Laboratorio di Calcolo (G. D'Agostini)

Problemini del lunedì [22 Ott]

Si raccomanda, soprattutto a coloro che venerdì non son potuti venire in laboratorio, di (almeno provare a) risolvere i problemi in sospeso.

Nuovi problemi

• Si suggerisce di implementare in R (e visualizzarle graficamente) le serie incontrate nel corso di analisi.
   
• Visto che in alcune serie compare il fattoriale, vediamo come ottenerlo con R. Sia n il numero del quale siamo interessati a valutare il fattoriale.
  1. Il modo più semplice è di usare factorial(n).
  2. Curiosamente si ottiene esattamente lo stesso risultato con gamma(n+1), ma questa funzione è assolutamente fuori programma,
  3. Possiamo costruirci il vettore di interi da 1 a n e ad esso applicare prod() (il caso "0! = 1" va trattato a parte).
     [Se invece siamo interessati ai fattoriali di tutti gli interi da 1 a n possiamo usare cumprod(), analoga di cumsum() già incontrata.]
  4. Possiamo usare il loop "for(i in 1:n)" per fare un prodotto alla volta, come già visto per la somma di n termini (ma il termine iniziale, invece di essere s=0, come nella somma, deve valere ovviamente p=1)
  5. Possiamo infine crearci la funzione fattoriale() con argomento n, la quale 'ritorna' 1 se n è uguale a zero, altrimenti moltiplica n per fattoriale(n-1). Vale a dire abbiamo una funzione che richiama se stessa.
     Sembra incredibile ma funziona: provare!
  
   
• Una volta che ha funzionato l'algoritmo recursivo del punto 5, siccome "l'appetito vien mangiando", scrivere una funzione che calcola in modo recursivo l'n-imo termine della successione di Fibonacci (solo l'n-imo termine e non tutti i primi n termini).
   
• Continuiamo a giocare con locator() (e soprattutto con la geometria!)
  • Dopo le rette e i cerchi ottenuti cliccando su due punti del plot, si possono disegnare dei rettangoli, sempre con due click, nell'ipotesi che i lati siano a coppie paralleli agli assi.
    (Si usi la funzione lines(), con argomenti i vettori delle x e delle y, ove i vettori sono ad esempio x <- c(-1, 3, 3, -1, -1) e y <- c(-2, -2, 8, 8, -2), valori da sostituire con quanto ottenuto da locator().)
    
  • trasformare lo script dell'intersezione di due rette in modo che esso chieda di cliccare su due punti per tracciare la prima retta, che visualizza, e poi su altri due punti per tracciare la seconda retta; quindi visualizza anche la seconda e il punto di intersezione fra le due;
  • fare uno script che chieda di cliccare su due punti per tracciare una retta, che visualizza, poi di cliccare un terzo punto non sulla retta; dopo di che
    1. visualizza il punto;
    2. si calcola i coefficienti della retta passante per il punto e ortogonale alla retta già tracciata, e la traccia;
    3. si calcola la distanza retta-punto e la scrive sul plot mediante la funzione text() (imparare ad usare mediante l'help o cercando su internet — il testo da stampare è la stringa che si ottiene mediante un opportuno sprintf(), già usato);
    4. si calcola il punto di intersezione fra le due rette e lo mostra.
  • Fare uno script che chieda di cliccare su due punti e traccia il segmento fra essi, poi chiede di cliccare, uno alla volta, su altri (N-2) punti e costruirsi la spezzata fra i tutti punti.
    • Interrompere (break) quando un punto è 'molto vicino' al precedente.
    • Tracciare infine il segmento che unisce il penultimo punto cliccato al primo, disegnando così figure piane 'di fantasia'.