Diario lezioni ONS, AA 2017-18. Aula 3. 56 ore di didattica frontale

02/03/2018 (2)
Panoramica sugli argomenti del corso: onde lineari e dispersive; onde iperboliche non lineari e la catastrofe del gradiente; regolarizzazione dissipativa e dispersiva; Equazioni della Fisica, metodi perturbativi multiscala in regime debolmente non lineare, ed equazioni non lineari modello della fisica matematica. Il metodo della trasformata spettrale inversa; solitoni e onde anomale. Onde lineari e dispersive, metodo della trasformata di Fourier, e comportamento asintotico delle soluzioni.

06/03/2018 (4)
Treno d'onde dispersivo a tempi lunghi, nel caso di un punto di fase stazionaria reale. Treno d'onde lentamente variabile. Il numero d'onda si propaga secondo l'equazione di Riemann. Numero d'onda, frequenza ed energia si propagano con la velocita' di gruppo; dispersione del pacchetto d'onde. La fase si propaga con la velocita' di fase. Primo esempio: equazione di Schroedinger per particella libera; sua soluzione fondamentale come soluzione di similarita'. 

09/03/2018, 14:00-16:00  (6)
Equazione di Schroedinger per particella libera: soluzione fondamentale come sol. di similarita'. Comportamento asintotico come sol. di similarita' con coefficienti lentamente variabili; primi due termini dello sviluppo.

09/03/2018, 16:00-18:00  (8)
Equazione di KdV lineare: soluzione fondamentale come soluzione di similarita', espressa attraverso la funzione di Airy. Soluzione a tempi grandi per x/t=O(1)<0: treno d'onde dispersive lent. variabile che viaggia verso sinistra. Per x/t>0, i punti di stazionarieta' sono immaginari puri. Digressione sui metodi asintotici: L'integrazione per parti.

13/03/2018 (10)
Il metodo di Laplace e la formula di Stirling. Il metodo del punto di sella. Es. 1: studio del comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schroedinger.

16/03/2018 (12)
Es. 2: l'integrale dell'esempio 1, integrato da a<x/2t a b>x/2t (il contributo dominante viene ancora dal metodo del punto di sella).  Es.3:  l'integrale dell'esempio 1, integrato da a<x/2t a b tale che Re(b)>x/2t e 0<arg(b)<\pi/4 (il contributo dominante viene dall'integrazione per parti). Es. 4: il comportamento della funzione di Airy Ai(x) per x grande, positivo o negativo col metodo del punto di sella. Es 5: comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di KdV lineare, per x/t=O(1)<0. Es 6: comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di KdV lineare, per x/t^{1/3}=O(1), descritto dalla funzione di Airy.

20/03/2018 (14)
PDEs quasi-lineari del prim'ordine da equazione di continuita'. L'equazione di Riemann. Il metodo delle caratteristiche. Soluzione attraverso l'inversione di equazione algebro-trascendente. Deformazione del profilo e rottura dell'onda. Intersezione delle caratteristiche. Caratterizzazione del punto di rottura. Esempio: condizione iniziale gaussiana per l'equazione di Hopf.

23/03/2018  (14:00-16:00, aula 3, recupero) (16)
Risoluzione completa nel caso di onda di rarefazione o compressione per l'equazione di Hopf, costruita con tratti rettilinei, e calcolo del punto di rottura (nel caso compressivo). Limite in cui la condizione iniziale e' discontinua, sia per l'equazione di Hopf che per l'equazione di Riemann. Studio dell'evoluzione, attraverso l'equazione di Hopf, di una condizione iniziale localizzata nell'intorno del punto di rottura (prima parte: derivazione della cubica di Cardano).

23/03/2018  (16:00-18:00, aula 3, recupero) (18)
Studio dell'evoluzione, attraverso l'equazione di Hopf, di una condizione iniziale localizzata nell'intorno del punto di rottura (seconda parte: studio della soluzione nel punto di rottura e immediatamente dopo, con la caratterizzazione analitica dell'intervallo di polidromia). Significato geometrico di un'equazione alle derivate parziali quasi lineare del prim'ordine, e sistema di equazioni differenziali ordinarie equivalente. Esercizi vari.

