Diario lezioni ONS, AA 2020-21. Aula Careri (martedi' e venerdi' 14:00-16:00) 26/02/2021 (2) Panoramica sugli argomenti del corso: 1) onde lineari e dispersive. 2) Onde iperboliche non lineari, la catastrofe del gradiente e la regolarizzazione dissipativa. 3) Equazioni della Fisica, metodi perturbativi multiscala in regime debolmente non lineare, ed equazioni non lineari modello della fisica matematica. 4) Il metodo della trasformata spettrale inversa; solitoni e onde anomale. Problema di Cauchy per equazioni lineari e dispersive, metodo della trasformata di Fourier e rappresentazione di Fourier della soluzione. ========================================== 02/03/2021 (4) Soluzione fondamentale per condizione iniziale impulsiva che, se omega(k)=k^n, diventa soluzione di similarita'. Esempio di calcolo esplicito della soluzione fondamentale per l'equaz. di Schroediner. Comportamento asintotico (per grandi tempi t>>1 e x/t=O(1) della soluzione attraverso il metodo della fase stazionaria. Caso di un solo punto di stazionarieta' della fase. Treno d'onde lentamente variabile. Il numero d'onda, che soddisfa ad un'equazione iperbolica non lineare, viaggia con la velocita' di gruppo. Il numero d'onda e la frequenza si propagano con la velocita' di gruppo; la fase si propaga con la velocita' di fase. ========================================== 05/03/2021 (6) L'energia del pacchetto si propaga con la velocita' di gruppo; dispersione del pacchetto d'onde. Esempio piu' semplice: l'equazione di Schroedinger per la particella libera. Soluzioni fondamentale (di similarita'). La soluzione a tempi lunghi come soluzione di similarita' lentamente variabile. Costruzione del termine successivo dello sviluppo asintotico. L'esempio dell'equazione di Korteweg de Vries (KdV) linearizzata. Soluzione fondamentale attraverso la funzione di Airy. Soluzione a tempi grandi per x/t=O(1)<0: treno d'onde dispersive lentamente variabile che viaggia verso sinistra. ================================== 09/03/2021 (8) Per x/t>0, i punti di stazionarieta' sono immaginari puri ed il metodo della fase stazionaria non puo' essere usato. Digressione sui metodi asintotici: l'integrazione per parti e il metodo di Laplace. Il metodo del punto di sella (prima parte). ================================ 12/03/2021 (10) Il metodo del punto di sella (seconda parte). Es. 1: studio del comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schroedinger. Es.2: l'integrale dell'esempio 1, integrato da ax/2t e Im(b)>0 (il contributo dominante viene ora dall'integrazione per parti). Es 3: comportamento a tempi lunghi della soluzione del problema di Cauchy per l'equazione di KdV linearizzata quando x/t>0. Il comportamento asintotico nella regione intermedia x/t^{1/3} usando la funzione di Airy (cenni). ================================ 16/03/2021 (12) L'equazione di Riemann u_t+c(u)u_x=0 come esempio di PDE quasi-lineari del prim'ordine; sua applicazione al caso del numero d'onda di un treno d'onde lentamente variablile, che viaggia con la velocita' di gruppo, nel caso di onde dispersive. Derivazione dall'equazione di continuita'. Il metodo delle caratteristiche. Soluzione attraverso l'inversione di equazione algebro-trascendente. Deformazione del profilo e rottura dell'onda. Intersezione delle caratteristiche. Caratterizzazione del punto di rottura. Esempio: l'equazione di Hopf u_t+u u_x=0 con condizione iniziale gaussiana. La soluzione esatta attraverso l'esempio delle onde di rarefazione e compressione, e calcolo del punto di rottura (nel caso compressivo). ================================ 19/03/2021 (14) Studio dell'evoluzione, attraverso l'equazione di Hopf, di una condizione iniziale localizzata nell'intorno del punto di rottura. L'equazione delle caratteristiche diventa una cubica. La soluzione prima della rottura, al tempo di rottura e dopo la rottura attraverso funzioni elementari. Significato geometrico di un'equazione scalare alle derivate parziali quasi lineare del prim'ordine, in un numero arbitrario di variabili indipendenti, e sistema di equazioni differenziali ordinarie equivalente. Due esercizi. ================================ 23/03/2021 (16) Ancora un esercizio sul metodo delle caratteristiche. Sistemi di N equazioni reali quasi lineari del prim'ordine sono iperbolici se la matrice rilevante ammette autovalori reali (non necessariamente distinti) ed autovettori indipendenti. In questo caso, le equazioni possono essere riscritte in forma iperbolica. Esempio: le equazioni della dinamica del gas e loro riscrittura in forma caratteristica. Si ha una grande semplificazione