Diario delle lezioni del corso di MMMF, AA 2019-20, aula Amaldi 24/02/2020 (2 ore)(2) Introduzione ai numeri complessi. Piano di Argand-Gauss; rappresentazione cartesiana e polare. Formula di Euler - de Moivre. Interpretazione geometrica delle operazioni elementari sui numeri complessi. Disuguaglianza triangolare. Esempi. Interpretazione geometrica del prodotto e della potenza n-esima. Radice n-esima come funzione polidroma; esempio. La radice n-esima dell'unita'. 25/02/2020 (2 ore)(4) Il piano complesso come spazio normato (e quindi metrico). Equazione della retta nel piano complesso (forma parametrica e non). Intorno, dominio (aperto connesso); esempi di domini semplicemente e doppiamente connessi. Proiezione stereografica e punto all'infinito. La trasformazione z-> 1/z, che mappa l'intorno di 0 nell'intorno di infinito, e viceversa. La trasformazione reciproca w=1/z, e suo significato geometrico. Funzioni complesse di variabile complessa polidrome e monodrome. Funzioni iniettive, surgettive e bigettive, con esempi. Parte reale ed immaginaria di f(z): f(z)=u(x,y)+i v(x,y). Esempi in cui, date u e v, si costruisce f(z), in generale come funzione di z e \bar z. 26/02/2020 (2 ore)(6) La continuita' di f(z) equivale alla continuita' di u(x,y) e v(x,y). Derivabilita' in un punto, analiticita' in un dominio, condizioni di Cauchy-Riemann e implicazioni. Esempi. Regole formali di derivazione. 27/02/2020 (2 ore)(8) Funzione armonica in un dominio come parte reale (o immaginaria) di una funzione analitica, e costruzione della parte immaginaria (o reale). Esercizio. Funzioni analitiche e sistemi di coordinate curvilinee ortogonali del piano, generate dalle curve di livello di u(x,y)=cost e v(x,y)=cost. Funzione analitica come trasformazione conforme. 28/02/2020 (2 ore)(10) La trasformazione w=1/z trasforma cerchi in cerchi (in rette nel caso degenere). La trasformazione di Moebius come trasf. invertibile che contiene, come casi particolari, la trasf. lineare e reciproca, e' un gruppo non commutativo. La trasformazione di Moebius come composizione, nell'ordine, di una trasf. lineare, di una reciproca, e di una lineare: essa trasforma cerchi in cerchi (in rette nel caso degenere). Funzione z^{1/2} polidroma. Rotazione intorno a 0 e passaggio da una determinazione all'altra. Definizione di rami monodromi. 02/03/2020 (2 ore)(12) Def. di punto di diramazione. 0 e \infty sono i punti di diramazione. La funzione z^{1/2} e' analitica nel piano tagliato da 0 all'infinito. La funzione riprende il suo valore dopo due giri; secondo foglio; la sup. a due fogli e' topologicamente equivalente a una sfera (di Riemann) di genere = 0. Caso ((z-z_1)(z-z_2))^{1/2}: punti di diramazione z_1,z_2; taglio da z_1 a z_2; sup. di Riemann a due fogli topologicamente equiv. a sfera (genere = 0). 03/03/2020 (2 ore)(14) La funzione esponenziale w=e^z; periodicita' ed assenza di zeri. Trasforma il reticolo ortogonale del piano z nel reticolo curvilineo ortogonale polare del piano w. La funzione inversa w=Log z e' una funzione polidroma a infiniti valori. Girando intorno a 0 nel piano z, con 0< arg z <2\pi, la funzione subisce l'incremento 2\pi i. 0 e infinito sono punti di diram., e il piano tagliato da 0 a infinito e' mappato sulla striscia orizzontale 0< v<2\pi. La superficie di Riemann ha a infiniti fogli. Esempi ed esercizi sul logaritmo. W=sin z e W=sinh z; periodicita' e zeri di funzioni trigonometriche e iperboliche. Rette verticali -> iperboli di fuochi 1,-1; 12/03/2020 (2 ore)(16) Rette orizzontali -> ellissi di fuochi 1,-1. La striscia verticale -\pi/2 piano con tagli da 1 a + infinito e da -1 a - infinito. w=arcsin z ha una doppia infinita' di valori. Sua espressione attraverso radice quadrata e logaritmo. Esempio con z=1/2. Calcolo dell'arco seno di 2 e di i. z=1,-1 sono punti di diram. di tipo radice quadrata; z=infinito e' punto di diram. di tipo logaritmico della funzione arcsin z. La funzione e' analitica e monodroma nel piano tagliato da 1 a +infinito, e da -1 a -infinito. L'immagine del piano tagliato e' la striscia verticale -\pi/2