27/03/2018 (20)
Esercizi vari sulla soluzione di equazioni iperboliche col metodo delle caratteristiche. Sistemi di N equazioni quasi lineari del prim'ordine sono iperbolici se la matrice rilevante ammette autovalori reali (non necessariamente distinti) ed autovettori indipendenti. In questo caso, le equazioni possono essere riscritte in forma iperbolica. Si ha una grande semplificazione quando e' possibile introdurre gli invarianti (le funzioni) di Riemann, perche' ognuno di essi viaggia sulla sua caratteristica. Gli invarianti di Riemann esistono sempre per N=1,2. Esistono solo in casi molto speciali, se N>2. Esempio: equazioni della dinamica dei gas, e loro scrittura in forma caratteristica.

06/04/2018 (22)
Equazioni della dinamica dei gas, nel caso isentropico-adiabatico, e loro riscrittura attraverso gli invarianti di Riemann. Il problema del pistone con condizioni iniziali stazionarie, nel caso di espansione del gas.

10/04/2018 (24)
Il problema del pistone con condizioni iniziali stazionarie, nel caso di compressione del gas. Individuazione della regione di polidromia. Il problema della regolarizzazione della soluzione attraverso l'esistenza di soluzioni discontinue (onda d'urto). Caratterizzazione delle condizioni d'urto; legge di Hugoniot, e raccordo con la soluzione fornita dal metodo delle caratteristiche. 

13/04/2018 (26)
Riepilogo formule sulla regolarizzazione delle soluzioni dopo il breaking, attraverso onde d'urto. Esempi: l'onda di compressione con valori limite costanti, e la compressione del pistone. Formule generali e caso particolare ed esplicito in cui la velocita' del pistone e' costante.

17/04/2018 (28)
Regolarizzazione dissipativa dell'equazione di Hopf: equazione di Burgers. Schema di risoluzione attraverso la trasformazione di Hopf-Cole e l'equazione del calore. Soluzione generale dell'equazione del calore e sua soluzione fondamentale; caso in cui la condizione iniziale e' la delta di Dirac o la funzione gradino. Soluzione generale del problema di Cauchy per l'equazione di Burgers.

20/04/2018 (30)
Uso del metodo di Laplace per mostrare che la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione di Burgers con piccolo attrito da' luogo alla regolarizzazione dell'onda d'urto discontinua dell'equazione di Hopf. La soluzione esatta dell'equazione di Burgers che descrive la struttura del fronte d'onda dell'onda d'urto regolarizzata. Considerazioni finali sulla descrizione della dinamica attraverso due scale spazio-temporali.

20/04/2018  (16:00-18:00, aula 3, recupero) (32)
Il metodo perturbativo multiscala applicato allo studio di oscillatori anarmonici nel caso di non linearita' debole. I casi Hamiltoniano, con attrito, e l'oscillatore di Van der Pol.

24/04/2018 (34)
Il metodo perturbativo multiscala applicato ad equazioni alle derivate parziali non lineari. Esempio: l'equazione di Sine-Gordon come limite continuo del modello di Scott, e caso particolare dell'equazione di Klein Gordon non lineare. Regime debolmente non lineare e quasi monocromatico: la lenta modulazione dell'ampiezza e' descritta dall'equazione modello di Schroedinger non lineare di tipo focusing o defocusing.

27/04/2018 (36)
Considerazioni sulla universalita' del risultato ottenuto, con l'uso della relazione di dispersione. Regime debolmente non lineare per classi di equazioni iperboliche e l'equazione di Hopf come condizione di eliminazione della secolarita'. Classi di equazioni non lineari dissipative in regime debolmente non lineare e l'equazione modello di Burgers nel caso di dissipazione debole.

