio di problema di Cauchy risolto col metodo della TL. ============================================== 31/05/2024 (60) Altro esempio di problema di Cauchy risolto col metodo della TL. La funzione di Green di un operatore differenziale L_x e' la funzione g(x,y) tale che L_x g(x,y)=delta(x-y). Dato il sistema non omogeneo L_x u=I, dove I(x) e' una forzante assegnata (un imput assegnato), la funzione di Green di L_x e' la risposta del suddetto sistema ad un input impulsivo. Due funzioni di Green differiscono per un elemento del Ker dell'operatore L_x. Nota la funzione di Green g(x,y) di L_x, u(x) si esprime attraverso g nel seguente modo: u=\int g(x,y)I(y)dy. La funzione di Green particolare dell'operatore del secondo ordine in forma canonica L_x=d^2/dx^2-V(x). I casi particolari delle funzioni di Green ritardata ed avanzata. Un esercizio sull'oscillatore armonico forzato. Esercizio per casa: verifica che le funzioni di Green costruite soddisfano all'equazione differenziale con forzante impulsiva. ============================================== 04/06/2024 (62) Soluzione di esercizi d'esame. Funzione di Green dell'operatore di Laplace in R^n, per n=1,2,3. ============================================== FINE MODULO DI ANALISI FUNZIONALE AA 2023-24 ======================= ======================