pzd100Come tener conto anche di possibili incertezze sulle $X$

Per affrontare il problema dal punto di vista piu' generale possibile, si noti come la (12.2) permette di fare una inferenza su tutte le grandezze incerte (in numero di $n+2$, con $n$ pari al numero di punti sperimentali), ovvero:

$$f(\underline{\mu_{X}}, m, c\,\vert\,\underline{x},\underline{y}) \propto \Pi_i f(x_i, y_i\, \vert \,\mu_{X_i}, m, c) \cdot f_\circ(\underline{\mu_{X}}, m, c)\,.$$

$$f(m,c\,\vert\,\underline{x},\underline{y}) \propto \int f(\underline{\mu_{X}}, m, c\,\vert\,\underline{x},\underline{y})\, d\underline{\mu_{X}}$$

Assumendo una distribuzione uniforme $f_\circ(\underline{\mu_{X}}, m, c)$, abbiamo che

1. se $\sigma_{X_i}\rightarrow 0$ allora le gaussiane che descrivono la probabilità di $X_i$ intorno a $\mu_{X_i}$ diventano delle $\delta(x_i-\mu_{X_i})$ e quindi
   

   $$f(m,c\,\vert\,\underline{x},\underline{y}) \propto \Pi_i \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_{Y_i}}\exp{\left[-\frac{(y_i-m\,x_i-c)^2} {2\,\sigma_{Y_i}^2}\right]}\,.$$

   
   

2. Il caso generale di $\sigma_{X_i}\ne 0$ può essere trattato esattamente nello stesso modo, con la complicazione che l'integrale è un po' più complicato. Il risultato è
   

   $$f(m,c\,\vert\,\underline{x},\underline{y}) \propto \Pi_i \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\, \sqrt{\sigma_{Y_i}^2+m^2\sigma_{X_... ...ft[-\frac{(y_i-m\,x_i-c)^2} {2\,(\sigma_{Y_i}^2+m^2\sigma_{X_i}^2)} \right]}\,,$$

   
   
   che si riconduce al caso precedente quando $\sigma_{X_i}\rightarrow 0$. Essenzialmente essa dice che si sostituiscono alle $\sigma _{Y_i}$ delle deviazioni standard effettive ottentue sommando in quadratura quelle delle $Y$ e quelle delle $X$, opportunamente propagate mediante la derivata $\partial Y/\partial X$, che nel caso lineare è esattamente $m$. Ovviamente, in questo caso la soluzione diventa più complicata, ma il problema può essere affrontato per iterazione, calcolando $m$ e $c$ senza tener conto delle $\sigma_{X_i}$ e poi inserendo nelle formule le deviazioni standard effettive calcolate con questo valore di $m$. La convergenza è, in genere talmente rapida, che, se i punti sono già stati graficati, nemmeno vale la pena di fare troppi conti: basta valutare a occhio $m$ dal grafico e usare questo valore nel calcolo delle deviazioni standard effettive.