pzd100Simulazioni

L'importanza di aver introdotto il processo di Bernoulli consiste nell'aver potuto ricondurre molte distribuzioni di probabilità (geometrica, binomiale, Erlang) ad un solo processo elementare. La probabilità di eventi complicati sono quindi calcolati dalla probabilità di eventi semplici, applicando le regole generali della probabilità. Non sempre è possibile arrivare a formule compatte per calcolare la probabilità degli eventi di interesse. Si ricorre allora a simulazioni di processi elementari che compongono l'evento complicato. Questi metodi di simulazione sono chiamati di ``Monte Carlo'', in quanto fanno uso di estrazioni casuali di numeri, un po' come avviene in un casinò.

Come esempio di un semplice problema impossibile analiticamente, si pensi al Gioco dell'Oca.^7.4 Per esempio, si può essere interessati al numero di giri necessari per vincere. Oppure, si immagini di entrare in una stanza dove alcuni bambini stanno giocando al gioco dell'oca. Quanto vale la probabilità che la pedina di un certo bambino che abbia passato il suo turno si trovi in una delle caselle numerate da 1 a 62 (a 63 si vince). Pur essendo l'applicazione banale, la tecnica di simulazione è concettualmente simile a quella applicata in problemi di fisica nucleare o di traffico urbano. La figura 7.2 mostra la distribuzione di frequenze dei giri necessari per vincere ottenuta in 10$^\cdot$000 simulazioni. Si noti la lunga coda, dovuta alla regola di indietreggiare, soprattutto in prossimità dell'arrivo, qualora si ottenga un punteggio più alto di quello esattamente necessario per vincere.

Figura: Risultato della simulazione di 10$^\cdot$000 volte del gioco dell'oca condotto da una sola persona: distribuzione del numero $n$ di giri ($g$) necessari per vincere. Il diagramma a barre è troncato a $g=100$ (5 partite superano tale limite).

Come al solito, le code sono meglio apprezzate su scala logaritmica (figura 7.3).

Figura: Come figura 7.2, con la frequenza in scala logaritmica.

Oltre $g=20$ la coda esibisce un andamento esponenziale negativo, ovvero $n\propto e^{-g/\tau}$, ove $\tau$ è la ``costante di tempo'' e vale 12.75. Quindi, un singolo giocatore può trascorrere, con probabilità ``zero'', un tempo ``infinito'' per arrivare a vincere. Infine, la figura 7.4 mostra la frazione del tempo di occupazione delle diverse caselle una volta che il giocatore abbia passato la mano.

Figura: Frequenza di occupazione delle varie caselle del gioco dell'oca.

Come è noto dall'esperienza, la maggior parte del tempo viene perso nei rimbalzi intorno alla casella finale, finché essa non viene centrata esattamente. Si notano gli zeri in corrispondenza delle caselle da cui si deve avanzare o retrocedere e i picchi in corrispondenza alle soste forzate o agli avanzamenti/retrocessioni dirette.

Cerchiamo di capire meglio l'andamento esponenziale della coda. Esso è dovuto, infatti, ad una distribuzione geometrica di probabilità, in quanto la probabilità di successo è pari alla probabilità si insuccesso nei tentativi precedenti per la probabilità di singolo successo. Chiamando con $f$ la probabilità di successo al tentativo $x$, abbiamo, per $x$ grande ($x>20$) $f=p\cdot (1-p)^x$. Riscrivendo opportunamente questa formula otteniamo:

$$f = \frac{p}{1-p}\left(\frac{1}{1-p}\right)^{-x}$$ (7.13)

$$= a\cdot b^{-x}$$ (7.14)

$$\rightarrow \log_b{f} = \log_b a -x$$ (7.15)

$$\log_b{e}\cdot ln{f} = \log_b{e}\cdot\ln{a}-x$$ (7.16)

$$\ln{f} = \ln{a}-x\cdot \ln{b}$$ (7.17)