quando e' possibile introdurre gli invarianti (le funzioni) di Riemann, che disaccoppiano la parte differenziale delle equazioni, facendo si' che ogni variabile di Riemann viaggi sulla sua caratteristica. Gli invarianti di Riemann esistono sempre se N=1,2. Esistono solo in casi molto speciali quando N>2. Esempio: equazioni della dinamica dei gas nel caso iso-entropico, costruzione dei due invarianti di Riemann. Loro forma nel caso di gas politropico. ================================== 26/03/2021 (18) [online] Il problema della regolarizzazione della soluzione attraverso l'esistenza di soluzioni discontinue (onde d'urto). Caratterizzazione della condizione d'urto; legge di Rankine-Hugoniot e raccordo con la soluzione fornita dal metodo delle caratteristiche. La perdita di informazione relativa alla condizione iniziale nella regione tra eta_2 e eta_1 e l'aumento di entropia. Esempio: il problema della regolarizzazione dell'onda di compressione. ================================== 30/03/2021 (20) [online] Il problema del pistone per un gas politropico, con condizioni iniziali costanti e per una traiettoria generica del pistone; la soluzione con individuazione delle eventuali regioni di polidromia. La regolarizzazione attraverso l'onda d'urto. Il caso esplicito di velocita' costante del pistone, positiva e negativa. Regolarizzazione dissipativa dele equazioni di Riemann e di Hopf; conservazione della massa e perdita di energia. ================================= Vacanze di Pasqua ======================================== 09/04/2021 (22) L'equazione di Burgers e il suo schema di risoluzione attraverso la trasformazione di Hopf-Cole e l'equazione del calore. Soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore e sua soluzione fondamentale; caso in cui la condizione iniziale e' la delta di Dirac o la funzione gradino. Soluzione del problema di Cauchy per l'equazione di Burgers. Uso del metodo di Laplace per mostrare che, per debole dissipazione e nel caso di un solo punto critico, la soluzione del problema di Cauchy si riduce a quella ottenuta col metodo delle caratteristiche per l'equazione di Hopf. ================================== 13/04/2021 (24) Nel caso di tre punti critici (due massimi relativi ed un minimo relativo) si ha, attraverso il metodo di Laplace, all'onda d'urto discontinua dell'equazione di Hopf. La soluzione esatta dell'equazione di Burgers che descrive la struttura del fronte d'onda dell'onda d'urto regolarizzata. Il metodo perturbativo multiscala applicato allo studio dell'equazione del pendolo semplice, nel caso di non linearita' debole. Sviluppo in serie potenze di epsilon e secolarita' con divergenza lineare nel tempo, non compatibile col carattere hamiltoniano della dinamica. ============================== 16/04/2021 (26) Sviluppo multiscala per ODEs nell'esempio del pendolo semplice, nel caso di non linearita' debole, che sana le secolarita' di uno sviluppo piu' piu' ingenuo. Il metodo perturbativo multiscala applicato ad equazioni alle derivate parziali non lineari. Esempio: l'equazione di Sine-Gordon come limite continuo del modello di Scott, ed esempio significativo di equazione di Klein Gordon non lineare. Regime debolmente non lineare e quasi monocromatico: la lenta modulazione dell'ampiezza e' descritta dall'equazione modello di Schroedinger non lineare (NLS). Generalita' del risultato. Le variabili lente attraverso la relazione di dispersione. ============================== 20/04/2021 (28) NLS focusing e defocusing. Regime debolmente non lineare per classi di equazioni iperboliche e l'equazione modello di Hopf come condizione di eliminazione della secolarita'. Classi di equazioni non lineari dissipative in regime debolmente non lineare e l'equazione modello di Burgers nei casi di i) dissipazione debole, e ii) onde lunghe. Classi di equazioni non lineari e dispersive in regime debolmente non lineare e debolmente dispersivo, e l'equazione modello di Korteweg-de Vries (KdV). ============================== 23/04/2021 (30) Derivazione delle equazioni di Euler e Navier-Stokes della fluidodinamica. Idrodinamica nel caso irrotazionale. Equazione per le onde d'acqua di superficie. Soluzione del problema linearizzato e relazione di dispersione; onde lunghe (acque poco profonde) e onde corte (acque profonde). Esempi: rispettivamente gli tsunami e le onde prodotte dal vento. Limite di onde lunghe (dispersione debole) di piccola ampiezza. Caso unidimensionale e l'equazione di KdV. =============================== 27/04/2021 (32) Ottica non lineare in assenza di cariche e correnti esterne, in mezzi non