Numeri complessi
Fondamenti assiomatici del sistema di numeri complessi: definizione di ugualianza, somma e prodotto.
Il campo C dei numeri complessi.
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi.
Moduli e coniugati.
Disugualianza triangolare.
Forma polare dei numeri complessi.
Forma esponenziale dei numeri complessi.
Formula di de Moivre.
Radici di numeri complessi.
Regioni nel piano complesso.
Spazi metrici
Spazi metrici: definizione ed esempi.
Insiemi aperti, chiusi e loro proprieta'.
Interno, chiusura e bordo di un insieme.
Insiemi densi.
Insiemi connessi in C.
Successioni convergenti, punti limite.
Caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite successioni convergenti.
Successioni di Cauchy: convergenza implica Cauchy.
Spazi metrici completi: esempi.
Completezza di C (a partire dalla completezza di R).
Insiemi Limitati.
Spazi metrici (sequanzialmente) compatti.
Teorema di Heine-Borel.
Successioni e completezza: compatto implica completo.
Definizione di convergenza per funzioni tra spazi metrici.
Funzioni continue, uniformemente continue e Lipschitz: mutue implicazioni
ed esempi.
Funzione continua su compatto implica uniformemente continua.
Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni: convergenza e convergenza uniforme.
Una successione di funzioni continue convergenti uniformemente ha
come limite una funzione continua.
Somme parziali di una succesione di funzioni a valori in C: serie di funzioni.
Convergenza, convergenza assoluta e convergenza uniforme di una serie.
Test M di Weierstrass per la convergenza uniforme di una serie.
Una serie uniformemente convergente e' convergente.
Limiti superiore e inferiore di una successione numerica reale: proprieta' ed esempi.
Serie di potenze.
Raggio di convergenza: teorema di Abel.
Criterio del rapporto.
Funzioni analitiche
Funzioni di una variabile complessa.
Trasformazioni mediante funzioni complesse.
Limiti: unicita', limiti delle funzioni parte reale e immaginaria, limite della somma, del prodotto e del rapporto.
Piano complesso esteso e limiti con il punto all'infinito.
Continuita: continuita' delle funzioni parte reale e immaginaria, funzioni composte, limitatezza delle funzioni continue su compatti.
Derivate. Formule di derivazione per la somma, il prodotto, il rapporto, la composizione di funzioni derivabili.
Equazioni di Cauchy-Riemann.
Condizioni sufficienti per l'esistenza della derivata.
Equazioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari.
Funzioni analitiche.
Punti singolari.
Se f'=0 in un aperto e connesso allora f e' costante.
Funzioni armoniche.
Armonica coniugata e sua determinazione.
Univocita' delle funzioni. Prolungamento analitico
Principio di riflessione.
Funzioni elementari
Funzione esponenziale.
Funzione logaritmo e sue diramazioni.
Potenze con esponenti complessi.
Funzioni esponenziali con base complessa.
Funzioni trigonometriche.
Funzioni iperboliche.
Funzioni trigonometriche e iperboliche inverse.
Integrali
Derivate e integrali di funzioni di variabile reale a valori complessi.
Archi, archi differenziabili, archi lisci.
Cammini come archi lisci a tratti.
Cammini chiusi semplici: teorema della curva di Jordan (non dimostrato).
Lunghezza di un cammino.
Integrali di funzioni complesse su cammini.
Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione del cammino.
Maggiorazione del modulo di un integrale su cammino.
Primitive.
Teorema fondamentale del calcolo.
Primitive di funzioni polidrome e calcolo di integrali su cammini chiusi.
Teorema di Cauchy-Goursat.
Domini semplicemente e molteplicemente connessi.
Formula integrale di Cauchy.
Derivate di funzioni analitiche.
Teorema di Morera.
Teorema di Liouville.
Teorema fondamentale dell'algebra.
Teorema del massimo (minimo) modulo.
Sviluppi in serie
Serie di Taylor: esempi notevoli.
Serie di Laurent: esempi notevoli.
Integrazione e derivazione di serie di potenze.
Unicita' delle rappresentazioni in serie di Taylor e Laurent.
Moltiplicazione e divisione di serie di potenze.
Residui
Singolarita' e singolarita' isolate.
Residuo di una funzione in una singolarita' isolata.
Teorema dei residui.
Teorema dei residui con il residuo all'infinito.
Classificazione delle singolarita' isolate: singolarita' eliminabili, poli, singolarita' essenziali.
Residui nei poli.
Zeri delle funzioni analitiche.
Gli zeri delle funzioni analitiche non identicamente nulle sono isolati.
Condizioni sotto le quali una funzione analitica e' identicamente nulla.
Relazione tra zeri e poli di ordine m.
Comportamento di una funzione in prossimita' di singolarita'
eliminabili o essenziali.
Applicazioni dei residui
Integrali impropri: convergenza e valore principale.
Integrali di funzioni razionali.
Integrali di funzioni razionali moltiplicate per funzioni seno o coseno.
Lemma di Jordan.
Cammini di integrazione indentati.
Indentazione intorno a un polo semplice.
Indentazione intorno a un punto di diramazione.
Integrazione lungo un asse di diramazione.
Integrali definiti di funzioni di funzioni seno e coseno.
Testi consigliati