$$f = a\cdot e^{-x\cdot \ln{b}}$$ (7.18)

$$\rightarrow f = a \cdot e^{-g/\tau}\,$$ (7.19)

ove $a=p/(1-p)$ e $b=1/(1-p)$, con $b>1$ (il caso $p=1$ non è preso in considerezione, in quanto poco interessante). Nell'ultimo passaggio abbiamo chiamato $g$ (``giro'') la generica $x$ e $\tau=1/\ln{b}=-1/\ln(1-p)$. Dal valore di $\tau=12.75$ ottenuto dalla simulazione otteniamo $p=0.0754=1/13.3$.

È interessante confrontare questa probabilità con quella che si ricava dalla probabilità di occupazione delle varie caselle e la probabilità di vincere condizionata da ciascuna casella. Applicando le regole della probabilità abbiamo, indicando con $V_{g_i}$ la vittoria ad un generico giro:

$$P(V_{g_i}\,\vert\,g>20) =\sum_{c=51}^{62} P(V_{g_i}\,\vert\,c) \cdot P(c\,\vert\,g>20)\,,$$ (7.20)

ove $P(V_{g_i}\,\vert\,c)$ è pari alla probabilità di ottenere con i due dati il punteggio esatto per vincere (ovvero $63-c$). La tabella 7.7 riporta i dettagli del calcolo.

Tabella 7.7: Dettagli del calcolo della probabilità di vincere al gioco dell'oca, se si sa che il giocatore ha effettuato oltre 20 ``mosse''.

$c$	$P(c\,\vert\,g>20)$	$63-c$	$P(V_{g_i}\,\vert\,c)=P(x)$	$P(V_{g_i}\,\vert\,c)\cdot P(c\,\vert\,g>20)$
	(%)			(%)
51	1.0	12	1/36	0.03
52	3.4	11	2/36	0.19
53	2.3	10	3/36	0.19
54	3.7	9	4/36	0.41
55	5.1	8	5/36	0.70
56	7.2	7	6/36	1.20
57	9.7	6	5/36	1.34
58	11.3	5	4/36	1.25
59	12.8	4	3/36	1.06
60	14.0	3	2/36	0.78
61	14.7	2	1/36	0.41
62	15.0	1	0	0
	100.0		1	7.56

Abbiamo quindi $p=P(V_{g_i}\,\vert\,g>20)=0.0756=1/13.2$, in perfetto accordo con quanto calcolato dalla costante di tempo della coda esponenziale.

Come ultimo esercizio su questa simulazione, poniamoci la seguente domanda. Avendo saputo che una persona ha vinto dopo molti giri ($g>20$), qual'era la sua posizione prima dell'ultimo lancvio di dadi? Si tratta di una semplice applicazione del teorema di Bayes:

$$P(a\,\vert\,V_{g_i},g>20) = \frac{P(V_{g_i}\,\vert\,c\,g>20)\cdot P(c\,\vert\,g>20)} {\sum_a P(V_{g_i}\,\vert\,c\,g>20)\cdot P(c\,\vert\,g>20)}$$ (7.21)

$$= \frac{P(V_{g_i}\,\vert\,c\,g>20)\cdot P(c\,\vert\,g>20)} {P(V_{g_i}\,\vert\,g>20)}/,.$$ (7.22)

I valori di probabilità, per le caselle da 51 a 62 sono, in percentuale: 0.4, 2.5, 2.5, 5.4, 9.3, 15.9, 17.7, 16.5, 14.0, 10.3, 5.4, 0. Sebbene la probabilità di vincere sia massima se ci si trova nella casella 56, sapere che un bambino ha vinto ci fa pensare che, con massima probabilità, si trovasse nella casella 57. Similmente, benché la probabilità di vincere dalle caselle 51 e 61 era la stessa, una volta che il bambino ha vinto ci fa credere che si trovasse nella casella 61 molto più probabilmente che nella casella 51.