Soluzioni concettuali dei problemi della prova del 21 luglio
- Le assegnazioni di probabilità devono soddisfare
le regole di base, in particolare la probabilità di
un prodotto logico di due eventi/ipotesi
non può essere maggiore della probabilità di ciascuno/a di essi/e.
- Semplice applicazione del teorema di Bayes, con risultato
peraltro inizialmente controintuitivo.
- Processo di Poisson: dall'informazione data ci si ricava
il parametro τ della distribuzione esponenziale, quindi
l'intensità r del processo e infine λ della poissoniana.
- Distribuzione multinomiale e distribuzione binomiale.
- Normale bivariata (la normalità è l'assunzione tipica
in questo tipo di risultati se non viene specificato
nient'altro), quindi distribuzione condizionata:
il valore atteso di μ1 viene opportunamente
shiftato e la sua incertezza `strizzata'.
- Inferenza del parametro p della binomiale
- pdf: con prior uniforme, modellizzata da opportuna distribuzione beta,
si riduce ad una beta di parametri (101,1), dalla quale
si ricava moda (1), valore atteso (dato dalla formula di successione
di Laplace), deviazione standard (se uno non si ricorda la
formula esatta non e' grave...)
ed eventualmente limite inferiore ad un tot percento
di probabilità;
- La probabilità di un futuro 'successo' è proprio il
valore atteso di p.
- Si cambia con una uniforme fino a 0.95 e si rinormalizza:
la pdf ha la stessa forma di quella precedente, ma diversa
da zero solo fra 0 e 0.95; la moda e' in 0.95 e il valore
atteso va fatto con l'opportuno integrale (→ 0.941,
contro 0.990 precedente).
- Trasformazione lineare di variabili, a partire da normale
bivariata di matrice di covarianza nota:
- trasformazione della matrice di covarianza mediante
la matrice C dei coefficienti: → il risultato
è ancora una normale multivariata e la probabilità
cercata è calcolate mediante opportuno integrale
(possibilmente eseguito mediante l'ausilio
di qualche libreria scientifica);
- più 'brutalmente' si poteva risolvere il problema
mediante campionamento,
estraendo le variabili di partenza da una normale
bivariata
(usando qualche libreria o fatta a mano da un generatore
random gaussiano), calcolando per ogni occorrenza
di μ1 e μ2 le tre variabili
di interesse, etc.
- Errore sistematico di 'offset' di valore incerto:
- l'incertezza totale è pari alla combinazione in quadratura
di quella individuale e quella sull'offset;
- il coefficiente di correlazione è pari prodotto
delle incertezze comuni diviso il prodotto di quelle
totali;
- nella differenza contano soltanto le incertezze individuali
non correlate.
Note:
- Il testo poteva essere ambiguo in quanto si poteva
intendere che in 1.05 +- 0.04 e 1.23 +- 0.04
le due incertezze potessero essere quelle globali, ma tale
eventualità era esclusa dal fatto che l'incertezza sullo zero
era 0.10 (il tutto nelle unità arbitrarie);
- ci si attendeva che la formula per ottenere il coefficiente
di correlazione venisse ricordata per la sua importanza,
comunque poteva essere ricavata considerando il contributo
sistematico come una correzione a quello senza e valutando
quindi la covarianza fra i valori risultanti.