Caso poissoniano

Se il numero di conteggi osservato è grande, la verosimiglianza $X\sim {\cal P}_\lambda$ è pressoché gaussiana, ovvero

$$X \sim \ \approx{\cal N}(\lambda,\sqrt{\lambda})\,.$$

Se si assume una condizione sufficiente vaga su $\lambda$ si ha

$$\lambda \sim {\cal N}(x, \sigma(X))\,,$$

con

$$(\lambda) \approx x$$ (12.1)

$$\sigma(\lambda) \approx \sigma(x) \approx \sqrt{\mbox{E}(\lambda)} \approx \sqrt{x}\,,$$ (12.2)

ovvero

$$\lambda \sim \ \approx{\cal N}(x, \sqrt{x})\,.$$ (12.3)

A seconda che i conteggi siano nel dominio del tempo o dello spazio si possono inferire le opportune intensità dei processi di Poisson associati dividendo per il tempo o la porzione di spazio nel quale si sono verificati i conteggi. Ad esempio, se i conteggi si sono verificati in un tempo $T$ perfettamente noto, abbiamo

$$r \sim {\cal N}(\frac{x}{T},\frac{\sqrt{x}}{T}\,.$$ (12.4)