27/04/2018   (16:00-18:00, aula 3, recupero) (38)
Classi di equazioni non lineari dissipative in regime debolmente non lineare e l'equazione modello di Burgers nel caso di onde lunghe. Classi di equazioni non lineari dispersive in regime debolmente non lineare e con debole dispersione, e l'equazione modello di Korteweg- de Vries.  

04/05/2018 (40)
Derivazione delle equazioni di Navier-Stokes. Caso delle onde d'acqua di superficie. Piccole ampiezze e relazione di dispersione; onde lunghe (acque poco profonde) e onde corte (acque profonde). Limite di onde lunghe di piccola ampiezza: dispersione debole e descrizione attraverso l'equazione di KdV.

08/05/2018 (42)
Onde di superficie, lunghe e di piccola ampiezza, e l'equazione di Kadomtsev-Petviashvili (cenni). L'equazione di Korteveg-de Vries e la sua coppia di Lax. Il metodo dell'Inverse Scattering Transform (IST). Problema diretto per l'operatore di Schroedinger stazionario con energia positiva (prima parte): definizione delle autofunzioni di Jost, simmetrie, equazione e matrice di scattering. Wronskiano delle soluzioni di Jost.

11/05/2018  14-16 (44)
Coefficienti di scattering a(k) e b(k) come Wronskiano di delle soluzioni di Jost. Rappresentazione integrale delle funzioni di Jost attraverso le funzioni di Green avanzata e ritardata dell'oscillatore armonico. Proprieta' di analiticita' delle soluzioni di Jost e di a(k). Ricostruzione di u(x) dal coefficiente di 1/k della soluzione di Jost, per k grande. Spettro discreto e relazione tra gli zeri di a(k) e gli autovalori dell'operatore di Schroedinger.

11/05/2018  16-18 ** (46)
Esercitazione sulla convergenza uniforme della serie di Neumann che descrive la soluzione dell'equazione integrale per l'autofunzione di Jost.

15/05/2018 (48)
Gli zeri di a(k) sono semplici e in numero finito. Equazione di scattering e separazione delle parti analitiche sopra e sotto. Proiettori di analititicita' e loro uso per scrivere il sistema di equazioni integrali del problema inverso, con ricostruzione del potenziale. Definizione dei dati di scattering e loro evoluzione temporale semplice. Limite di campo debole e trasformata di Fourier.

18/05/2018 (50)
Potenziali reflectionless e sistema algebrico lineare. Caso N=1 e soluzione ad un solitone; proprieta' del solitone. Caso N=2 e soluzione a due solitoni. Interazione non lineare e phase shift. Considerazioni generali sul problema di Cauchy. Perche' le equazioni modello non lineari di questo corso sono non solo rilevanti nelle applicazioni, ma sono speciali anche dal punto di vista matematico; cosi' speciali da essere integrabili.

29/05/2018 (52)
L'equazione di Schroedinger non lineare (NLS) di tipo focusing come equazione modello per lo studio delle instabilita' della modulazione dell'ampiezza di onde quasi-monocromatiche debolmente non lineari. Instabilita' della soluzione exp(2it) di background per perturbazioni con onde di lunghezza d'onda sufficientemente grande. Calcolo della soluzione del problema di Cauchy sul segmento, con condizione iniziale data da una piccola perturbazione monocromatica di tale background, che eccita un modo instabile, per tempi finiti.

12/06/2018 (54)
Problema di Cauchy periodico sul segmento [0,L] e quantizzazione dei numeri d'onda. Caso di un solo modo di Fourier instabile.
Uso della trasformata di Darboux per costruire la soluzione solitonica sul background che descrive l'evoluzione di un modo instabile (prima parte).

15/06/2018 (56)
Uso della trasformata di Darboux per costruire la soluzione solitonica sul background che descrive l'evoluzione di un modo instabile (la soluzione di Akhmediev); seconda parte. Descrizione analitica della prima apparizione dell'onda anomala attraverso il raccordo tra l'evoluto della condizione iniziale e la soluzione di Akhmediev, e calcolo dei suoi parametri liberi in funzione dei dati iniziali.