magnetici. Indice di rifrazione lentamente variabile e dipendente dall'intensita' luminosa |A|^2. Approssimazione parassiale ed equazione di Schroedinger con nonlinearita' di ordine 2n+1. Piccola intensita' ed equazione NLS. L'equazione di Korteveg-de Vries e la sua coppia di Lax. Il metodo dell'Inverse Scattering Transform (IST). Problema diretto per l'operatore di Schroedinger stazionario con energia positiva: definizione delle autofunzioni di Jost, simmetrie; equazione e coefficienti di scattering a(k) e b(k). ================================= 30/04/2021 (34) Wronskiano delle soluzioni di Jost. Rappresentazione integrale delle funzioni di Jost attraverso le funzioni di Green avanzata e ritardata dell'oscillatore armonico. Studio delle proprieta' di analiticita' delle soluzioni di Jost: serie di Neumann, analiticita' dei sui termini, convergenza totale della serie, e quindi dimostrazione delle proprieta' di analiticita' in semipiani del piano complesso k. Proprieta' di analiticita' di a(k). ============================= 04/05/2021 (36) Comportamento asintotico delle autofunzioni di Jost e di a(k) per grandi valori dell'energia. Ricostruzione di u(x) dal coefficiente di 1/k dalla conoscenza della soluzione di Jost, per k grande. Spettro discreto; considerazioni preliminari e autofunzioni al quadrato sommabili. Gli zeri di a(k), che costituiscono lo spettro discreto, sono semplici e in numero finito. Equazione di scattering e separazione delle parti analitiche sopra e sotto. Proiettori di analiticita' e formula di Plemelj-Sokotski. ============================== 07/05/2021 (38) Ancora sulle proprieta' dei proiettori di analiticita', e loro uso per scrivere il sistema di equazioni integrali del problema inverso, con ricostruzione del potenziale. Definizione dei dati di scattering e loro evoluzione temporale semplice. In assenza di spettro discreto, onde dispersive non lineari. Se u(x)>0 oppure e' piccolo, c'e' solo spettro continuo ed una sola equazione integrale nel problema inverso. Nel limite di campo debole (u piccolo) la trasformata spettrale si riduce alla trasformata di Fourier. ============================== 11/05/2021 (40) Potenziali reflectionless e sistema algebrico lineare. Caso N=1 e soluzione ad un solitone; proprieta' del solitone. Caso N=2 e soluzione a due solitoni. Interazione non lineare e phase shift. Equazione di KdV come teoria di campo classica non lineare. Coppia di Lax e costruzione di un insieme numerabile di PDEs non lineari integrabili, come la KdV, attraverso il problema spettrale di Schroedinger. ============================== 14/05/2021 (42) [online] Insieme numerabile di (generatori infinitesimi di) simmetrie e di (derivate variazionali di) costanti del moto dell'intera gerarchia di equazioni, e loro relazione (analogo del teorema di Noether). Involutivita' delle costanti del moto e analogo infinito dimensionale del teorema di Liouville. Altri esempi di equazioni integrabili di tipo solitonico: l'equazione di Schroedinger non lineare e l'equazione di Kadomtsev-Petviashvili, con le loro coppie di Lax. Applicabilita' versus integrabilita'. Perche' le equazioni modello non lineari di questo corso sono non solo rilevanti nelle applicazioni fisiche, ma sono speciali anche dal punto di vista matematico, cosi' speciali da essere integrabili. ============================== 18/05/2021 (44) Le Trasformazioni di Darboux (TD) permettono di costruire, attraverso tecniche puramente algebriche, soluzioni dell'equazione integrabile di tipo solitonico dalla conoscenza di soluzioni piu semplici dell'equazione stessa. Costruzione della TD per l'equazione di KdV e calcolo della soluzione ad un solitone partendo dalla soluzione banale u=0. Significato spettrale della TD: essa aggiunge uno zero al coefficiente di scattering a(k) (uno stato legato all'operatore di Schroedinger). L'equazione di Schrodinger non lineare e la sua coppia di Lax. ============================== 21/05/2021 (46) La TD per l'equazione di Schroedinger nonlineare. Costruzione della matrice di Darboux sotto l'ipotesi che sia una funzione razionale del parametro spettrale, con un numero finito N di poli semplici. ============================== 25/05/2021 (48) Applicazione della TD della NLS al caso in cui la soluzione iniziale sia la soluzione nulla, e costruzione della soluzione ad un solitone, sia nel caso focusing (il solitone bright) che nel caso defocusing (solitone singolare). Applicazione della TD della NLS partendo dalla soluzione di background u=exp(2it), e costruzione della soluzione di Akhmediev, periodica in x e localizzata temporalmente sul