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Numeri ritardatari al lotto

Consideriamo ora un generico numero al lotto. Essendo 90 i numeri in una ruota ed essendone estratti 5, l'ipotesi di equiprobabilità ci fa valutare in 1/18 la probabilità che un numero venga estratto. Poiché ogni estrazione avviene indipendentemente dalle altre e con lo stesso stato di informazione circa i numeri che possono essere estratti, possiamo considerare ogni estrazione un processo di Bernoulli avente $ p=1/18$. Analogalmente a quanto visto per i conteggi, il numero aleatorio $ X$ ``estrazione alla quale uscirà un certo numero predesignato'' (numero e ruota) è descritto da una distribuzione geometrica di $ p=1/18$, avente previsione e incertezza di previsione rispettivamente uguali a 18 e 17.5. Ci possiamo calcolare quindi la probabilità che tale numero si verifichi all'estrazione $ X=x$, o successiva:

$\displaystyle P(X \ge x) = (1-p)^{x-1} = \left(\frac{1}{18}\right)^{x-1}\,.$

Calcoliamo la probabilità per alcuni valori di $ x$ molto maggiori della previsione, introducendo inoltre la variabile $ R$ ``numero di ritardi prima dell'estrazione'':
$\displaystyle P(R \ge 60)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(X \ge 61) = 3.24 \,\%$  
$\displaystyle P(R \ge 80)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(X \ge 81) = 1.03 \,\%$  
$\displaystyle P(R \ge 100)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(X \ge 101) = 0.33 \,\%$  
$\displaystyle P(R \ge 120)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(X \ge 121) = 0.105 \,\%$  
$\displaystyle P(R \ge 140)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(X \ge 141) = 0.033 \,\%.$  

Essendo il gioco del lotto italiano attivo da moltissimi anni (ovvero un numero di estrazioni alcuni ordini di grandezza maggiore di $ 1/p$) la probabilità che un numero qualsiasi abbia, ad un certo istante, il ritardo $ R$ è uguale alla probabilità di $ X=R+1$. Avendo il sistema del lotto italiano 900 numeri in totale (10 ruote $ \times$ 90 numeri/ruota) possiamo calcolare dalla distribuzione binomiale quanti numeri prevediamo abbiano accumulato almeno un certo ritardo $ R=r$. Otteniamo, per i ritardi già presi in considerazione:
$\displaystyle \char93 (R \ge 60)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 29.2\pm 5.3$  
$\displaystyle \char93 (R \ge 80)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 9.3\pm 3.0$  
$\displaystyle \char93 (R \ge 100)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3.0\pm 1.7$  
$\displaystyle \char93 (R \ge 120)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.94 \pm 0.97$  
$\displaystyle \char93 (R \ge 140)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.30\pm 0.55\,.$  

Come si vede, è molto probabile che, ad un certo istante, ci sia qualche numero che abbia accumulato un notevole ritardo. La tabella 1.6 permette di confrontare previsioni e risultati. Come al solito, il confronto è confortante, in quanto, ripetiamo ancora una volta, sarebbe stato alquanto improbabile osservare una situazione molto lontana dalle aspettative. In particolare, 27 numeri ritardano da almeno 60 estrazioni, 6 da almeno 80, 3 da almeno 100, 2 da almeno 120 e 1 da almeno 140.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02