Contatore e distribuzione geometrica

Consideriamo di nuovo l'esperimento del contatore per un tempo di misura pari a $T=3\,$s. La probabilità di osservare almeno un conteggio è data da

$$P(X\ge 1) = 1 - P(X=0) = 1- f(0\,\vert\,{\cal P}_{\lambda = 0.534}) = 1 - e^{-0.534} = 0.414\,.$$

Interessiamoci ora al seguente problema: ``quante misure bisogna effettuare prima di osservare un conteggio?''. In altre parole, siamo interessati numero d'ordine (indicato con $X$) della misura alla quale si verifica per la prima volta un conteggio. Date le condizioni del problema, abbiamo che tale numero aleatorio è descritto da una distribuzione geometrica

$$f(x\,\vert\,{\cal G}_p) = p\,(1-p)^{x-1}$$

di parametro $p=0.414$, avente valore atteso e deviazione standard pari a

$$(X) = \frac{1}{p} = 2.41$$

$$\sigma(X) = \frac{\sqrt{1-p}}{p} = 1.85\,.$$

Ricordiamo che tale distribuzione si estende per valori di $X$ da 1 a infinito ed è quindi molto asimmetrica. Ne segue che valori che eccedono il valore atteso di alcune deviazioni standard sono abbastanza probabili. Ad esempio

$$P(X \ge 5) = 11.8\,\%$$

$$P(X\ge 10) = 0.8\,\%$$

Quindi è abbastanza probabile osservare una serie di risultati negativi (ovvero con zero conteggi) consecutivi. All'aumentare del tempo di misura aumentano sia $\lambda$ della poissononiana che $p$ della geometrica che stiamo considerando e quindi diventa estremamente improbabile non soltanto osservare una lunga serie di risultati negativi, ma anche uno solo. Ovviamente, i risultati della simulazione (vedi tabella 1.1) confermeranno con alta probabilità le nostre aspettative.