background. La soluzione esatta di background [a exp(2i|a|^2t)] (equivalente al background u=exp(2it), grazie all'invarianza di scala e di gauge ) descrive i) la prima correzione non lineare all'onda piana monocromatica della teoria dell'onda di Stokes, soluzione non lineare periodica delle equazioni di Euler per le onde di superficie; ii) un'intensita' luminosa costante in ottica non lineare, e iii) uno stato con densita' bosonica costante in un condensato di Bose. ============================== 28/05/2021 (50) Introduzione storica: onda di Stokes, soluzione non lineare periodica delle equazioni di Euler per le onde di superficie, e sua instabilita' per perturbazioni di lunghezza d'onda sufficientemente grande. Uso dell'equazione modello di Schroedinger non lineare di tipo focusing per descrivere tale instabilita' in modo analitico. Instabilita' lineare della soluzione di background [a exp(2i|a|^2t)] della NLS di tipo focusing per perturbazioni monocromatiche con lunghezza d'onda sufficientemente grande (|k|<2). Il problema di Cauchy periodico della NLS focusing, per una perturbazione periodica generica del background instabile (il cosidetto problema delle onde anomale) e la sua soluzione per tempi |t|=O(1), usando la teoria linearizzata. Il metodo del raccordo asintotico per lo studio analitico della formazione dell'onda anomala, nel caso piu' semplice di un solo modo instabile. ============================== 01/06/2021 (52) Ancora sul metodo del raccordo asintotico per lo studio analitico della formazione dell'onda anomala, nel caso piu' semplice di un solo modo instabile. Ricorrenza delle onde anomale periodiche del tipo Fermi-Pasta-Ulam "ideale" (senza termalizzazione). La teoria spettrale per l'operatore di ZS con potenziale periodico. Costruzione della matrice di monodromia, analitica nel piano complesso lambda, e dei suoi autovalori e autovettori, funzioni polidrome che vivono su una superficie di Riemann a due fogli di genere infinito, se il potenziale e' generico. ============================== 04/06/2021 (54) Le autofunzioni di Bloch, legate agli autovalori e autovettori della matrice di monodromia, vivono su una superficie di Riemann a due fogli di genere infinito, se il potenziale e' generico. Definizione dello spettro principale (spettro a bande), e dei punti di diramazione e dei punti doppi, come estremi di tali bande. La matrice di monodromia per la soluzione di background; il suo spettro principale, con i punti di diramazione +-i, e gli infinity punti doppi. ============================== 08/06/2021 (56) Il calcolo analitico dello spettro della condizione iniziale che consiste nel background piu' perturbazione periodica generica attraverso la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo, e risoluzione della degenerazione dei punti doppi con l'apertura di infiniti gaps. La prima importante semplificazione del problema consiste quindi nel "chiudere" gli infiniti gaps associati ai punti doppi dell'asse reale, che corrispondono ai modi stabili, e che quindi danno luogo a piccole correzioni della soluzione. Restano aperti solo il numero finito di gaps associati ai punti doppi dell'asse immaginario, che corrispondono ai modi instabili. ============================== 11/06/2021 (58) Introduzione alla dinamica delle onde anomale periodiche in presenza di dissipazione, e l'esperimento di Sidney. L'effetto di una piccola dissipazione o di un piccolo guadagno sulla dinamica delle onde anomale periodiche. Prima parte: calcolo delle variazioni per il problema di Zakharov-Shabat. Relazione tra la variazione del potenziale, quella della funzione d'onda e quella della traccia della matrice di monodromia. Scelta delta U=U_t dt e variazione della traccia della matrice di monodromia nell'intervallo (0,t) dovuta alla presenza del termine non integrabile d'attrito, come somma delle variazioni legate alle singole apparizioni dell'onda anomala. ============================== 15/06/2021 (60) Uso della trasformazione di Darboux per costruire tutte le funzioni usate nella teoria e descrizione analitica della variazione dello spettro principale dovuta alla presenza di una piccola dissipazione o di un piccolo guadagno. Conseguente descrizione analitica della dinamica delle onde anomale periodiche in presenza di queste perturbazioni. La teoria delle onde anomale in piu' dimensioni spaziali e' tutta da costruire. Le equazioni NLS ellittica e iperbolica in 2+1 dimensioni e l'instabilita' lineare della soluzione di background rispetto a perturbazioni monocromatiche. ================================= FINE CORSO =====================