Laboratorio di Calcolo (G. D'Agostini)

Argomenti di Matematica e Fisica 'toccati' a Lezione

• Costante solare e problemi energetici collegati.
• Minimalia di Fisica:
  • velocità media (v_m) e problema inverso (spazio percorso in Δt nota v_m);
  • accelerazione media (a_m) e problema inverso (variazione di velocità in Δt nota a_m);
  • "a = F/m";
  • legge gravità di Newton.
• Piano complesso.
• Potenze di numeri complessi
• Diametro angolare.
• Approssimazione di seno e tangente per piccoli angoli.
• Problemi di telemetria (con approssimazione di piccoli angoli).
• Parsec.
• Proprietà dei logaritmi e degli esponenziali; cambiamento di base e sua ripercursione nelle potenze di 10, di 2 e di e.
• Equazione di secondo grado.
• E = m c² (poteva mancare?)
• Soluzione di "zⁿ = i", n = 2 e 4.
• Sequenza di Fibonacci.
• Temperatura del Sole ('corpo nero' e 'Stefan-Boltzman').
• Problems (storico) della fonte di energia del Sole.
  (Per es. pellet: ≈ 5 kWh/kg = 1.8×10⁷ J/kg).
• Reinterpretazione di c² come 'efficienza energetica' in caso di annichilazione di massa (da E = mc²): c² ≈ 0.9 ×10¹⁷ J/kg.
• Moto uniformemente accelerato.
• Accelerazione prodotta dalla (sola) forza di gravità:
  • massa inerziale e massa gravitazionale (e perché si semplificano).
• Moto in caduta libera (con nota sulle unità di misura di g quando "ha il significato di" accelerazione di gravità e quando "ha il significato di" campo gravitazionale).
• Lanci orizzontali da un piano rialzato, con esperimento in aula.
• Cannone di Newton.
• Calcolo della velocità di un corpo in orbita circolare dalla conoscenza del raggio dell'orbita e dell'accelerazione di gravità per quel raggio (derivazione di Feynman).
• Parametri orbitali (indicativi) della ISS.
• Spazio di caduta nel primo secondo di
  • oggetto sulla Terra;
  • ISS;
  • Luna.
• Approssimazioni notevoli per ε << 1, basate su regole elementari di algebra, trascurando termini di ordine superiore:
  • (1 ± ε)² ≈ 1 ± 2ε
  • (1 ± ε)ⁿ ≈ 1 ± n ε
  • sqrt(1 ± ε) ≈ 1 ± ε/2
  • sqrt(1 - ε²) ≈ 1 - ε²/2,     da cui cos(ε) ≈ 1 - ε²/2, in quanto sin(ε) ≈ ε
  • 1/(1 ± ε) ≈ 1 ∓ ε
• Serie e successioni.
• Relazione fra accelerazione centripeta, velocità e raggio in un moto circolare uniforme (byproduct della derivazione à la Feynman della velocità di orbita circolare).
• Intersezione di due rette.
• Retta per due punti; retta dato 'm' e un punto.
• Andamento asintotico della successione di Fibonacci. Rapporto aureo.
• Linearizzazione di andamenti esponenziali mediante l'uso di scala logaritmica sulle ordinate.
• Cerchio dati centro e raggio.
• Colori dell'arcobaleno.
• Analisi dimensionale e 'calcolo dimensionale'.
• Coefficienti di un andamento esponenziale dati due punti.
• Lanci verticali con sola forza peso e problema di spazio di frenata.
• Lanci con velocità iniziale qualsiasi: velocità delle componenti cartesiane e modulo della velocità.
• Distanza raggiunta vs spazio percorso dopo un certo tempo.
• Rappresentazione binaria dei numeri interi 'unsigned'.
• Valutazione numerica dello spazio percorso
  • dai punti sulla traiettoria;
  • dalla velocità a diversi tempi.
• Calcolo numerico di aree e di lunghezze di percorsi su traiettorie curvilinee.
• Stima di pi greco dalla valutazione numerica dell'area di un semicerchio e di una semicirconferenza.
• Moto di un oggetto sospeso ad una molla: dimostrazione in aula, leggi del moto e soluzione numerica.
• Valutazione della dipendenza del periodo di oscillaziane da k e m della molla mediante argomenti dimensionali.
• Valutazione della dipendenza del periodo di oscillaziane del pendolo da l e g (e non da m!) mediante argomenti dimensionali.
• Valutazioni di aree per campionamento.
• Stima di pi greco per campionamento.
• Valutazione della dipendenza del periodo di rotazione di un pianeta in orbita circolare intorno al 'suo' Sole da G, dalla massa del Sole e dal raggio dell'orbita.
• Media pesata.
• Ipotetico pozzo per il centro della Terra: variazione della forza di gravità in funzione della distanza.
• Linearizzazione di leggi di potenza mediante l'uso di plot con scale log-log.
• Sul termine di 'ordine superiore' dell'approssimazione sin(x) ≈ x (valutazione empirica mediante analisi grafica).
• Matrici (trasposta, determinante, prodotto fra matrici, prodotto scalare, riduzione a matrice triangolare, etc.).
• Andamenti sinusoidali in funzione del tempo ed effetto su di essi dell'operatore della derivata (rispetto al tempo).
• Moto circolare uniforme e oscillazione armonica.
• Misure di distanza mediante triangolazione e distanza Terra-Sole (Aristarco di Samo)
• Epicicli nella visione tolemaica del moto dei pianeti intorno al sole.
• Prodotto scalare e valutazione dell'angolo fra due vettori.
• Forza di attrito del mezzo modellizzata come -βv (fluidi 'viscosi') o -ηv² (ad es. in aria),
  con segno meno a indicare che è diretta nel verso opposto a quello del moto.
  • Caso particolare di caduta verticale: velocità limite.
• Sommario e visualizzazione grafica di dati: istogrammi, barplot e 'pie' plot.
• Random walk discreto e distribuzione binomiale.
• Aritmetica modulare e sua applicazione (primordiale) alla criptografia.
• Metodo iterativo per il calcolo della radice quadrata.
• Metodo iteratico per la ricerca degli zeri di una funzione (generalizzazione del precedente).
• Ricerca numerica degli zeri di una funzione, in particolare di f(x) = x² - N.
• Media aritmetica, geometrica e armonica.
• Crivello di Eratostene per la ricerca dei numeri primi.
• Corpi orbitanti intorno al centro di massa comune.
• Centro di massa e trasformazione delle coordinate nel centro di massa.
• Problema dei tre corpi.
• Caos deterministico.
• Calcolo numerico di derivate.
• Equazioni differenziali, con soluzioni sia analitiche (se semplici) che numeriche (anche 'complicate' e con più variabili 'accoppiate').