pzd100 Momenti di una distribuzione e altri indicatori di forma

Abbiamo visto come valore atteso e varianza di una distribuzione di probabilità hanno una analogia formale con il baricentro e il momento di inerzia di una distribuzione di punti materiali. Allo stesso modo, Si può definire nel modo più generale

E$$\left[(X-c)^r\right]\,,$$

il momento di ordine r di $X$ rispetto a c.

Se $c$ è pari a zero si parla semplicemente di momento di ordine $r$. In termini di momenti il valore atteso e la varianza hanno le sequenti definizioni:

• il valore atteso è pari al momento primo di $X$;
• la varianza è pari al momento secondo di $X$ rispetto a $\mu$.

Accenniamo ad altri due momenti che possono essere utili per quantificare la forma della distribuzione, anche se non ne faremo alcun uso per quanto riguarda le applicazioni. Per convenienza essi sono divisi per una potenza di ordine $r$ della deviazione standard, scala tipica degli scarti.

• la skewness, definita come
  $$\frac{\mbox{E}[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}\,,$$
  misura il grado di asimmetria della distribuzione rispetto alla media. Infatti, nel caso di distribuzione simmetrica la previsione degli scarti (con segno) è nulla.
• La curtosi, definita come
  $$\frac{\mbox{E}[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}\,,$$
  indica quanto una distribuzione è ``aguzza''. Un valore grande sta ad indicare che è molto probabile trovare la variabile casuale entro circa $\pm\sigma$ dalla media e, nello stesso tempo, sono possibili grandi valori dello scarto (i quali danno un contributo a E$[(X-m)^4]$ maggiore di quanto lo diano a $\sigma^2$).

Per capire le informazioni complementari fornite dai vari momenti, si possono considerare queste due semplici distribuzioni:

1. ${\cal K}_9$: $f(x_i)=1/9$ $\forall x_i$;
2. $f(x_i)= 1/6$, con $x_i = 0.65$, 4, 5, 5, 6 e 9.35.

Esse hanno stesso valore atteso ($\mu = 5$), deviazione standard ( $\sigma=2.58$) e skewness (uguale a 0, in quanto entrambe simmetriche rispetto al baricentro). Differiscono solo per la curtosi, uguale a 1.8 nella prima (uniforme) e 2.8 nella seconda (costituita da quattro valori valori raggruppati e da due ``lontani'').