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Distribuzione di Pascal

Abbiamo studiato la distribuzione geometrica, legata al numero aleatorio ``tentativo per il quale si registra il primo successo'', quando si considerano tanti processi di Bernoulli di uguale $ p$. Il caso più generale è quello che descrive la distribuzione di probabilità del ``tentativo per il quale si registrano esattamente $ k$ successi''. Essa è nota come distribuzione di Pascal. La derivazione è abbastanza semplice: Essendo i due eventi indipendenti, si ottiene la distribuzione di probabilità
$\displaystyle f(x\,\vert\,{\cal Pa}_{k,p})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \binom{ x-1}{k-1}
p^k(1-p)^{x-k}
\hspace{0.4 cm}
\left\{ \begin{a...
...p \le 1 \\
k=1,2, \ldots \infty \\
x=k, k+1, \ldots \infty
\end{array}\right.$  
      (7.10)

Naturalmente, per $ k=1$, si riottiene la distribuzione geometrica, ovvero

$\displaystyle f(x\,\vert\,{\cal P}a_{1,p}) =
f(x\,\vert\,{\cal G}_p)\,.
$

Figura: Esempi di distribuzione di Pascal: probabilità che, lanciando una moneta, si ottengano $ k=2$, 3 e 5 teste al tentativo $ x$.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago65.eps,clip=,width=0.8\linewidth}\end{figure}

Diamo direttamente previsione e incertezza di previsione del numero aleatorio, descritto da questa distribuzione:
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{k}{p}\,,$ (7.11)
Var$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\,\frac{q}{p^2}$ (7.12)
$\displaystyle \sigma(X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{k}\,\frac{\sqrt{q}}{p}
\xrightarrow[\rightarrow 0]{}\sqrt{k}\,
\frac{1}{p}$ (7.13)
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k\, q}}\xrightarrow[p\rightarrow 0]{}\frac{1}
{\sqrt{k}}\,.$ (7.14)

Come si capisce intuitivamente, la previsione del numero di tentativi per avere $ k$ successi è proporzionale al numero di successi richiesto. Quello che è meno intuitivo, ma che risulterà essere una proprietà generale della varianza, è che non è la deviazione standard, bensì la varianza, ad essere proporzionale a $ k$. Ne segue che l'incertezza relativa decresce all'aumentare di $ k$.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02