Pallinometro ``minimale'': calcolo della probabilità degli esiti

Indicando ``$bin0$'', ``$bin1$'' e ``$bin2$'' i tre possibili esiti (``bin'' significa, ricordiamo, casella o celletta), essi non sono da ritenersi equiprobabili. Equiprobabili sono invece, per ragioni di simmetria, le quattro possibili traiettorie della pallina. Assegnamo quindi a ciascuna traiettoria probabilità 1/4. Poiché due traiettorie terminano in $bin1$, mentre le rimanenti terminano ciascuna in ciascuna delle cellette adiacenti, otteniamo:

$$P(bin0) = \frac{1}{4}$$

$$P(bin1) = \frac{1}{2}$$

$$P(bin2) = \frac{1}{4}\,.$$

Un altro modo per risolvere il problema, formalmente un po' diverso ma sostanzialmente identico (in quanto fa uso delle stesse considerazioni di simmetria del problema), è di fare uso della probabilità condizionata. Chiamando $ch0$ il chiodo fra $bin0$ e $bin1$, e $ch1$ il chiodo fra $bin1$ e $bin2$ e assegnando probabilità 1/2 a ciascuna delle due possibilità che ha la pallina per continuare la sua discesa dopo essere rimbalzata su un chiodo, otteniamo:

$$P(bin0) = P(bin0\,\vert\,ch0)\cdot P(ch0) = \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$$

$$P(bin1) = P(bin1\,\vert\,ch0)\cdot P(ch0) + P(bin1\,\vert\,ch1)\cdot P(ch1)$$

$$= \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$P(bin2) = P(B_2\,\vert\,ch1)\cdot P(ch1) = \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$$

Avendo assegnato queste probabilità, immaginiamo di voler lanciare $n$ palline (o di lanciare $n$ volte la stessa pallina) e di essere interessati al numero di palline che terminano in ciascuna celletta. Chiamiamo questi numeri incerti (o variabili casuali) $X_{0_n}$, $X_{1_n}$ e $X_{2_n}$. Date le condizioni, i gradi di fiducia dei possibili risultati sono descritti da una distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$, ove $n$ è uguale al numero dei lanci e $p$ a, rispettivamente, $P(bin0)$, $P(bin1)$ e $P(bin2)$ nei tre casi. Usando il simbolo $\sim$ per ``segue la distribuzione'' o, meglio, ``è descritta dalla distribuzione'',^7.1 scriviamo

$$X_{i_n} \sim {\cal B}_{n, P(bin_i)}\,.$$

Le probabilità sono date in tabella 7.1 insieme ai valori attesi e alle deviazioni standard.

Tabella: Distribuzione di probabilità del numero di palline che terminano in una certa celletta del pallinometro se si effettuano $n$ lanci. $i$ rappresenta l'indice della celletta di raccolta delle palline (0 e 2 sone le laterali e 1 la centrale). I valori più probabili sono indicati in grassetto.

$X_{i_n}$	$n=10$		$n=30$
	$i=0,2$	$i=1$	$i=0,2$	$i=1$
0	0.0563	0.0010	0.0002	$9.3\times 10^{-10}$
1	0.1877	0.0098	0.0018	$2.8\times 10^{-8}$
2	0.2816	0.0439	0.0086	$4.1\times 10^{-7}$
3	0.2503	0.1172	0.0269	$3.8\times 10^{-6}$
4	0.1460	0.2051	0.0604	$2.6\times 10^{-5}$
5	0.0584	0.2461	0.1047	$1.3\times 10^{-4}$
6	0.0162	0.2051	0.1455	$5.5\times 10^{-4}$
7	0.0031	0.1172	0.1662	0.0019
8	0.0004	0.0439	0.1593	0.0055
9	$2.9\times 10^{-5}$	0.0098	0.1298	0.0133
10	$9.5\times 10^{-7}$	0.0010	0.0909	0.0280
11	0	0	0.0551	0.0509
12	0	0	0.0291	0.0806
13	0	0	0.0134	0.1115
14	0	0	0.0054	0.1354
15	0	0	0.0019	0.1445
16	0	0	0.0006	0.1354
17	0	0	$1.7\times 10^{-4}$	0.1115
18	0	0	$4.0\times 10^{-5}$	0.0806
19	0	0	$8.4\times 10^{-6}$	0.0509
20	0	0	$1.5\times 10^{-6}$	0.0280
21	0	0	$2.4\times 10^{-7}$	0.0133
22	0	0	$3.3\times 10^{-8}$	0.0055
23	0	0	$3.9\times 10^{-9}$	0.0019
24	0	0	$3.8\times 10^{-10}$	$5.5\times 10^{-4}$
25	0	0	$3.0\times 10^{-11}$	$1.3\times 10^{-4}$
26	0	0	$1.9\times 10^{-12}$	$2.6\times 10^{-5}$
27	0	0	$9.5\times 10^{-14}$	$3.8\times 10^{-6}$
28	0	0	$3.4\times 10^{-15}$	$4.1\times 10^{-7}$
29	0	0	$7.8\times 10^{-17}$	$2.8\times 10^{-8}$
30	0	0	$8.7\times 10^{-19}$	$9.3\times 10^{-10}$
E$(X_{i_n})$	2.5	5	7.5	15
$\sigma(X_{i_n})$	1.37	1.58	2.37	2.74