Argomenti svolti a lezione


30/09/20
Cenni sulle geometrie non euclidee, proprietà intrinseche di una superficie, spazi localmente euclidei. Il tensore metrico di una superficie, cambiamenti di coordinate.
01/10/20
Curvatura gaussiana. Spazi localmente minkowskiani. Equivalenza tra gravitazione e inerzia. Crisi della teoria newtoniana della gravitazione: precessione del perielio di Mercurio, nascita della Relatività ristretta. Ascensore di Einstein, sistemi localmente inerziali (LIF).
02/10/20
Principio di Equivalenza; formulazione debole e forte. Equazione delle geodetiche come conseguenza del Principio di Equivalenza; simboli di Christoffel.
08/10/20
Spazi topologici, varietà, carte, trasformazioni di coordinate, varietà differenziabili.
09/10/20
Vettori contravarianti. Definizione geometrica di vettore: curve su una varietà, vettori tangenti, derivate direzionali.
15/10/20
Spazio tangente, vettori come operatori lineari, basi coordinate, traformazioni di vettori per cambiamenti di coordinate. Uno-forme, spazio cotangente, basi duali, componenti di una uno-forma.
16/10/20
Trasformazioni di uno-forme per cambiamenti di coordinate, differenziali, campi di vettori e uno-forme, tensori, componenti di un tensore, spazio tensoriale.
22/10/20
Prodotto esterno tra tensori, contrazione, basi degli spazi tensoriali. Trasformazioni di tensori per cambiamenti di coordinate. Campi tensoriali. Tensori simmetrici e antisimmetrici.
23/10/20
Esercizi. Prodotto scalare. Varietà riemanniane, pseudo-riemanniane e lorentziane. Tensore metrico. Distanza infinitesima tra due punti.
29/10/20
Lunghezza propria di un cammino. Innalzamento e abbassamento di indici di un tensore. Esercizi.
30/10/20
Esercizi. Tensore metrico in un LIF. Connessione affine. Derivata covariante di un campo vettoriale.
05/11/20
Derivata covariante di un campo scalare, di un campo di uno-forme, di un campo tensoriale. Derivata covariante del tensore metrico. Connessione di Levi-Civita.
06/11/20
Esempi. Trasporto parallelo di un vettore. Trasporto parallelo lungo un cammino chiuso su una sfera. Equazione delle geodetiche; parametri affini.
12/11/20
Coordinate di Fermi, basi non coordinate. Esercizi.
13/11/20
Trasporto parallelo di un vettore attorno a un ciclo infinitesimo; tensore di Riemann. Tensore di Ricci e scalare di cuvatura. Simmetrie del tensore di Riemann e identità di Ricci. Identità di Bianchi.
19/11/20
Commutatore di derivate covarianti di un campo vettoriale. Deviazione geodetica, equazione della deviazione geodetica. Tensore momento-energia di un sistema di particelle non interagenti in relatività speciale.
20/11/20
Tensore momento-energia in relatività generale, interprentazione fisica delle sue componenti. Tensore momento-energia di una generica distribuzione di materia ed energia.
26/11/20
Conservazione del tensore momento-energia e sua interpretazione in relatività speciale. Equazione della quadridivergenza del tensore momento-energia in relatività generale. Limite di campo debole e stazionario e di basse velocità dell'equazione delle geodetiche.
27/11/20
Derivazione delle equazioni di Einstein. Tensore di Einstein
03/12/20
Equazioni di Einstein e gradi di libertà. Trasformazioni di gauge. Gauge armonico. Isometrie dello spazio-tempo. Campi vettoriali di Killing. Equazione di Killing. Isometrie dello spazio-tempo di Minkowski.
04/12/20
Isometrie della 2-sfera. Derivata di Lie. Proprietà delle componenti del tensore metrico in presenza di un campo vettoriale di Killing. Grandezze conservate in presenza di un campo vettoriale di Killing: moto geodetico e tensore momento-energia. Campi vettoriali hypersurface-orthogonal; teorema di Frobenius.
10/12/20
Metrica di uno spazio-tempo statico e a simmetria sferica. Soluzione di Schwarzschild; raggio di Schwarzschild, massa geometrica. Teorema di Birkhoff.
11/12/20
Singolarità di curvatura e di coordinate della metrica di Schwarzschild. Ipersuperfici timelike, spacelike e null. Proprietà delle ipersuperfici a raggio costante della metrica di Schwarzschild. Orizzonte degli eventi. Buco nero.
17/12/20
Equazioni delle geodetiche da principi variazionali. Equazioni delle geodetiche nella metrica di Schwarzschild. Moto di una particella a massa nulla nella metrica di Schwarzschild.
18/12/20
Moto di una particella massiva nella metrica di Schwarzschild. Caduta radiale di una particella massiva in un buco nero di Schwarzschild.
07/01/21
Redshift gravitazionale delle linee spettrali.
08/01/21
Deflessione della luce, precessione del perielio.
14/01/21
Onde gravitazionali come perturbazioni dello spazio-tempo piatto. Gauge armonico. Equazione delle onde gravitazionali. Potenziali ritardati.
15/01/21
Onde gravitazionali nel vuoto. Onde piane. Gauge transverse traceless.
21/01/21
Effetti di un'onda gravitazionale sul moto relativo di particelle vicine. Onde gravitazionali ed interferometri di Michleson.