Argomenti svolti a lezione
- 30/09/20
- Cenni sulle geometrie non euclidee, proprietà intrinseche di una superficie, spazi localmente euclidei. Il
tensore metrico di una superficie, cambiamenti di coordinate.
- 01/10/20
- Curvatura gaussiana. Spazi localmente minkowskiani. Equivalenza tra gravitazione e inerzia. Crisi della teoria
newtoniana della gravitazione: precessione del perielio di Mercurio, nascita della Relatività
ristretta. Ascensore di Einstein, sistemi localmente inerziali (LIF).
- 02/10/20
- Principio di Equivalenza; formulazione debole e forte. Equazione delle geodetiche come conseguenza del Principio di
Equivalenza; simboli di Christoffel.
- 08/10/20
- Spazi topologici, varietà, carte, trasformazioni di coordinate, varietà differenziabili.
- 09/10/20
- Vettori contravarianti. Definizione geometrica di vettore: curve su una varietà, vettori tangenti,
derivate direzionali.
- 15/10/20
- Spazio tangente, vettori come operatori lineari, basi coordinate, traformazioni di vettori per
cambiamenti di coordinate. Uno-forme, spazio cotangente, basi duali, componenti di una uno-forma.
- 16/10/20
- Trasformazioni di uno-forme per cambiamenti di coordinate, differenziali, campi di vettori e uno-forme, tensori,
componenti di un tensore, spazio tensoriale.
- 22/10/20
- Prodotto esterno tra tensori, contrazione, basi degli spazi tensoriali. Trasformazioni di
tensori per cambiamenti di coordinate. Campi tensoriali. Tensori simmetrici e antisimmetrici.
- 23/10/20
- Esercizi. Prodotto scalare. Varietà riemanniane, pseudo-riemanniane e lorentziane. Tensore metrico.
Distanza infinitesima tra due punti.
- 29/10/20
- Lunghezza propria di un cammino. Innalzamento e abbassamento di indici di un tensore. Esercizi.
- 30/10/20
- Esercizi. Tensore metrico in un LIF. Connessione affine. Derivata covariante di un campo vettoriale.
- 05/11/20
- Derivata covariante di un campo scalare, di un campo di uno-forme, di un campo tensoriale.
Derivata covariante del tensore metrico. Connessione di Levi-Civita.
- 06/11/20
- Esempi. Trasporto parallelo di un vettore. Trasporto parallelo lungo un cammino chiuso su una sfera.
Equazione delle geodetiche; parametri affini.
- 12/11/20
- Coordinate di Fermi, basi non coordinate. Esercizi.
- 13/11/20
- Trasporto parallelo di un vettore attorno a un ciclo infinitesimo; tensore di Riemann. Tensore di Ricci e scalare di
cuvatura. Simmetrie del tensore di Riemann e identità di Ricci. Identità di Bianchi.
- 19/11/20
- Commutatore di derivate covarianti di un campo vettoriale. Deviazione geodetica, equazione della deviazione geodetica.
Tensore momento-energia di un sistema di particelle non interagenti in relatività speciale.
- 20/11/20
- Tensore momento-energia in relatività generale, interprentazione fisica delle sue componenti. Tensore momento-energia di una generica distribuzione di materia ed energia.
- 26/11/20
- Conservazione del tensore momento-energia e sua interpretazione in relatività speciale. Equazione della quadridivergenza del tensore momento-energia in relatività generale. Limite di campo debole e stazionario e di basse velocità dell'equazione delle geodetiche.
- 27/11/20
- Derivazione delle equazioni di Einstein. Tensore di Einstein
- 03/12/20
- Equazioni di Einstein e gradi di libertà. Trasformazioni di gauge. Gauge armonico. Isometrie dello spazio-tempo. Campi vettoriali di Killing. Equazione di Killing. Isometrie dello spazio-tempo di Minkowski.
- 04/12/20
- Isometrie della 2-sfera. Derivata di Lie. Proprietà delle componenti del tensore metrico in presenza di un campo vettoriale di Killing. Grandezze conservate in presenza di un campo vettoriale di Killing: moto geodetico e tensore momento-energia. Campi vettoriali hypersurface-orthogonal; teorema di Frobenius.
- 10/12/20
- Metrica di uno spazio-tempo statico e a simmetria sferica. Soluzione di Schwarzschild; raggio di Schwarzschild, massa geometrica. Teorema di Birkhoff.
- 11/12/20
- Singolarità di curvatura e di coordinate della metrica di Schwarzschild. Ipersuperfici timelike, spacelike e null. Proprietà delle ipersuperfici a raggio costante della metrica di Schwarzschild. Orizzonte degli eventi. Buco nero.
- 17/12/20
- Equazioni delle geodetiche da principi variazionali. Equazioni delle geodetiche nella metrica di Schwarzschild. Moto di una particella a massa nulla nella metrica di Schwarzschild.
- 18/12/20
- Moto di una particella massiva nella metrica di Schwarzschild. Caduta radiale di una particella massiva in un buco nero di Schwarzschild.
- 07/01/21
- Redshift gravitazionale delle linee spettrali.
- 08/01/21
- Deflessione della luce, precessione del perielio.
- 14/01/21
- Onde gravitazionali come perturbazioni dello spazio-tempo piatto. Gauge armonico. Equazione delle onde gravitazionali. Potenziali ritardati.
- 15/01/21
- Onde gravitazionali nel vuoto. Onde piane. Gauge transverse traceless.
- 21/01/21
- Effetti di un'onda gravitazionale sul moto relativo di particelle vicine. Onde gravitazionali ed interferometri di Michleson.